1、第十二章全等三角形121全等三角形基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1全等形1下列各圖形中，不是全等形的是(A)2如圖所示，是全等形的是(1)和(9)；(2)和(3)；(4)和(8)；(5)和(7)；(11)和(12)知識(shí)點(diǎn)2全等三角形的概念及表示方法3已知ABC與EDF全等，其中點(diǎn)A與點(diǎn)E，點(diǎn)B與點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊為AB與ED，AC與EF，BC與DF，對(duì)應(yīng)角為A與E，B與D，C與F，ABCEDF4如圖，已知ADCCEB，寫出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角解：AC與CB，AD與CE，CD與BE是對(duì)應(yīng)邊；A與BCE，ACD與B，D與E是對(duì)應(yīng)角知識(shí)點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)5(廈門中考)如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段

2、BC上，ABF與DCE全等，點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M，則DCE(A)ABBACEMFDAFB6(成都中考)如圖，ABCABC，其中A36，C24，B1207如圖，把ABC沿直線BA翻折至ABD，那么ABC和ABD是全等圖形(填“是”或“不是”)若CB5，則DB5；若ABC的面積為10，則ABD面積為108如圖所示，已知ABDACD，且B，D，C在同一條直線上，那么AD與BC是怎樣的位置關(guān)系？為什么？解：ADBC.理由：ABDACD，ADBADC.又ADBADC180，ADBADC90.ADBC.9如圖，ABCDEF，A50，B30，BF2，求DFE的度數(shù)與EC的長解

3、：在ABC中，ACB180AB1805030100.ABCDEF，DFEACB100，EFBC.EFCFBCCF，即ECBF2.易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)應(yīng)邊不確定10已知ABC的三邊長分別為3，5，7，DEF的三邊長分別為3，3x2，2x1，若這兩個(gè)三角形全等，則x等于(C) f(7,3) B4 C3 D3或eq f(7,3)中檔題11如圖所示，將ABC沿AC對(duì)折，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，則全等的三角形有(C)A1對(duì)B2對(duì)C3對(duì)D4對(duì)12若ABCDEF，且ABC的周長為20，AB5，BC8，則DF長為(C)A5 B8 C7 D5或813如圖，ABEACD，B50，AEC120，則DAC的度數(shù)是(B)A120 B70

4、C60 D5014如圖，已知ABCDEF，DFBC，且B60，F(xiàn)40，點(diǎn)A在DE上，則BAD的度數(shù)為(B)A15 B20 C25 D3015如圖，ABCDEF，請根據(jù)圖中提供的信息，寫出x2016如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，ABCBAD.求證：(1)OAOB；(2)ABCD.證明：(1)ABCBAD，CABDBA.OAOB.(2)ABCBAD，ACBD.又OAOB，ACOABDOB，即OCOD.OCDODC.AOBCOD，CABeq f(180AOB,2)，ACDeq f(180COD,2)，CABACD.ABCD.17如圖，ABCADE，DAC60，BAE100，BC，

5、DE相交于點(diǎn)F，求DFB的度數(shù)解：ABCADE，BD，BACDAE.又BADBACCAD，CAEDAECAD，BADCAE.DAC60，BAE100，BADeq f(1,2)(BAEDAC)20.BD，AGBFGD，DFBBAD20.綜合題18如圖所示，A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，且BADACE.(1)你能說明BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系嗎？(2)請你猜想ABD滿足什么條件時(shí)，BDCE?解：(1)BDDECE.理由：BADACE，BDAE，ADCE，BDAEADDECEDE，即BDDECE.(2)ABD滿足ADB90時(shí)，BDCE.理由：BADACE，EADB90.BDE1809090E.BD

6、CE.三角形全等的判定第1課時(shí)用“SSS”判定三角形全等基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1用“SSS”判定三角形全等1如圖，如果ABAB，BCBC，ACAC，那么下列結(jié)論正確的是(A)AABCABCBABCCABCABCBCAD這兩個(gè)三角形不全等2如圖，下列三角形中，與ABC全等的是3如圖所示，ADBC，ACBD，用三角形全等的判定“SSS”可證明ADCBCD或ABDBAC4如圖，OAOB，ACBC.求證：AOCBOC.證明：在AOC和BOC中，eq blc(avs4alco1(OAOB，,ACBC，,OCOC，)AOCBOC(SSS)5已知：如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，求證：ABDACD.

