1、 第四節(jié)第四節(jié) 解析函數(shù)零點的孤立性解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理及唯一性定理1.1.定義定義4.74.7( ),( ).f zDaaf z設(shè)函數(shù)在解析區(qū)域 內(nèi)一點 的值為零 則稱 為解析函數(shù)的零點( ),)f zzazaRzaTaylor若在解析 則在內(nèi)可展成(的級數(shù)212( )()().()nnf za zaazaaza2.( )f zTaylor的系數(shù)的情形,0,( ).nn af zzaR(1)對一切則在內(nèi)恒等于零(2),0,0,mnm anma存在正整數(shù)而時即(1)()( )( )( )0,( )0mmf afafafa而( )af zm此時稱 為的 階零點.1,( ).maf z

2、特別時為的單零點( )().()mnmnf zazaaza即 3.3.定理定理4.174.17( )f zam不恒為零的解析函數(shù)以 為 階零點的充要條件是:(4.14)()()mf zzaz( ),( )0.zazaRa其中在點 的鄰域內(nèi)解析 且證明證明: : 必要性必要性由假設(shè),()(1)1( )( )( )()()!(1)!mmmmfafaf zzazamm()mza()(1)( )( )()!(1)!mmfafazamm令令()(1)( )( )( )()!(1)!mmfafazzamm則則( )()( )mf zzaz充分性充分性( ),zazaR由于在點 的鄰域內(nèi)解析故由故由Tayl

3、orTaylor定理得定理得2( )( )( )( )()()2!azaa zaza從而從而( )()( )mf zzaz2( )() ( )( )()()2!mazaaa zaza1( )()( )()mma zaa za( )0,a由于( )af zm故 為的 階零點.( ),( )0.zaa這里,顯然在點 的某鄰域內(nèi)解析 且例例1 122( )sin(cos1)0.f zzzz考察函數(shù)在的性質(zhì)解解( )0,(0)0;f zzf在解析 且( )f z 由于6102()3!5!zzz 48()2!4!zz6( )zz()z ( ) z其中48(1)3!5!zz41()2!4!zz在 平面解析

4、,1(0)0,2 且( )f z故0為的6階零點.例例2 2( )sin1.f zz求的所有零點,并指出它們的階解解( ),f zz在 平面解析( )sin10,f zz 2 ,izizeei2)0,izei(2,iizeie 故故2,(0, 1,),2zkk ( ),f z就是的全部零點由由即即也即也即得得(2)2fk因為因為cos(2)02k(2)2fksin(2)102k 2,(0, 1,)( ).2zkkf z 所以為的二階零點注注: :一個實函的零點不一定是孤立的一個實函的零點不一定是孤立的. .如如21sin0( ),00 xxf xxx10,0,0.xxxn在可微 且以為零點 此

5、外也是它的零點 并以 為聚點但在復變函數(shù)中但在復變函數(shù)中, ,我們有我們有4.4.定理定理4.184.18( ),( )().zaRf zaaf za如在內(nèi)的解析函數(shù)不恒為零為其零點 則必有 的一個鄰域 使得在其中無異于 的零點 不恒為零的解析函數(shù)零點必孤立證明證明: :( )af zm設(shè) 為的 階零點則( )()( )mf zzaz( ),( )0,zzaRa其中在內(nèi)解析 且( ).za從而點 連續(xù)( ),zarRz于是存在鄰域使在其中恒不為零( ).f za故在其中無異于 的零點5.5.推論推論4.194.19(1)( ):;f zKzaR設(shè)函數(shù)在鄰域內(nèi)解析(2)( ) ();nnKf z

