1、數(shù)學(xué)中的簡單邏輯推理問題一、“被墨水蓋住”的算式如果要想具備福爾摩斯那樣神奇的破譯密碼的本領(lǐng)，不 但應(yīng)具有非凡的推理能力，還要懂得大量的其他知識(shí)。然而, 只要你有心，也可以破譯一些簡單的密碼?，F(xiàn)在我們來看一個(gè)例子：據(jù)傳說，英國物理學(xué)家牛頓(1642 1727)小的時(shí)候， 學(xué)習(xí)成績幾乎在學(xué)校是倒數(shù)第一。后來他下決心改變這一令 人沮喪的狀況。有一次，他把自己的作業(yè)做得干凈整齊，沒 有任何錯(cuò)誤，但正當(dāng)他把筆和本子收起來時(shí)，糟糕的事情發(fā) 生了：墨水灑了，正好在他的一道算術(shù)題上留下了一塊墨跡。 下圖顯示了這個(gè)令人不快的結(jié)果。式中只剩下了 3個(gè)數(shù)字較為清晰。小牛頓盡了一切努力，最后終于記起來整道題湊巧用了

2、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10個(gè)數(shù)字，一樣一個(gè)。如果這是一種從0到9這10個(gè)數(shù)字編制的密碼，你能破譯由被墨水蓋住的都是哪些數(shù) 字嗎由于被墨水蓋住的是10個(gè)數(shù)字，所以原式應(yīng)為:+4我們可以把這個(gè)算式寫成：28A+CB4GFED其中每個(gè)英文字母分別表示數(shù)字0、 1、 3、 5、 6、 7、 9中的莫一個(gè)。我們先考慮千位上的G。 兩個(gè)三位數(shù)相加，和是四位數(shù)，1，所以，G 只1，這時(shí)，算式就成了：28A+CB41FED ?再看百位上的 C和F。如果要保證向千位進(jìn) 1, C不能 小于 7 即C只可能是7或9中的一個(gè)。設(shè) C=9,那么如果十位不進(jìn)位到百位，F(xiàn)=1;如果十位進(jìn)位到百位，F(xiàn)=2

3、。這都和已知的數(shù)字重復(fù)。所以 C9。所以C=7, F=0O即28A+7B410ED這時(shí)，B可能是3、5、6、7中的莫一個(gè)。如果 B=3,那么應(yīng)有 E=1 或 2，但這不可能；如果B=5,那么 E=3,彳1 6+4片9, 9+4片6;如果 B=6,那么E=5,這日t令 A=9,貝U有D=3o整理出來就是：A=9， B=6， C=7， D=3， E=5， F=0， G=1。于是，小牛頓的算式應(yīng)為：289+7641053二、問路問題有這樣一個(gè)故事：在太平洋中有AB兩個(gè)相鄰的小島。A島居民都是誠實(shí)的人，B 島的居民都是騙子。當(dāng)你問一個(gè)問題時(shí)， A 島的居民會(huì)告訴你正確的答案，而B 島的居民給你的答案都

4、是錯(cuò)誤的。一天，一個(gè)旅游者獨(dú)自登上了兩島中的莫個(gè)島。他分辨不清這個(gè)島是A島還是B島，只知道這個(gè)島上的人既有本島的居民又有另一島的來客。他想問島上的人“這是 A 島還是 B 島”卻又無法判斷被問者的答案是否正確。旅游者動(dòng)腦筋想了會(huì)一兒，終于想出一個(gè)辦法，他只需要問他所遇到的任意一人一句話，就能從對方的回答中準(zhǔn)確無誤地?cái)喽ㄟ@里是哪個(gè)島。你能猜出旅游者所問的問題嗎如果旅游者直接問“這是 A島還是B島”那么當(dāng)被問者是 A 島人時(shí)，他會(huì)得到正確的回答；當(dāng)被問者是B 島人時(shí)，他會(huì)得到錯(cuò)誤的回答。兩種回答截然相反，而旅游者又無法知道他得到的答案對不對，因此這樣問話達(dá)不到問路的目的。聰明的旅游者的問話是，“你