7、證明：AD是BC邊上的中線，BDCD.在ABD和ACD中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,ADAD，,BDCD，)ABDACD(SSS)知識(shí)點(diǎn)2三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合6如圖，ABA1B1，BCB1C1，ACA1C1，且A110，B40，則C1(C)A110 B40 C30 D207如圖所示，在ABC和DBC中，已知ABDB，ACDC，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(D)AABCDBC BADCBC是ACD的平分線 DABCD8(福建中考)如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，ABDE，ACDF，BECF.求證：AD.證明：BECF，BECECFCE，即BCEF.在ABC和DEF中，eq

8、 blc(avs4alco1(ABDE，,ACDF，,BCEF，)ABCDEF(SSS)AD.知識(shí)點(diǎn)3尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角9已知AOB，點(diǎn)C是OB邊上的一點(diǎn)用尺規(guī)作圖畫出經(jīng)過點(diǎn)C與OA平行的直線解：以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑，弧交OA于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)D；以點(diǎn)C為圓心，OD的長為半徑畫弧交OB于點(diǎn)G；以點(diǎn)G為圓心，DE的長為半徑，交前弧于點(diǎn)H，連接CH，則CHOA.中檔題10如圖，ABAC，ADAE，BECD，2110，BAE60，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(C)AABEACD BABDACECC30 D17011(長春中考)如圖，以ABC的頂點(diǎn)A為圓心，以BC長為半徑作?。辉僖皂旤c(diǎn)C為圓心，以AB長

9、為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；連接AD，CD.若B65，則ADC的大小為6512如圖，ABAC，DBDC，EBEC.(1)圖中有幾對(duì)全等三角形？請一一寫出來；(2)選擇(1)中的一對(duì)全等三角形加以證明解：(1)有3對(duì)全等三角形：ABDACD，ABEACE，DBEDCE.(2)以ABDACD為例證明：在ABD和ACD中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,DBDC，,ADAD，)ABDACD(SSS)13(河北中考)如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上(F，C之間不能直接測量)，點(diǎn)A，D在l異側(cè)，測得ABDE，ACDF，BFEC.(1)求證：ABCDEF；(2)指出圖中所有平行的線段，并說明理

10、由解：(1)證明：BFEC，BFFCECCF，即BCEF.又ABDE，ACDF，ABCDEF(SSS)(2)ABDE，ACDF.理由：ABCDEF，ABCDEF，ACBDFE.ABDE，ACDF.14如圖，已知ABAC，ADAE，BDCE，求證：312.證明：在ABD和ACE中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,ADAE，,BDCE，)ABDACE(SSS)BAD1，ABD2.3BADABD，312.綜合題15(佛山中考)如圖，已知ABDC，DBAC.(1)求證：BC；(注：證明過程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù))(2)在(1)的證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？解：(1)證

11、明：連接AD，在BAD和CDA中，eq blc(avs4alco1(ABDC（已知），,DBAC（已知），,ADDA（公共邊），)BADCDA(SSS)BC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)(2)作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形第2課時(shí)用“SAS”判定三角形全等基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1利用“SAS”判定三角形全等1.下圖中全等的三角形有(D) 圖1圖2圖3圖4A圖1和圖2 B圖2和圖3C圖2和圖4 D圖1和圖32.如圖，在ABD和ACE中，ABAC，ADAE，要證ABDACE，需補(bǔ)充的條件是(C)ABC BDECDAEBAC DCADDAC3已知：如圖，OAOB，OC平分AOB，求證：AOCBOC.證明：OC平

12、分AOB，AOCBOC.在AOC和BOC中，eq blc(avs4alco1(OAOB，,AOCBOC，,OCOC，)AOCBOC(SAS)知識(shí)點(diǎn)2全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合4(瀘州中考)如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，CDBE，CDBE.求證：DE.證明：C是線段AB的中點(diǎn)，ACCB.CDBE，ACDCBE.在ACD和CBE中，eq blc(avs4alco1(ACCB，,ACDCBE，,CDBE，)ACDCBE(SAS)DE.5如圖，已知ABC和DAE，D是AC上一點(diǎn)，ADAB，DEAB，DEAC.求證：AEBC.證明：DEAB，ADEBAC.在ADE和BAC中，eq blc(avs4alco

13、1(ADBA，,ADEBAC，,DEAC，)ADEBAC(SAS)AEBC.知識(shí)點(diǎn)3利用“SAS”判定三角形全等解決實(shí)際問題6如圖，將兩根鋼條AA，BB的中點(diǎn)O連在一起，使AA，BB可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測量工件，則AB的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定AOBAOB的理由是(A)A邊角邊 B角邊角C邊邊邊 D角角邊7如圖所示，有一塊三角形鏡子，小明不小心將它打破成1、2兩塊，現(xiàn)需配成同樣大小的一面鏡子為了方便起見，需帶上1塊，其理由是兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等易錯(cuò)點(diǎn)誤用“SSA”判定三角形全等8如圖，AD平分BAC，BDCD，則B與C相等嗎？為什么？解：相等理由：AD平分BAC

14、，BADCAD.在ABD和ACD中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,BADCAD，,BDCD，)ABDACD(SAS)BC.以上解答是否正確？若不正確，請說明理由解：不正確使用“SAS”的前提條件：已知的對(duì)應(yīng)元素(邊或角)必須都是兩個(gè)三角形中元素(邊或角)，且其中一個(gè)三角形的兩邊及其夾角必須對(duì)應(yīng)相等本題錯(cuò)誤的原因是列的條件和使用方法不對(duì)應(yīng)，錯(cuò)用“SSA”來證明兩個(gè)三角形全等中檔題9如圖，已知ABAC，ADAE，若要得到“ABDACE”，必須添加一個(gè)條件，則下列所添?xiàng)l件不成立的是(B)ABDCE BABDACECBADCAE DBACDAE10(陜西中考)如圖，在四邊形ABCD中，

