1、外接球相關(guān)的最值問題【真題回顧】(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷（理）)設(shè)是同一個(gè)半徑為的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為()BCD【答案】B解析：設(shè)的邊長(zhǎng)為，則，此時(shí)外接圓的半徑為，故球心到面的距離為，故點(diǎn)到面的最大距離為，此時(shí)，故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由為三角形的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知是球的球面上兩點(diǎn)，,為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為()A B C D【答案】

2、C解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積【例題精講】類型一：動(dòng)點(diǎn)在球面上運(yùn)動(dòng)【例1】已知三棱錐PABC的頂點(diǎn)P，A，B，C在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為eq r(3)的等邊三角形，如果球O的表面積為36，那么P到平面ABC距離的最大值為_【答案】32eq r(2)解析依題意，邊長(zhǎng)是eq r(3)的等邊ABC的外接圓半徑req f(1,2)eq f(r(3),sin 60)1.球O的表面積為364R2，球O的半徑R3，球心O到平面ABC的距離deq r(R2r2)2eq r(2)，球面上的點(diǎn)P

3、到平面ABC距離的最大值為Rd32eq r(2)【變式1】已知三棱錐S-ABC的外接球O的表面積為，SA=2，SA平面ABC，ABC是以AC為斜邊的直角三角形，點(diǎn)P在球O的表面上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐P-ABC體積的最大值為（ ） B C D【答案】A解析：因SA平面ABC，平面ABC，則SABC，又ABBC，于是得BC平面SAB，而平面SAB，則有SBBC，SC中點(diǎn)為O，連OB，OA，如圖，于是得OB=OA=OC=OS，即點(diǎn)S，A，B，C在給定的球O的表面上，OA長(zhǎng)為該球半徑，由得，而SAAC，SA=2，則AC=2，在中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，又，于是得，取AC中點(diǎn)O1，連OO1，則O1為外接圓圓

4、心，OO1平面ABC，而球O表面上的點(diǎn)P到平面ABC的距離最大值為，所以三棱錐體積最大值為.故選：A類型二：旋轉(zhuǎn)折疊類【例2】在四面體ABCD中，AB1，BCCDeq r(3)，ACeq r(2)，當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為()A2B3C6D8【答案】C解析AB1，BCeq r(3)，ACeq r(2)，由勾股定理可得AB2AC2BC2，所以ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且該三角形的外接圓直徑為BCeq r(3)，當(dāng)CD平面ABC時(shí)，四面體ABCD的體積取最大值，此時(shí)，其外接球的直徑為2Req r(BC2CD2)eq r(6)，因此，四面體ABCD的外接球的表面積為4

5、R2(2R)26故選C【變式2】如圖，在矩形ABCD中，已知AB2AD2a，E是AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成A1DE，連接A1C若當(dāng)三棱錐A1CDE的體積取得最大值時(shí)，三棱錐A1CDE外接球的體積為 eq f(8r(2),3)，則a()A2B eq r(2)C2 eq r(2)D4【答案】B解析在矩形ABCD中，已知AB2AD2a，E是AB的中點(diǎn)，所以A1DE為等腰直角三角形，斜邊DE上的高為A1K eq f(1,2)DE eq f(1,2) eq r(a2a2) eq f(r(2),2)a要想三棱錐A1CDE的體積最大，需高最大，則當(dāng)A1DE面BCDE時(shí)體積最大，此時(shí)三棱錐A1CDE

6、的高等于A1K eq f(r(2),2)a，取DC的中點(diǎn)H，過H作下底面的垂線，此時(shí)三棱錐A1CDE的外接球球心O在此垂線上因?yàn)槿忮FA1CDE外接球的體積為 eq f(8r(2),3)，所以球半徑R eq r(2)，如圖，OH2OC2CH2，A1O2A1G2GO2，即OH2R2a2，R2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)aOH) eq sup12(2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)a) eq sup12(2)，聯(lián)立可得a eq r(2)故選B類型三：底面不確定型【例3】已知三棱錐SABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，且該三棱錐的體積為2

7、eq r(3)，SA平面ABC，SA4，ABC120，則球O的體積的最小值為_【答案】 eq f(40r(10),3)解析VSABC eq f(1,3)SABCSA eq f(1,3) eq f(1,2) eq f(r(3),2)BABC42 eq r(3)，故BABC6根據(jù)余弦定理AC2BA2BC22BABC cos BBA2BC2BABC3BABC，即AC3 eq r(2)，當(dāng)BABC時(shí)等號(hào)成立設(shè)ABC的外接圓半徑為r，故2r eq f(b,sin B)2 eq r(6)，即r eq r(6)設(shè)球O的半徑為R，球心O在平面ABC的投影O1為ABC外心，則R2r2 eq blc(rc)(av

8、s4alco1(f(SA,2) eq sup12(2)6410，R eq r(10)，V eq f(4,3)R3 eq f(40r(10),3)類型四：垂徑定理型【例4】已知球是正三棱錐(底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心)的外接球，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）BCD【答案】C解析：如圖，設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，則，.在中，解得，則，由，得.在中，.所以.過點(diǎn)作球的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑為，則最小面積為.當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為故選：C【變式4】正方體的棱長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)分別是P，Q，直線與正方體的外接球O相交于M，N兩點(diǎn)點(diǎn)G是球O上的動(dòng)點(diǎn)則面積的最大值為（ ）BCD【答案】A【分析】如圖，設(shè)正方體外接球球O的半徑為r，過球心O作，垂足為H，可得H為的中點(diǎn)，由已知數(shù)據(jù)可求得的長(zhǎng)是定值，而點(diǎn)G是球O上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)G到的距離最大