5、是這個(gè)島的居民嗎”如果對方回答“是"，那么這個(gè)島一定是 A島；如果對方回答“不是”，那么這個(gè)島一定是B 島。你能說出這是為什么嗎下面我們就對上面的問題進(jìn)行分析：我們知道，旅游者提出問題時(shí)并不知道提問地是何島，也不知道被問者是何島居民。他要從所聽到的第一句回答來判斷問話地是何島。因此，所提問題的答案必須是因提問地而異，而不由被問者是A 島居民或是B 島居民發(fā)生變化。根據(jù)上述特點(diǎn)，我們設(shè)法找到這樣的問題：1、使得在A 島提問時(shí)，被問者（不論是何島居民）都回答同樣的一種答案；2、在B島提問時(shí)，被問者都回答另一種答案。于是，我們就可以根據(jù)任一人的回答來判斷提問地為何 島了。顯然，這樣的問題必

6、須與提問地相關(guān)，并且還要與被 問者有關(guān)，如果在 A島提生這樣的問題時(shí)， A島居民應(yīng)作肯 定回答（B島居民也會(huì)作肯定回答，但這種回答與客觀實(shí)際 相反），那么在B島提由同一問題時(shí)，A島居民應(yīng)作否定回答（B島居民也會(huì)做否定回答，但回答與實(shí)際情況相反）?！澳闶沁@個(gè)島的居民嗎”這一問題就是一個(gè)滿足以上要 求的問題，我們通過下表表示在不同的提問地的不同的被問 者對問題的相應(yīng)回答。問題：你是這個(gè)島的居民嗎問話地被問者A島居民B島居民A島回答是是B島不是不是由上表可以一目了然地發(fā)現(xiàn)：在 A島提問時(shí)，回答總為“是”；在B島提問時(shí)，回答總為“不是”。這就為旅游者 判斷提問地是哪個(gè)島提供了依據(jù)，于是“問路問題”得以

7、解 決。請想一想，如果旅游者的問題為“你是相鄰的另一島上 的居民嗎”，那么能根據(jù)任一人的回答來判斷提問地是何島嗎為什么試通過列表的方式說明理由數(shù)學(xué)中有個(gè)分支叫做數(shù)理邏輯，它通過數(shù)學(xué)方法來研究 邏輯規(guī)律。在數(shù)理邏輯中，列表法是一種基本的研究方法， 只是其中表的形式與本文中的表有許多不同，使用了一些有 關(guān)命題、真值的抽象符號(hào)，但其基本思想與我們用表討論問 題的思想是大體一致的，都是通過列表來分析和說明問題。數(shù)學(xué)是以邏輯推理為重要研究方法的學(xué)科。所謂邏輯推 理，就是合乎事理的、有根有據(jù)的推導(dǎo)判斷。上面的兩個(gè)問 題正是運(yùn)用到邏輯推理的問題，同學(xué)們應(yīng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注意 提高自己的邏輯推理能力，使自己勤于思

8、考并且善于思考， 成為聰明人。九宮圖的應(yīng)用班級(jí)：六年級(jí)教師：張桐生一、數(shù)學(xué)故事：任意寫一個(gè)三位數(shù)做幾次簡單運(yùn)算，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)小小規(guī)律。任意寫一個(gè)三位數(shù)，例如135。把它的數(shù)字倒過來寫，成為531 。用其中較大的減去較小的，得到531-135=396 。換幾個(gè)另外的三位數(shù)，也做同樣的計(jì)算，分別得到876-678=198，995-599=396 ，963-369=594。以上 4 個(gè)式子里得到的差，有一個(gè)明顯的共同點(diǎn)：差的中間一位數(shù)字都是9。再仔細(xì)看看，還發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)：差的首、尾兩位數(shù)字的和等于9。這樣，通過觀察和歸納，就發(fā)現(xiàn)了三位數(shù)顛倒相減的規(guī)律。還可以再隨意寫很多三位數(shù)顛倒相減的例子，來驗(yàn)證