15、ABAD，CBCD.若連接AC，BD相交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有(C)A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)11如圖，點(diǎn)A在BE上，ADAE，ABAC，1230，則3的度數(shù)為3012如圖所示，A，B，C，D是四個(gè)村莊，B，D，C在一條東西走向公路的沿線上，BD1 km，DC1 km，村莊AC，AD間也有公路相連，且公路AD是南北走向，AC3 km，只有AB之間由于間隔了一個(gè)小湖，所以無直接相連的公路現(xiàn)決定在湖面上造一座斜拉橋，測得AE km，BF km，則建造的斜拉橋長至少有.13如圖，點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，BCEF，ACBC于點(diǎn)C，DFEF于點(diǎn)F，ACDF.求證：(1)ABCDEF；(2

16、)ABDE.證明：(1)ACBC于點(diǎn)C，DFEF于點(diǎn)F，ACBDFE90.在ABC和DEF中，eq blc(avs4alco1(BCEF，,ACBDFE，,ACDF，)ABCDEF(SAS)(2)ABCDEF，BDEF.ABDE.14如圖所示，A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)同在一直線上，AFCD，ABDE，且ABDE.求證：(1)ABCDEF；(2)CBFFEC.證明：(1)ABDE，AD.又AFCD，AFFCCDFC.ACDF.ABDE，ABCDEF(SAS)(2)ABCDEF，BCEF，ACBDFE.FCCF，F(xiàn)BCCEF(SAS)CBFFEC.綜合題15如圖，在四邊形ABCD中，ABCD90，BCD

17、C.延長AD到點(diǎn)E，使DEAB.求證：(1)ABCEDC；(2)ABCEDC.證明：(1)在四邊形ABCD中，BADBCD90，BADC180.又CDEADC180.ABCEDC.(2)連接AC.在ABC和EDC中，eq blc(avs4alco1(ABED，,ABCEDC，,CBCD，)ABCEDC(SAS)第3課時(shí)用“ASA”或“AAS”判定三角形全等基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1利用“ASA”判定三角形全等1如圖，已知ABC三條邊、三個(gè)角，則甲、乙兩個(gè)三角形中和ABC全等的圖形是(B)A甲 B乙 C甲和乙都是 D都不是2(宜賓中考)如圖，已知CABDBA，CBDDAC.求證：BCAD.證明：CABDBA

18、，CBDDAC，DABCBA.在ADB與BCA中，eq blc(avs4alco1(CABDBA，,ABBA，,DABCBA，)ADBBCA(ASA)BCAD.3(孝感中考)如圖，BDAC于點(diǎn)D，CEAB于點(diǎn)E，ADAE.求證：BECD.證明：BDAC，CEAB，ADBAEC90.在ABD和ACE中，eq blc(avs4alco1(ADBAEC，,ADAE，,AA，)ABDACE(ASA)ABAC.又ADAE，ABAEACAD，即BECD.知識(shí)點(diǎn)2利用“AAS”判定三角形全等4如圖所示，在ABC中，BC，D為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D分別向AB，AC作垂線段，則能夠說明BDECDF的理由是(D)AS

19、SS BSAS CASA DAAS5(玉林中考)如圖，ABAE，12，CD.求證：ABCAED.證明：12，1EAC2EAC，即BACEAD.又CD，ABAE，ABCAED(AAS)6(廣西中考)如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BECF，AD，BC.求證：ABDC.證明：BECF，BFCE.在ABF和DCE中，eq blc(avs4alco1(AD，,BC，,BFCE，)ABFDCE(AAS)ABDC.知識(shí)點(diǎn)3三角形全等判定方法的選用7(南州中考)如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，ABED，ACFD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定ABCDEF的是(C)AABDE BACDF CAD DBFEC8

20、(濟(jì)寧中考)如圖，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分別為D，E，AD，CE交于點(diǎn)H，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：答案不唯一，如AHCB，使AEHCEB.中檔題9如圖所示，CABDBA，CD，AC，BD相交于點(diǎn)E，下列結(jié)論不正確的是(B)ADAECBE BDEA與CEB不全等 CCEDE DEAEB10如圖所示，已知D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DEEF，F(xiàn)CAB.若BD2，CF5，則AB的長為(D)A1 B3 C5 D711(宜昌中考)楊陽同學(xué)沿一段筆直的人行道行走，在由A步行到達(dá)B處的過程中，通過隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的社會(huì)主義核心價(jià)值觀標(biāo)語，其具體信息如

21、下：如圖，ABOHCD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于O，ODCD，垂足為D，已知AB20 m，請根據(jù)上述信息求標(biāo)語CD的長度解：ABCD，ABOCDO.ODCD，CDO90.ABO90，即OBAB.相鄰兩平行線間的距離相等，ODOB.在ABO和CDO中，eq blc(avs4alco1(ABOCDO，,OBOD，,AOBCOD，)ABOCDO(ASA)CDAB20 m.12(邵陽中考)如圖，已知點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，ABCD，ABECDF，AFCE.(1)從圖中任找兩組全等三角形；(2)從(1)中任選一組進(jìn)行證明解：(1)ABECDF，AFDCEB(答案不唯一)(2)選A

