1、第4講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【2021年高考會(huì)這樣考】1考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用2以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為知識(shí)載體，考查指數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)圖象的應(yīng)用3以指數(shù)或指數(shù)型函數(shù)為命題背景，重點(diǎn)考查參數(shù)的計(jì)算或比擬大小【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1熟練掌握指數(shù)的運(yùn)算是學(xué)好該局部知識(shí)的根底，較高的運(yùn)算能力是高考得分的保障，所以熟練掌握這一根本技能是重中之重2本講復(fù)習(xí)，還應(yīng)結(jié)合具體實(shí)例了解指數(shù)函數(shù)的模型，利用圖象掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)重點(diǎn)解決：(1)指數(shù)冪的運(yùn)算；(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì). 根底梳理1根式(1)根式的概念如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a(n1且，nN*)，那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根也就是，假設(shè)xna，那么x叫做a的n次方根，

2、其中n1且nN*.式子eq r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)(2)根式的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次方根用符號(hào)eq r(n,a)表示當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這時(shí)，正數(shù)的正的n次方根用符號(hào)eq r(n,a)表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)eq r(n,a)表示正負(fù)兩個(gè)n次方根可以合寫為eq r(n,a)(a0)eq blc(rc)(avs4alco1(r(n,a)na.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq r(n,an)a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq r(n,an) |a|eq blcrc (avs4alco1(a a0,a

3、 a0).負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正整數(shù)指數(shù)冪：anaaeq o(a,sdo4(n個(gè)) (nN*)；零指數(shù)冪：a01(a0)；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：apeq f(1,ap)(a0，pN*)；正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq f(m,n)eq r(n,am)(a0，m、n N*，且n1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq f(m,n)eq f(1,af(m,n)eq f(1,r(n,am)(a0，m、nN*且n1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)arasars(a0，r、sQ)(ar)sars(a0，r、sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指數(shù)函數(shù)的圖象

4、與性質(zhì)yaxa10a1圖象定義域R值域(0，)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1)x0時(shí)，0y1x0時(shí)，y1.在(，)上是減函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，0y1；當(dāng)x0時(shí)，y1；在(，)上是增函數(shù)一個(gè)關(guān)系分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算兩個(gè)防范(1)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按：0a1和a1進(jìn)行分類討論(2)換元時(shí)注意換元后“新元的范圍三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,a).雙基自測(cè)1(202

5、1山東)假設(shè)點(diǎn)(a,9)在函數(shù)y3x的圖象上，那么taneq f(a,6)的值為() A0 B.eq f(r(3),3) C1 D.eq r(3)解析由題意有3a9，那么a2，tan eq f(a,6)tan eq f(,3)eq r(3).答案D2(2021郴州五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)2|x1|的圖象是()解析f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x1，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x1，x1知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，)答案A4(2021汕尾模擬)以下區(qū)間中，函數(shù)f(x)|ln(2x)|在其上為增函數(shù)的是()A(，1 B.eq blcrc(avs4alc

6、o1(1，f(4,3)C.eq blcrc)(avs4alco1(0，f(3,2) D1,2)解析法一當(dāng)2x1，即x1時(shí)，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此時(shí)函數(shù)f(x)在(，1上單調(diào)遞減當(dāng)02x1，即1x2時(shí)，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此時(shí)函數(shù)f(x)在1,2)上單調(diào)遞增，應(yīng)選D.法二f(x)|ln(2x)|的圖象如下圖由圖象可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2)上為增函數(shù)，應(yīng)選D.答案D5假設(shè)logaeq f(2,3)1，那么a的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，1)考向一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值【例1】求值：(1)eq f(log89,log2

7、3)；(2)(lg 5)2lg 50lg 2；(3)eq f(1,2)lg eq f(32,49)eq f(4,3)lg eq r(8)lg eq r(245).審題視點(diǎn) 運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么及換底公式解(1)原式eq f(log2332,log23)eq f(2,3).(2)原式(lg 5)2lg(105)lg eq f(10,5)(lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)法一原式eq f(1,2)(5lg 22lg 7)eq f(4,3)eq f(3,2)lg 2eq f(1,2)(2lg 7lg 5)eq f(5,2)lg 2lg 72lg 2lg

8、7eq f(1,2)lg 5eq f(1,2)(lg 2lg 5)eq f(1,2)lg 10eq f(1,2).法二原式lgeq f(4r(2),7)lg 4lg(7eq r(5)lgeq f(4r(2)7r(5),74)lgeq r(10)eq f(1,2). 對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)與指數(shù)互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)的運(yùn)算可根據(jù)對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行在解決對(duì)數(shù)的運(yùn)算和與對(duì)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意化簡(jiǎn)過(guò)程中的等價(jià)性和對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化【訓(xùn)練1】 (1)假設(shè)2a5b10，求eq f(1,a)eq f(1,b)的值(2)假設(shè)xlog341，求4x4x的值解(1)由alog210