6、zzaa在 內(nèi)有的一列零點收斂于( ).f zK則在 內(nèi)必恒為零證明證明: :( )f za由于點 連續(xù),()0,nf z且,n讓 趨于無窮取極限( )0.f a 即得.a故 是一個非孤立的零點( ).f zK由定理4.18必在 內(nèi)恒為零注注2.2.( ):,.f zKzaR應(yīng)在內(nèi)解析 否則結(jié)論可能不成立如( ).f zK但在 內(nèi)不恒為零( ).f zK在 內(nèi)不解析1( )sin:11111,nf zKzRzzn 在內(nèi)有無窮多個零點二二. 解析函數(shù)的唯一性解析函數(shù)的唯一性1. 1. 定理定理4.204.2012(1)( )( );f zfzD設(shè)函數(shù)和在區(qū)域 內(nèi)解析12(2) ();( )( )

7、;nnDaDzzaf zfz內(nèi)有一個收斂于的點列在其上和等值12( ).f zfD則和 (z)在 內(nèi)恒等證明證明: :12( )( )( ),f zf zfz令,Da若 恰為以 為心的圓或平面( ),f zD由假設(shè)在 內(nèi)解析 ;nDza且在圓 內(nèi)有一列零點收斂于由推論4.19,( )0.Df z 在 內(nèi)考慮一般情形:,bD 對,Dab用一條含于 的折線連接 及dim( ,),dLD記,Rd取正數(shù):L在 上取一串點01,;naa aab,R使相鄰兩點的距離小于01,nRa aa以 為半徑 分別以為心作圓01,;nKKK:,(1,2, );iiKzaR in.D則這些圓含于 內(nèi)0K先考慮,由推論4

8、.19知0( )0,;f zzK1K再考慮,01( )0,KKf z 因在內(nèi)101;aKK由推論4.19有1( )0,;f zzK這樣連續(xù)下去,可依次證明在01,nKKK內(nèi)( )0,f z ,nbK而( )0;f b 故( )0,.f zzD從而2.2.推論推論4.214.2112( )( )Df zfzDD設(shè)在區(qū)域 內(nèi)解析的函數(shù)及在 內(nèi)的某一子區(qū)域(或一小段弧)上相等,則它們必在 內(nèi)恒等.例例3 3( )( )f zzD設(shè)(1)函數(shù)及g在區(qū)域 內(nèi)解析;( ) ( )0;Df z g z (2)在 內(nèi)( )0( )0.Df zg z試證:在 內(nèi)或證明證明: :00,()0,zDf z若使0(

9、),f zz由于在 連續(xù),KD0故 z 的鄰域( )0,Kf z 使在 內(nèi)( ) ( )0,f z g zzKD而( )0,;g zzK故必有由惟一性定理( )0,.g zzD有例例4.4.1,(1,2,)?znn問在原點解析 在處取下列各組值的函數(shù)是否存在1 1 1 1(1)1,1,3 3 5 51 2 3 4(2),3 5 7 9解解(1)( ),f z假設(shè)函數(shù)滿足11 1 1 1(1,2,)1,1,3 3 5 5znn在處分別取值則11(),(1,2,);2121fkkk10,21zk這里點列以為極限點由惟一性定理知由惟一性定理知: :( ),f z若在原點解析( )( );f zg z

10、z11(),(1,2,);221fkkk但故不存在故不存在. .(2) (2) 由于函數(shù)值點列有由于函數(shù)值點列有1,1212nnn1( )2f zz而函數(shù)滿足:11( ),1,2,12fnnn顯然它在原點解析顯然它在原點解析, ,故合條件的函數(shù)存在且為故合條件的函數(shù)存在且為1( ).2f zz( );g zz而函數(shù)解析 且滿足11(),(1,2,);2121gkkk3.3.推論推論4.224.22,;.zz 一切在實軸上成立的恒等式 在 平面上也成立 只要這個恒等式的等號兩邊在 平面上都是解析的例51 ,(1).Lnzz在 z內(nèi) 展開的主值支成 的冪級數(shù)解解(1)ln(1)1,Lnzzz的主值