22、BECDF，證明：ABCD，BAEDCF.AFCE，AFEFCEEF，即AECF.在ABE和CDF中，eq blc(avs4alco1(BAEDCF，,ABECDF，,AECF，)ABECDF(AAS)綜合題13如圖1所示，在ABC中， ACB90，ACBC，過點(diǎn)C在ABC外作直線MN，AMMN于點(diǎn)M，BNMN于點(diǎn)N.(1)求證：MNAMBN；(2)如圖2，若過點(diǎn)C作直線MN與線段AB相交，AMMN于點(diǎn)M，BNMN于點(diǎn)N(AMBN)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？說明理由解：(1)證明：ACB90，ACMBCN90.又AMMN，BNMN，AMCCNB90.BCNCBN90.ACMCBN.在ACM

23、和CBN中，eq blc(avs4alco1(ACMCBN，,AMCCNB，,ACCB，)ACMCBN(AAS)MCNB，MANC.MNMCCN，MNAMBN.(2)(1)中的結(jié)論不成立，結(jié)論為MNAMBN.理由：同(1)中證明可得ACMCBN，CMBN，AMCN.MNCNCM，MNAMBN.第4課時(shí)用“HL”判定直角三角形全等基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1利用“HL”判定三角形全等1如圖，BADBCD90，ABCB，可以證明BADBCD的理由是(A)AHL BASA CSAS DAAS2下列判定兩個(gè)直角三角形全等的方法中，不正確的是(D)A兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等B斜邊和一銳角分別對(duì)應(yīng)相等C斜邊和一條直角邊分

24、別對(duì)應(yīng)相等D兩個(gè)三角形的面積相等3在RtABC和RtDEF中，ABDE，AD90，再補(bǔ)充一個(gè)條件答案不唯一，如BCEF，便可得RtABCRtDEF.4如圖，小明和小芳以相同的速度分別同時(shí)從A，B出發(fā)，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同時(shí)到達(dá)C，D.若CBAB，DAAB，則CB與DA相等嗎？為什么？解：CBDA.理由：由題意易知ACBD.CBAB，DAAB，DABCBA90.在RtDAB和RtCBA中，eq blc(avs4alco1(BDAC，,ABBA，)RtDABRtCBA(HL)DACB.5如圖，ADBE，垂足C是BE的中點(diǎn)，ABDE，求證：ABDE.證明：C是BE的中點(diǎn)，BCCE.A

25、DBE，ACBDCE90.在RtACB和RtDCE中，eq blc(avs4alco1(ABDE，,BCEC，)RtACBRtDCE(HL)BE.ABDE.6如圖，ACBCFE90，ABDE，BCEF，求證：ADCF.證明：ACBCFE90，ACBDFE90.在RtACB和RtDFE中，eq blc(avs4alco1(ABDE，,BCEF，)RtACBRtDFE(HL)ACDF.ACAFDFAF，即ADCF.知識(shí)點(diǎn)2直角三角形全等判定方法的選用7如圖，在RtABC和RtABC中，CC90，那么下列各條件中，不能使RtABCRtABC的是(B)AABAB5，BCBC3BABBC5，AB40CA

26、CAC5，BCBC3DACAC5，AA408如圖所示，BEAC，CFAB，垂足分別是E，F(xiàn).若BECF，則圖中全等三角形有(C)A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)錯(cuò)用了“HL”判定三角形全等9如圖，ABCF于點(diǎn)B，ADCE于點(diǎn)D，且ABAD，DEBF.求證：AFAE.證明：在RtABF和RtADE中，eq blc(avs4alco1(ABAD，,BFDE，)RtABFRtADE(HL)AFAE.上面的推理過程正確嗎？如果不正確，說明錯(cuò)在哪里，并寫出正確的推理過程解：不正確，錯(cuò)用了“HL”證明：ABCF，ADCE，ABFADE90.在ABF和ADE中，eq blc(avs4alco1(ABAD

27、，,ABFADE，,BFDE，)ABFADE(SAS)AFAE.中檔題10如圖，在RtABC中，BAC90，DEBC，AC6，EC6，ACB60，則ACD的度數(shù)為(B)A45 B30 C20 D1511如圖，MNPQ，ABPQ，點(diǎn)A，D在直線MN上，點(diǎn)B，C在直線PQ上，點(diǎn)E在AB上，ADBC7，ADEB，DEEC，則AB712(鎮(zhèn)江中考)如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，ADBC，CD90.(1)求證：ACBBDA；(2)若ABC35，則CAO20證明：CD90，ACB和BDA是直角三角形在RtACB和RtBDA中，eq blc(avs4alco1(BCAD，,ABBA，)RtACBRtBDA(H