9、，blog510，那么eq f(1,a)eq f(1,b)lg 2lg 5lg 101.(2)由xlog43，那么4x4x4log434log433eq f(1,3)eq f(10,3).考向二對(duì)數(shù)值的大小比擬【例2】f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，設(shè)af(log47)，bf(logeq f(1,2)3)，cf(0.20.6)，那么a，b，c的大小關(guān)系是()Acab BcbaCbca Dabc審題視點(diǎn) 利用函數(shù)單調(diào)性或插入中間值比擬大小解析logeq f(1,2)3log23log49，bf(logeq f(1,2)3)f(log49)f(log49)，log47log

10、49,0.20.6eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)eq f(3,5)eq r(5,125)eq r(5,32)2log49，又f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，故f(x)在0，)上是單調(diào)遞減的，f(0.20.6)f(logeq f(1,2)3)f(log47)，即cba，應(yīng)選B.答案B 一般是同底問(wèn)題利用單調(diào)性處理，不同底問(wèn)題的處理，一般是利用中間值來(lái)比擬大小，同指(同真)數(shù)問(wèn)題有時(shí)也可借助指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來(lái)解決【訓(xùn)練2】 (2021全國(guó))設(shè)alog32，bln 2，c5eq f(1,2)，那么()Aabc Bbca Ccab Dcba解析法

11、一alog32eq f(1,log23)，bln 2eq f(1,log2e)，而log23log2e1，所以ab，c5eq f(1,2)eq f(1,r(5)，而eq r(5)2log24log23，所以ca，綜上cab，應(yīng)選C.法二alog32eq f(1,log23)，bln 2eq f(1,log2e)，1log2elog232，eq f(1,2)eq f(1,log23)eq f(1,log2e)1；c5eq f(1,2)eq f(1,r(5)eq f(1,r(4)eq f(1,2)，所以cab，應(yīng)選C.答案C考向三對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例3】函數(shù)f(x)loga(2ax)，是否存在實(shí)

12、數(shù)a，使函數(shù)f(x)在0,1上是關(guān)于x的減函數(shù)，假設(shè)存在，求a的取值范圍審題視點(diǎn) a0且a1，問(wèn)題等價(jià)于在0,1上恒有eq blcrc (avs4alco1(a1,2ax0).解a0，且a1，u2ax在0,1上是關(guān)于x的減函數(shù)又f(x)loga(2ax)在0,1上是關(guān)于x的減函數(shù)，函數(shù)ylogau是關(guān)于u的增函數(shù)，且對(duì)x0,1時(shí)，u2ax恒為正數(shù)其充要條件是eq blcrc (avs4alco1(a1,2a0)，即1a2.a的取值范圍是(1,2) 研究函數(shù)問(wèn)題，首先考慮定義域，即定義域優(yōu)先的原那么研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意內(nèi)層與外層的單調(diào)性問(wèn)題復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的法那么是“同增異減此題的易

13、錯(cuò)點(diǎn)為：易忽略2ax0在0,1上恒成立，即2a0.實(shí)質(zhì)上是忽略了真數(shù)大于0的條件【訓(xùn)練3】 f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)求f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)上的值域解(1)由4x10解得x0，因此f(x)的定義域?yàn)?0，)(2)設(shè)0 x1x2，那么04x114x21，因此log4(4x11)log4(4x21)，即f(x1)0)f(x)ax2bxc(a1，)即eq blcrc (avs4alco1(b23b20，,b1.)解得b2.答案C5(2021武漢模擬)假設(shè)函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)

14、a、bR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，4，那么該函數(shù)的解析式f(x)_.解析f(x)bx2(ab2a)x2a2由條件ab2a0，又f(x)的值域?yàn)?，4，那么eq blcrc (avs4alco1(a0，,b2，,2a24.)因此f(x)2x24.答案2x24考向一二次函數(shù)的圖象【例1】(2021安徽)設(shè)abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()審題視點(diǎn) 分類討論a0，a0.解析假設(shè)a0，那么bc0，根據(jù)選項(xiàng)C、D，c0，此時(shí)只有b0，二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程xeq f(b,2a)0，選項(xiàng)D有可能；假設(shè)a0，根據(jù)選項(xiàng)A，c0，此時(shí)只能b0，二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程xeq f(b,2a)0，與