9、上面得到的規(guī)律，結(jié)果大部分都完全符合，只有兩種例外情形。第一種例外，如594-495=99 ，差是兩位數(shù)99，不是三位數(shù)。第二種例外，如323-323=0 ，這時(shí)的差是0。由此可見，剛才初步歸納出來的規(guī)律，需要作兩點(diǎn)小補(bǔ)充：第一，如果差的末位數(shù)字是9，這個(gè)差一定是99；第二，如果差的末位數(shù)字是0，這個(gè)差一定是0。在其他情形下，差都是三位數(shù)。這樣一來，規(guī)律就完整了。你可以讓你的朋友轉(zhuǎn)過身去，在紙上任意寫三位數(shù)，然后顛倒相減，只要把差的末位數(shù)字告訴你， 就能猜出差是多少。無論哪種情形，只要掌握規(guī)律，總能應(yīng)答如流，一猜就準(zhǔn)。二、九宮圖的應(yīng)用（一）歷史古老而悠久的中華文化的寶殿中，有兩顆璀璨奪目的明珠

10、 - ，至今吸引著眾多學(xué)者的研究熱情，人們?yōu)楹訄D洛書的神話般的傳說，高深的奧義，豐富的內(nèi)容，簡潔的形式萬分驚訝，對河圖洛書與中國的思想文化、社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)的密切聯(lián)系更是迷惑不解。種種論述表明，河圖洛書是中華文化的總源頭，對中國及世界文化的發(fā)展，都有過深刻的影響。然而，令我們每個(gè)人吃驚和迷惑不解的是，河圖洛書只是兩個(gè)簡單的數(shù)字圖。（二）龍馬載河圖，神龜背洛書河圖洛書是我們祖先創(chuàng)造出來的，翻遍祖國的各種古典著作，我們根本找不到這位創(chuàng)始人。河圖洛書的產(chǎn)生，至少要追溯到四千五百多年以前，那時(shí)， 人類尚處于無文字時(shí)代，人類的認(rèn)識(shí)水平還十分低，很難想象那時(shí)就有人能夠制造出如此高深莫測的圖書。在我國各種

11、古籍中，對河圖洛書的起源，僅有兩個(gè)龍馬載河圖，神龜背洛書的傳說。1、龍馬載河圖相傳遠(yuǎn)古時(shí)期的孟津河邊，一天河水忽然 大漲，波浪滔天，水中有一巨獸，似龍非龍， 似馬非馬，浪里飛騰。當(dāng)時(shí)的伏羲黃帝與眾臣聽到有人報(bào)告, 立即去河邊觀看，只見河中洪濤巨浪，波浪中一巨獸踏水如 登平地，大體象馬卻身有魚鱗，高八九尺，有兩翼，形體象 駱駝，身上負(fù)有由花點(diǎn)構(gòu)成的圖案，黃帝命人走近河邊，將 圖案記錄下來，剛剛記下，怪獸即沒而不見。后伏羲皇帝認(rèn) 真研究了這副圖發(fā)現(xiàn)它正是由十種花點(diǎn)組成，這十種花點(diǎn)代 表1-10這10個(gè)數(shù)，兩種花點(diǎn)構(gòu)成一組，布局在東西南北中 五個(gè)位置上，每組花點(diǎn)所表示的數(shù)， 其差均是5.這種和諧統(tǒng)

12、一，四方對稱的特征，黃帝越研究越感到奇妙無比，后來他 就依此畫八卦，建甲歷，定時(shí)辰，治理國家。由于此幅圖是 在孟津河中發(fā)現(xiàn)的，故稱此圖為河圖。2、神龜背洛書公元前23世紀(jì)，大禹治水的時(shí)候，在黃河支流洛水中， 有一天突然浮規(guī)由一個(gè)大烏龜，當(dāng)時(shí)，大禹與治水士兵正在 河邊現(xiàn)察洛河水情，商議治理黃河大計(jì)，遇到烏龜在河里上 下翻騰就十分奇怪，只見此龜行走水面，游來游去，其身形 龐大，甲背平圓。近處仔細(xì)觀看，發(fā)現(xiàn)甲上載有9種花點(diǎn)的圖案，大禹令士兵們將圖案中的花點(diǎn)布局記了下來，帶回去 作了深入的研究，他驚奇地發(fā)現(xiàn)，9種花點(diǎn)數(shù)正好是1-9這9個(gè)數(shù)，各數(shù)的位置排列也相當(dāng)奇巧，縱橫六線及兩條對角 線上三數(shù)之和都為