28、L)13如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角ABC和ABE的高，如果ADAF，ACAE.求證：BCBE.證明：AD，AF分別是兩個(gè)鈍角ABC和ABE的高，ADBAFB90.在RtABD和RtABF中，eq blc(avs4alco1(ABAB，,ADAF，)RtABDRtABF(HL)DBFB.在RtADC和RtAFE中，eq blc(avs4alco1(ACAE，,ADAF，)RtADCRtAFE(HL)DCFE.DBDCFBFE，即BCBE.綜合題14如圖，已知ABAE，BE，BCED，AFCD.求證：F是CD的中點(diǎn)證明：連接AC，AD.在ABC和AED中，eq blc(avs4alco1(

29、ABAE，,BE，,BCED，)ABCAED(SAS)ACAD.在RtACF和RtADF中，eq blc(avs4alco1(ACAD，,AFAF，)RtACFRtADF(HL)CFDF，即F為CD的中點(diǎn)小專題4證明三角形全等的解題思路思路一：找邊邊相等呈現(xiàn)的方式：公共邊(包括全部公共和部分公共)；中點(diǎn)類型1已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，找第三邊相等1如圖，已知ABDE，ADEC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證：ABDEDC.證明：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BDCD.在ABD和EDC中，eq blc(avs4alco1(ABED，,ADEC，,BDDC，)ABDEDC(SSS)類型2已知兩角對(duì)應(yīng)相等，找夾邊相等2如圖，A

30、BDCDB，ADBDBC，求證：ABDCDB.證明：在ABD和CDB中，eq blc(avs4alco1(ABDCDB，,BDDB，,ADBCBD，)ABDCDB(ASA)類型3已知兩角對(duì)應(yīng)相等，找其中一角的對(duì)邊相等3兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn)，不重疊的兩部分AOF與DOC是否全等？為什么？解：全等理由：兩三角形紙板完全相同，BCBF，ABBD，AD.ABBFBDBC，即AFDC.在AOF和DOC中，eq blc(avs4alco1(AD，,AOFDOC，,AFDC，)AOFDOC(AAS)類型4已知直角三角形的直

31、角邊(或斜邊)相等，找斜邊(或直角邊)相等4已知，如圖，AD90，ABDF，BECF.求證：ABCDFE.證明：BECF，BEECCFEC，即BCEF.在RtABC和RtDFE中，eq blc(avs4alco1(ABDF，,BCFE，)ABCDFE(HL)思路二：找角角相等呈現(xiàn)的方式：公共角；對(duì)頂角；角平分線；垂直；平行類型5已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，找夾角相等5如圖，ABAD，ACAE，BADCAE.求證：ABCADE.證明：BADCAE，BADDACCAEDAC.BACDAE.在ABC和ADE中，eq blc(avs4alco1(ABAD，,BACDAE，,ACAE，)ABCADE(SAS)6如

32、圖，已知ADAE，ABAC，求證：ABEACD.證明：在ABE和ACD中，eq blc(avs4alco1(AEAD，,AA，,ABAC，)ABEACD(SAS)7如圖，已知，AD是ABC中BC邊上的中線，延長AD至E，使DEAD，連接BE，求證：ACDEBD.證明：AD是ABC的中線，BDCD.在ACD和EBD中，eq blc(avs4alco1(CDBD，,ADCEDB，,DADE，)ACDEBD(SAS)類型6已知一邊一角對(duì)應(yīng)相等，找另一角相等8已知，如圖，D是AC上一點(diǎn)，ABDA，DEAB，BDAE，求證：ABCDAE.證明：DEAB，CABEDA.在ABC和DAE中，eq blc(a

33、vs4alco1(CABEDA，,ABDA，,BDAE，)ABCDAE(ASA)9如圖，已知BDCCEB90，BE，CD交于點(diǎn)O，且AO平分BAC，求證：(1)ADOAEO；(2)BDOCEO.證明：(1)AO平分BAC，DAOEAO.BDCCEB90，ADOAEO.在ADO和AEO中，eq blc(avs4alco1(ADOAEO，,DAOEAO，,AOAO，)ADOAEO(AAS)(2)ADOAEO，DOEO.在BDO和CEO中，eq blc(avs4alco1(BDOCEO，,DOEO，,DOBEOC，)BDOCEO(ASA)小專題5全等三角形的基本模型類型1平移模型1如圖，ABDE，A

34、CDF，BECF，求證：ABDE.證明：ABDE，ACDF，BDEF，ACBF.又BECF，BCEF.在ABC和DEF中，eq blc(avs4alco1(BDEF，,BCEF，,ACBF，)ABCDEF(ASA)ABDE.2(東莞月考)如圖，ACDF，ADBE，BCEF.求證：(1)ABCDEF；(2)ACDF.證明：(1)ADBE，ADDBBEDB，即ABDE.在ABC和DEF中，eq blc(avs4alco1(ACDF，,ABDE，,BCEF，)ABCDEF(SSS)(2)ABCDEF，AEDF.ACDF.類型2對(duì)稱模型3如圖，點(diǎn)E，C在BF上，BECF，ABDF，BF，求證：AD.證