11、支在內(nèi)解析 由數(shù)分知10ln(1)( 1),( 1,1)1nnnxxxn 10( 1)1,1nnnzn而冪級數(shù)的收斂半徑為1( ),zg z它在內(nèi)收斂于一個解析函數(shù)10( )( 1);11nnnzg zzn即( 1,1)z 但當時( )ln(1),g zz故由惟一性定理故由惟一性定理, ,1 , ( )ln(1);zg zz在內(nèi)ln(1)1zz故得在內(nèi)的展開式為10ln(1)( 1);1.1nnnzzzn注1: 數(shù)分中常見的一些初等函數(shù)的冪級數(shù)數(shù)分中常見的一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式都可推廣到復數(shù)域上來展開式都可推廣到復數(shù)域上來. .如0,!nxnxexn 0,.!nznzezn 則注2 定理4

12、.20,推論4.21,4.22統(tǒng)稱為惟一性定理,它揭示了解析函數(shù)一個非常深刻的性質(zhì),函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的局部值確定了函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)整體值,即局部與整體之間有著十分密切的關(guān)系.注3( ),().Df zDD 對區(qū)域 內(nèi)的解析函數(shù)若其在 內(nèi)某一子域 小弧段 上等于零,則其 內(nèi)恒為零證明證明: :sup( ) ,z DMf z設(shè)0,( )0;Mf z若則為常數(shù),;M 若則定理成立0,M 故設(shè)“反證反證”00,(),zDf zM若使得由平均值定理,只要圓K:0,zzRD含于就有20001()(Re ),2if zf zd三. 最大模原理介紹( ),( ),( ).f zDf zDDf z設(shè)在區(qū)域 內(nèi)解析

13、則在 內(nèi)任何點都不可能達到最大值 除非在 內(nèi)恒等于常數(shù)1.1.定理定理4.234.23下面證明下面證明: :,02對有0(Re ),if zM0,假若使00(Re),if zM( ),f z由的連續(xù)性00, 使當時0(Re ),if zM故0()Mf z2001(Re )2if zd0000001(Re )(Re )2iif zdf zd020(Re )if zd,M矛盾矛盾. .2001(Re ),2if zdM故于是于是0()Mf z2001(Re )2if zd,M因此因此, ,我們證明了我們證明了, ,0( ),zf zM在以 為心的每一個充分小圓周上有0( ),zKf zM即在 充分

14、小鄰域 內(nèi)有( ),f zK故在 內(nèi)為常數(shù)( ),f zD而在區(qū)域 內(nèi)解析( )f zD故在 內(nèi)必為常數(shù)注注 解析函數(shù)在邊界上的最大?？梢韵拗破湓诮馕龊瘮?shù)在邊界上的最大?？梢韵拗破湓趨^(qū)域內(nèi)的最大模區(qū)域內(nèi)的最大模. .2 2推論推論4.244.24(1)( )f zDDDD設(shè)函數(shù)在有界區(qū)域 內(nèi)解析,在閉域上連續(xù);(2)( ),;f zM zD( ),( ),.f zf zM zD則除為常數(shù)外注注1:1:有界閉域上解析函數(shù)的最大模只能在邊界取得有界閉域上解析函數(shù)的最大模只能在邊界取得. .注注2:2:CauchyCauchy不等式中不等式中( )( )z aRM RMax f z 也可理解為( )( ) .z aRM RMax f z P180習題習題(一一) 8(2); 9; 12 本節(jié)結(jié)束本節(jié)結(jié)束 謝謝！謝謝！3.3.最小模原理最小模原理( ),( )( ).f zDf zDf zD設(shè)在區(qū)域 內(nèi)解析 又在 內(nèi)不是常數(shù)且無零點,則在 內(nèi)無最小值證明證明: :( )zRf z若在內(nèi)無零點,則由題設(shè)則由題設(shè), ,( ),f zzR在上也無零點故故1( ),( )zzRf z在上解析此時此時11(0),(0)fa,zR但在上11