13、15,既均衡對稱，又深?yuàn)W有趣，在奇偶數(shù) 的交替變化之中似有一種旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)之妙。大禹受到啟發(fā)，他 參照九數(shù)而劃分天下雨九別，并且把一般政事也區(qū)分為九 奧。據(jù)史記.夏本紀(jì)寫道：夏禹治水時(shí)，“左準(zhǔn)通、右 規(guī)矩，載四時(shí)，以開九州，通九道，陂九澤”大禹治水 以九宮為據(jù)，應(yīng)用到測量、氣象、地理與交通運(yùn)輸之中，從 而治理黃河，大獲成功，受到黃河兩岸人們的擁戴。由于神 龜所背圖是在黃河支流洛水中發(fā)現(xiàn)，且圖中內(nèi)容如書一樣深 奧，故人們稱此為洛書。（三）應(yīng)用：如何分班132321213圖1為師各班成績均勻，我們給先學(xué)生排序，然后按照一定 的規(guī)律將學(xué)生分組。如分 3個(gè)班，將學(xué)生排序后，按照圖 1 的行（或列）從上到下

14、一次編號(hào) 3為一組，向下重復(fù)。所有 編號(hào)為1的一個(gè)班，編號(hào)為2的一個(gè)班，編號(hào)為3的一個(gè)班。 如分4個(gè)班則按圖2處理；5個(gè)班按圖3處理；6個(gè)班按圖4 處理。1432321423414123圖21345224513523413512441235316524625341541236163452452163234615圖3圖4作業(yè)：按照示例4圖，請與同學(xué)合作，編制一張分 7個(gè)班的分班表。雞兔同籠問題班級(jí)：六年級(jí) 教師：張桐生雞兔同籠，這個(gè)問題，是我國古代著名趣題之一。大約 在1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題。書 中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九 十四足，問雉兔各幾何”

15、這四句話的意思是：有若干只雞兔 同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有 35個(gè)頭；從下面數(shù)，有 94 只腳。求籠中各有幾只雞和兔第一類：列表舉例法。方法1:根據(jù)雞和兔共20只的條件，假設(shè)雞只有 1只, 那么兔有19只，腿共有78條在這樣的逐一舉例中，直 至尋求到所求的答案。頭/個(gè)鳴/只兔/只腿/條20I1978202IS7620131774204I1672an* V2013754方法2:先作一些分析，比較后再試頭/個(gè)雞/只他/只腌/條2011978201 5157020101060201555020146522013754方法3:先假設(shè)雞和兔各占一半，再列表頭/個(gè)雞/只兔/只腿/條20101060201

16、2856201 1375460>54,說明兔子多了，應(yīng)減少兔子的只數(shù)。上面三種方法中，第一張表格是常規(guī)的逐一列舉法，即 根據(jù)雞與兔共20只的條件，假設(shè)雞只有 1只，那么兔就有 19只，腿共有78條；假設(shè)雞有2只，那么兔就有18只，腿 共有76條。，再這樣的逐一舉例中，直至找到所求的答案。第二類：作圖分析法。方法1:先畫20個(gè)圓圈表示20個(gè)頭。再為每個(gè)動(dòng)物畫兩條腿，20只動(dòng)物只用完40條腿，還多生了 14條腿。把剩 下的14條腿用完，要給其中的 7只動(dòng)物加2條腿，這7只 就是兔子，另外的13只就是雞。方法2:先畫20個(gè)頭，接著假設(shè)全部是兔，共畫 80條 腿，多生了 26條腿，要給其中的13