35、明：BECF，BEECCFEC，即BCFE.在ABC和DFE中，eq blc(avs4alco1(ABDF，,BF，,BCFE，)ABCDFE(SAS)AD.4如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，ABAC，ADAE.求證：BECD.證明：在AEB和ADC中，eq blc(avs4alco1(AEAD，,AA，,ABAC，)AEBADC(SAS)BECD.5如圖，BD，請?zhí)砑右粋€(gè)條件(不得添加輔助線)，使得ABCADC，并說明理由解：添加BACDAC(答案不唯一)，理由：在ABC和ADC中，eq blc(avs4alco1(BD，,BACDAC，,ACAC，)ABCADC(AAS)類型3旋轉(zhuǎn)模型6

36、如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OAOC，OBOD.求證：ABCD.證明：在AOB和COD中，eq blc(avs4alco1(OAOC，,AOBCOD，,OBOD，)AOBCOD(SAS)AC.ABCD.7如圖，ABCD于點(diǎn)B，CF交AB于點(diǎn)E，CEAD，BEBD.求證：CFAD.證明：ABCD，CBEABD90.在RtCBE和RtABD中，eq blc(avs4alco1(CEAD，,BEBD，)RtCBERtABD(HL)CA.AEFCEB，AFECBE90.CFAD.類型4一線三等角模型8如圖，ADAB于點(diǎn)A，BEAB于點(diǎn)B，點(diǎn)C在AB上，且CDCE，CDCE.求證：ADCB.證明：ADA

37、B，BEAB，AB90.DACD90.CDCE，ACDBCE1809090.DBCE.在ACD和BEC中，eq blc(avs4alco1(AB90，,DBCE，,CDEC，)ACDBEC(AAS)ADCB.類型5綜合模型平移旋轉(zhuǎn)模型：平移對(duì)稱模型：9(曲靖中考)如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，ABDF，ACDE，AD.(1)求證：ACDE；(2)若BF13，EC5，求BC的長解：(1)證明：在ABC和DFE中，eq blc(avs4alco1(ABDF，,AD，,ACDE，)ABCDFE(SAS)ACBDEF.ACDE.(2)ABCDFE，BCEF.BECFeq f(1,2)(BFE

38、C)4.BCBEEC9.小專題6全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合類型1證角相等1如圖，已知AD平分BAC，ABAC，求證：12.證明：AD平分BAC，BADCAD.在ABD和ACD中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,BADCAD，,ADAD，)ABDACD(SAS)12.2如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，求證：12.證明：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BDCD.在ABD和ACD中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,ADAD，,BDCD，)ABDACD(SSS)BADCAD.在ABE和ACE中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,BAECAE，,A

39、EAE，)ABEACE(SAS)12.類型2證明線段之間的位置關(guān)系(1)證線段的平行3如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OAOC，OBOD，求證：ABCD.證明：在AOB和COD中，eq blc(avs4alco1(OAOC，,AOBCOD，,OBOD，)AOBCOD(SAS)AC.ABCD.(2)證線段的垂直4如圖，AD為ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且有BFAC，F(xiàn)DCD.求證：BEAC.證明：AD為ABC的高，ADBADC90.在RtBDF和RtADC中，eq blc(avs4alco1(BFAC，,FDCD，)RtBDFRtADC(HL)12.1BFD90，BFDAFE，2A

40、FE90.BEA90.BEAC.類型3線段之間的數(shù)量關(guān)系(1)證線段相等5(宜賓中考)如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，ABDE，AD，ACDF.求證：BECF.證明：ACDF，ACBF.在ABC和DEF中，eq blc(avs4alco1(AD，,ACBF，,ABDE，)ABCDEF(AAS)BCEF.BCCEEFCE，即BECF.6如圖，ABCB，ADCD，E是BD上任意一點(diǎn)，求證：AECE.證明：在ABD和CBD中，eq blc(avs4alco1(ABCB，,BDBD，,ADCD，)ABDCBD(SSS)ADECDE.在ADE和CDE中，eq blc(avs4alco1(ADC

41、D，,ADECDE，,DEDE，)ADECDE(SAS)AECE.(2)證線段的和差關(guān)系7如圖，已知ADBC，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，AE，BE分別平分DAB，CBA，BE交AD的延長線于點(diǎn)F.求證：(1)ABEAFE；(2)ADBCAB.證明：(1)AE，BE分別平分DAB，CBA，BAEFAE，ABECBE.ADBC，F(xiàn)CBE.ABEF.在ABE和AFE中，eq blc(avs4alco1(ABEF，,BAEFAE，,AEAE，)ABEAFE(AAS)(2)ABEAFE，BEFE，ABAF.在BCE和FDE中，eq blc(avs4alco1(EBCF，,BEFE，,BECFED，)BCEFDE

42、(ASA)BCFD.BCADDFADAFAB.8如圖，若在四邊形ABCD中，ABAD，BD180，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAFeq f(1,2)BAD，求證：EFBEDF.證明：延長FD到G，使DGBE，連接AG，BADC180，ADCADG180，BADG.在ABE和ADG中，eq blc(avs4alco1(BEDG，,BADG，,ABAD，)ABEADG(SAS)AEAG，BAEDAG.EAFeq f(1,2)BAD，GAFDAGDAFBAEDAFBADEAFEAF.EAFGAF.在AEF和AGF中，eq blc(avs4alco1(AEAG，,EAFGAF，,AFAF，)AE