15、選項(xiàng)A不符合；根據(jù)選項(xiàng)B，c0，此時(shí)只能b0，此時(shí)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程xeq f(b,2a)0，與選項(xiàng)B不符合綜合知只能是選項(xiàng)D.答案D 分析二次函數(shù)的圖象，主要有兩個(gè)要點(diǎn)：一個(gè)是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它確定二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向；二是看對(duì)稱軸和最值，它確定二次函數(shù)的具體位置對(duì)于函數(shù)圖象判斷類似題要會(huì)根據(jù)圖象上的一些特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷，如函數(shù)圖象與正半軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)等【訓(xùn)練1】 二次函數(shù)f(x)的圖象如下圖，那么其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象的大致形狀是()解析由函數(shù)f(x)的圖象知：當(dāng)x(，1時(shí)，f(x)為減函數(shù)，f(x)0；當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)0.結(jié)合選項(xiàng)知選C.

16、答案C考向二二次函數(shù)的性質(zhì)【例2】函數(shù)f(x)x22x2在閉區(qū)間t，t1(tR)上的最小值記為g(t)(1)試寫出g(t)的函數(shù)表達(dá)式；(2)作g(t)的圖象并寫出g(t)的最小值審題視點(diǎn) 分類討論t的范圍分別確定g(t)解析式解(1)f(x)(x1)21.當(dāng)t11，即t0時(shí)，g(t)t21.當(dāng)t1t1，即0t1時(shí)，g(t)f(1)1當(dāng)t1時(shí)，g(t)f(t)(t1)21綜上可知g(t)eq blcrc (avs4alco1(t210，t0，,1，0t1，,t22 t2，t1.)(2)g(t)的圖象如下圖，可知g(t)在(，0上遞減，在1，)上遞增，因此g(t)在0,1上取到最小值1. (1)

17、二次函數(shù)yax2bxc，在(，)上的最值可由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出；(2)二次函數(shù)yax2bxc，在m，n上的最值需要根據(jù)二次函數(shù)yax2bxc圖象對(duì)稱軸的位置，通過(guò)討論進(jìn)行求解【訓(xùn)練2】 函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，x1時(shí)，f(x)取得最小值1；x5時(shí)，f(x)取得最大值37.(2)函數(shù)f(x)(xa)22a2的圖象的對(duì)稱軸為直線xa，yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)，a5或a5，故a的取值范圍是a5或a5.考

18、向三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例3】?jī)绾瘮?shù)f(x)xm22m3(mN*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足(a1)eq f(m,3)(32a)eq f(m,3)的a的取值范圍審題視點(diǎn) 由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m22m30，再結(jié)合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶數(shù)可得m的值解函數(shù)在(0，)上遞減，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，m22m3是偶數(shù)，而222233為奇數(shù)，122134為偶數(shù)，m1.而f(x)xeq f(1,3)在(，0)，(0，)上均為減函數(shù)，(a1)eq f(1,3)(32a)eq f(1,3)等價(jià)于a132a0或0a132a或a1032a.

19、解得a1或eq f(2,3)aeq f(3,2).故a的取值范圍為eq blcrc(avs4alco1(a|a1或f(2,3)af(3,2). 此題集冪函數(shù)的概念、圖象及單調(diào)性、奇偶性于一體，綜合性較強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì)解答此類問(wèn)題可分為兩大步：第一步，利用單調(diào)性和奇偶性(圖象對(duì)稱性)求出m的值或范圍；第二步，利用分類討論的思想，結(jié)合函數(shù)的圖象求出參數(shù)a的取值范圍【訓(xùn)練3】 冪函數(shù)yxa，當(dāng)a取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間0,1上它們的圖象是一族美麗的曲線(如圖)設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)yx，yx的圖象三等分，即有|BM|MN|NA|

20、.那么，()A1 B2 C3 D無(wú)法確定解析法一由條件得Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3)，由一般性，可得eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，即logeq f(2,3)eq f(1,3)，logeq f(1,3)eq f(2,3).所以logeq f(2,3)eq f(1,3)logeq f(1,3)eq f(2,3)eq f(lgf(1,3),lgf(2,3)eq f(lgf

21、(2,3),lgf(1,3)1.法二由解法一，得eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，那么eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)aeq f(1,3)，即1.答案A標(biāo)準(zhǔn)解答4如何求解二次函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的最值【問(wèn)題研究】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一定要根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系確定最值，當(dāng)函數(shù)解析式中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)參數(shù)的取值情況進(jìn)行分類討論，防止漏解【解決方案】 對(duì)于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)而言，首先確定對(duì)稱軸，然后與所給區(qū)間的位置關(guān)系分三類進(jìn)行討論【例