17、只動(dòng)物去掉2條腿，這 13只就是雞，另外的7只就是兔了。第三類：方程解答法。解法1:設(shè)其中有X只兔，有Y只雞。列式為：X+ Y= 20, 4X+2Y=54 最后算由 X=7, Y=13。解法2:設(shè)其中有X只兔，有（20-X）只雞。列式為： 2X+4x（20 X） =54，最 后算由X= 7,得生兔的只數(shù)是7只， 那么20 X= 13就是雞的只數(shù)。第四類：假設(shè)推理法。方法 1： 假設(shè)這 20 只全部是兔子，那么就應(yīng)該有80 條腿，而題目只告訴我們有 54 條腿，我們算的80 與實(shí)際相比多算了26 條腿，這是為什么呢因?yàn)橐恢浑u是兩條腿，而我們把它當(dāng)成四條腿算了，如果用一只雞來換一只兔，就要減少 2

18、 條腿， 也就是我們把多少只雞當(dāng)成了兔子，顯然 26+ 2=13（只），所以雞有13只，兔子有7只。可以列式為： （20X4-54） +（4-2）=13 （只），20-13=7（只）。方法2： 假設(shè)這 20 只全部是雞，那么就應(yīng)該有40 條腿，比實(shí)際少了14 條腿，是因?yàn)槊恐煌米由偎懔? 條腿，這樣共有兔子是7只，雞則是13只。列式如下：（54-20x4） +（4 -2） =13（只），20- 13=7 （只）。解決雞兔同籠問題通常使用假設(shè)法，可以假設(shè)所有的動(dòng)物都是兔子，并求出在假設(shè)情況下的總腿數(shù)，再把實(shí)際的腿數(shù)和假設(shè)情況下的腿數(shù)相比較，看看多出了多少，每多2 只腿說明有一只雞，將多出的腿數(shù)除

19、以2 就算出共有多少只雞。也可以假設(shè)全部是兔子來解。?方法3： 把一只雞和一只兔看做一個(gè)整體，一個(gè)整體中就有（ 4 2=6）條腿，54 條腿應(yīng)該是幾個(gè)這樣的整體呢54+ 6 = 9（個(gè)），在9個(gè)這樣的整體里兔子的只數(shù)應(yīng)該不是9只，因?yàn)?9 只兔和 11 只雞的腿的條數(shù)超過了總條數(shù)54。那么就把兔看成8 只，還是偏大，最后把兔的只數(shù)看成7 只，雞是13只，腿的總條數(shù)就正好是 54 了。列式為：4+2=6 （只），54+6= 9（個(gè)），91 = 8 （只），92=7 （只），207= 13（只），7X4=28 （條），13X2=26 （條）28+26=54（條）第五類： “金雞獨(dú)立”法此方法是：每

20、只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腳站起來”。顯然，在這種情況下，總腳數(shù)出現(xiàn)了一半，是27，此時(shí)，雞的腳數(shù)與雞的頭數(shù)是相等的，兔子的腳數(shù)是兔子的頭數(shù)的2 倍。所以，從27 中減去總的頭數(shù)20 得 7，就是兔子的頭數(shù)。當(dāng)然，20-7=13 ，雞就是13 只了。雞兔同籠問題早在我國古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中就出現(xiàn)過，社會(huì)發(fā)展到今天，雞和兔同裝一籠的此類事件應(yīng)該不多見了。但學(xué)生可以借助 “雞兔同籠”這個(gè)載體經(jīng)歷嘗試、創(chuàng)新的過程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用與解決實(shí)際問題的聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值。作業(yè)：設(shè)計(jì)一個(gè)算法，輸入雞兔的頭和腳數(shù)，輸出雞和兔的數(shù)量。抽屜原理的簡單應(yīng)用班級(jí)：六年級(jí)教師：張桐生“任意36