43、FAGF(SAS)EFFG.FGDGDFBEDF.EFBEDF.(3)證線段的倍分關(guān)系9已知：如圖，在ABC中，BCA90，ACBC，AE平分BAC，BEAE，求證：BEeq f(1,2)AD.證明：延長AC，BE交于點(diǎn)F，ACB90，BEAE，CADCDA90，EDBEBD90.CDAEDB，CADEBD，即CADCBF.在ADC和BFC中，eq blc(avs4alco1(CADCBF，,ACBC，,ACDBCF，)ADCBFC(ASA)ADBF.在AEF和AEB中，eq blc(avs4alco1(FAEBAE，,AEAE，,AEFAEB，)AEFAEB(ASA)BEEF，即BEeq f

44、(1,2)BF.BEeq f(1,2)AD.角的平分線的性質(zhì)第1課時(shí)角的平分線的性質(zhì)基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1角平分線的作法1如果要作已知AOB的平分線OC，合理的順序是(C)作射線OC；在OA，OB上分別截取OD，OE，使ODOE；分別以D，E為圓心，大于eq f(1,2)DE長為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.A B C D2用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明AOCBOC的依據(jù)是(A)ASSS BASA CAAS D角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等3已知ABC，用尺規(guī)作圖作出ABC的平分線，保留作圖痕跡，不寫作法解：如圖所示知識(shí)點(diǎn)2角平分線的性質(zhì)4(茂名中考)如圖，OC是AOB的平

45、分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA于點(diǎn)D，PD6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為(A)A6 B5 C4 D35(懷化中考)如圖，OP為AOB的平分線，PCOA，PDOB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(B)APCPD BCPODOPCCPODPO DOCOD6已知：如圖所示，點(diǎn)O在BAC的平分線上，ODAC，OEAB，垂足分別為D，E，DO，EO的延長線分別交AE,AD的延長線于點(diǎn)B，求證：OBOC.證明：點(diǎn)O在BAC的平分線上，ODAC，OEAB，OEOD，BEOCDO90.在BEO和CDO中，eq blc(avs4alco1(BEOCDO，,OEOD，,EOBDOC，)BEOCDO(ASA)OB

46、OC.知識(shí)點(diǎn)3文字命題的證明7命題“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等”的已知是兩個(gè)三角形全等，結(jié)論是這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等8(咸寧中考)證明命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫出證明過程，下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證已知：如圖，AOCBOC，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別為D，E求證：PDPE請你補(bǔ)全已知和求證，并寫出證明過程. 證明：PDOA，PEOB，PDOPEO90.在PDO和PEO中，eq blc(avs4alco1(PDOPEO，,AOCBOC，,OPOP，)PDOPEO(AAS)P

47、DPE.中檔題9在正方形網(wǎng)格中，AOB的位置如圖所示，到AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是(A)AM點(diǎn) BN點(diǎn) CP點(diǎn) DQ點(diǎn)10(教材P52習(xí)題T7變式)(湖州中考)如圖，ABCD，BP和CP分別平分ABC和DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直若AD8，則點(diǎn)P到BC的距離是(C)A8 B6 C4 D211(棗莊中考)如圖，在RtABC中，C90，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于eq f(1,2)MN長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D.若CD4，AB15，則ABD的面積為(B)A15 B30 C45 D6012如圖，ABC的角平分

48、線AD交BC于點(diǎn)D，BDDC21.若AC3 cm，則AB6_cm13如圖，在ABC中，C90，ACBC，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，DEAB，垂足為E，且AB10 cm，求DEB的周長解：AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，DEAB，C90，CDDE.在RtACD和RtAED中，eq blc(avs4alco1(CDED，,ADAD，)RtACDRtAED(HL)AEAC.DEB的周長為DEDBEBCDDBBEBCBEACBEAEBEAB10 cm.14求證：有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的角平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等已知：如圖，在ABC和ABC中，BB，BACBAC，AD，AD分別是BAC，BAC的平分線

49、，且ADAD.求證：ABCABC.證明：BACBAC，AD，AD分別是BAC，BAC的平分線，BADBAD.BB，ADAD，ABDABD(AAS)ABAB.在ABC和ABC中，eq blc(avs4alco1(BB，,ABAB，,BACBAC，)ABCABC(ASA)綜合題15(長春中考)已知：如圖1，AD平分BAC，BC180，B90.易知：DBDC.探究：如圖2，AD平分BAC，ABDACD180，ABD90.求證：DBDC.證明：過點(diǎn)D分別作DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F.DA平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF.BACD180，ACDFCD180，BFCD.在DFC和DEB中，eq