21、7 個(gè)人中，必有生日相同的人?！薄皬娜我?5 雙手套中任取6 只，其中至少有2 只恰為一雙手套。”“從數(shù)1, 2,，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有 2個(gè)數(shù)為奇偶性不同?！贝蠹叶紩?huì)認(rèn)為上面所述結(jié)論是正確的。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢這個(gè)原理叫做抽屜原理。抽屜原理又稱鴿籠原理或狄利克雷原理，它是數(shù)學(xué)中證明存在性的一種特殊方法。它的內(nèi)容可以用形象的語言表述為：“把 m個(gè)東西任意分放進(jìn)n 個(gè)空抽屜里（m>n） ，那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少 2 個(gè)東西?！迸e個(gè)最簡單的例子，把 3 個(gè)蘋果按任意的方式放入兩個(gè)抽屜中，那么一定有一個(gè)抽屜里放有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。這是因?yàn)槿绻恳粋€(gè)抽屜里最多放有

22、一個(gè)蘋果，那么兩個(gè)抽屜里最多只放有兩個(gè)蘋果。運(yùn)用同樣的推理可以得到：原理 1 把多于 n 個(gè)的物體放到n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有2 個(gè)或2 個(gè)以上的物體。原理2把多于mn個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有m+1 個(gè)或多于m+l 個(gè)的物體。卜面我們用抽屜原理來分析前面的例子：第一個(gè)結(jié)論中，由于一年最多有366 天，因此在367 人中至少有2 人出生在同月同日。這相當(dāng)于把367 個(gè)東西放入366 個(gè)抽屜，至少有 2 個(gè)東西在同一抽屜里。在第二個(gè)結(jié)論中，不妨想象將5雙手套分別編號(hào)，即號(hào)碼為 1, 2,，5的手套各有兩只，同號(hào)的兩只是一雙。任取 6 只手套， 它們的編號(hào)至多有5 種，

23、因此其中至少有兩只的號(hào)碼相同。這相當(dāng)于把6 個(gè)東西放入5 個(gè)抽屜，至少有2 個(gè)東西在同一抽屜里。例：利用上述原理證明：“任意 7 個(gè)整數(shù)中，至少有3個(gè)數(shù)的兩兩之差是3 的倍數(shù)?！狈治觯阂?yàn)槿我徽麛?shù)除以3 時(shí)余數(shù)只有0、 1、 2 三種可能，所以7 個(gè)整數(shù)中至少有3 個(gè)數(shù)除以3 所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3 的倍數(shù)。如果問題所討論的對象有無限多個(gè)，抽屜原理還有另一種表述：“把無限多個(gè)東西任意分放進(jìn) n 個(gè)空抽屜（n 是自然數(shù)） ，那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了無限多個(gè)東西?！背閷显淼膬?nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。一、抽屜原理和六人集會(huì)問

24、題1958 年 6/7 月號(hào)的 美國數(shù)學(xué)月刊上有這樣一道題目：“證明在任意 6 個(gè)人的集會(huì)上，或者有3 個(gè)人以前彼此相識(shí)，或者有三個(gè)人以前彼此不相識(shí)?！边@個(gè)問題可以用如下方法簡單明了地證出：在平面上用6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F分別代表參加集會(huì)的任意6個(gè)人。如果兩人以前彼此認(rèn)識(shí)，那么就在代表他 們的兩點(diǎn)間連成一條紅線；否則連一條藍(lán)線?？紤] A點(diǎn)與其 余各點(diǎn)間的5條連線AB, AC, . , AF,它們的顏色不超過 2種。根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設(shè)AB, AC, AD同為紅色。如果BC, BD, CD3條連線中有一條（不 妨設(shè)為BQ也為紅色，那么三角形 ABC即一個(gè)紅色三角形， A、B、C代表的3個(gè)人以前彼此相識(shí)：如果 BC BH CD3條 連線全為藍(lán)色，那么三角形 BCD即一個(gè)藍(lán)色三角形，B、C、 D代表的3個(gè)人以前彼此不相識(shí)。不論哪種情形發(fā)生，都符 合問題的結(jié)論。圖1六人集會(huì)問題是組合數(shù)學(xué)中著名的拉姆塞定