50、 blc(avs4alco1(DFCDEB，,FCDB，,DFDE，)DFCDEB(AAS)DCDB.第2課時(shí)角的平分線的判定基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1角的平分線的判定1如圖，OC是AOB內(nèi)部的一條射線，P是射線OC上任意點(diǎn)，PDOA，PEOB.下列條件中：AOCBOC；PDPE；ODOE；DPOEPO，能判定OC是AOB的平分線的有(D)A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2如圖，AOB70，QCOA于點(diǎn)C，QDOB于點(diǎn)D.若QCQD，則AOQ353如圖，BECF，DEAB的延長線于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，且DBDC，求證：AD是BAC的平分線證明：DEAB，DFAC，BEDDFC90.在RtDEB和RtDFC

51、中，eq blc(avs4alco1(BECF，,DBDC，)RtDEBRtDFC(HL)DEDF.AD是BAC的平分線4(教材P51習(xí)題T3變式)如圖，CDAB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，BE，CD相交于點(diǎn)O.求證：(1)當(dāng)12時(shí)，OBOC；(2)當(dāng)OBOC時(shí)，12.證明：(1)12，ODAB，OEAC，OEOD，ODBOEC90.在BOD和COE中，eq blc(avs4alco1(BODCOE，,ODOE，,ODBOEC，)BODCOE(ASA)OBOC.(2)在BOD和COE中，eq blc(avs4alco1(ODBOEC，,BODCOE，,OBOC，)BODCOE(AAS)ODOE.又

52、ODAB，OEAC，AO平分BAC，即12.知識(shí)點(diǎn)2三角形的角平分線5到ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是ABC的(B)A三條中線的交點(diǎn) B三條角平分線的交點(diǎn)C三條高的交點(diǎn) D以上均不對(duì)6如圖，ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則SABOSBCOSCAO456知識(shí)點(diǎn)3角的平分線的性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用7如圖，鐵路OA和鐵路OB交于O處，河道AB與鐵路分別交于A處和B處，試在河岸上建一座水廠M，要求M到鐵路OA，OB的距離相等，則該水廠M應(yīng)建在圖中什么位置？請?jiān)趫D中標(biāo)出M點(diǎn)的位置解：圖略提示：AOB的平分線與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)M的位置8如圖，某市有一塊由三條公

53、路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準(zhǔn)備在其中建一小亭子，供人們休息，而且要使小亭中心到三條公路的距離相等，試確定小亭的中心位置解：ABC的角平分線的交點(diǎn)就是小亭的中心位置，圖略易錯(cuò)點(diǎn)錯(cuò)用角平分線的判定定理9D，E分別是ABC中AB邊，AC邊上的一點(diǎn)，在ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，使OEOD，則AO平分CAB嗎？解：AO平分CAB，理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)O到CAB兩邊的距離相等，所以點(diǎn)O在CAB的平分線上，所以AO平分CAB.以上解法是否正確？若不正確，請說明理由，并寫出正確的結(jié)論解：不正確以上解法忽視了OD，OE分別垂直于AB，AC的條件，故產(chǎn)生錯(cuò)誤正確的結(jié)論是“AO不一定平分CAB”中檔題10(永州中考)如圖，在四邊形

54、ABCD中，ABCD，BA和CD的延長線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P使得SPABSPCD，則滿足此條件的點(diǎn)P(D)A有且只有1個(gè)B有且只有2個(gè)C組成E的平分線D組成E的平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)11如圖，已知ABC的周長是20 cm，BO，CO分別平分ABC和ACB，ODBC于點(diǎn)D.若OD3 cm，則ABC的面積為30_cm212(教材P50練習(xí)T2變式)如圖，ABC的平分線與ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，連接AD.求證：AD是BAC的外角平分線證明：過點(diǎn)D分別作DEAB，DGAC，DFBC，垂足分別為E，G，F(xiàn).又BD平分ABC，CD平分ACF，DEDF，DGDF.DEDG.AD平分EAC，即AD是B

55、AC的外角平分線13如圖所示，在ABC中，BC，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過D作DEAB，DFAC，E，F(xiàn)分別為垂足，則當(dāng)D移動(dòng)到什么位置時(shí)，AD恰好平分BAC，請說明理由解：當(dāng)D移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，AD恰好平分BAC.理由：D是BC的中點(diǎn)，BDCD.DEAB，DFAC，DEBDFC90.在DEB和DFC中，eq blc(avs4alco1(BC，,BEDCFD，,BDCD，)DEBDFC(AAS)DEDF.又DEAB，DFAC，AD平分BAC.綜合題14如圖，在四邊形ABDC中，DB90，O為BD的中點(diǎn)，且AO平分BAC.求證：(1)CO平分ACD；(2)OAOC；(3)ABCDAC.證明：(1)

56、過點(diǎn)O作OEAC于點(diǎn)E，B90，AO平分BAC，OBOE.點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，OBOD.OEOD.又D90，OEC90.CO平分ACD.(2)在RtABO和RtAEO中，eq blc(avs4alco1(AOAO，,OBOE，)RtABORtAEO(HL)AOBAOEeq f(1,2)BOE.同理，CODCOEeq f(1,2)DOE.AOCAOECOE，AOCeq f(1,2)BOEeq f(1,2)DOEeq f(1,2)18090.OAOC.(3)RtABORtAEO，ABAE.同理可得CDCE.ACAECE，ABCDAC.小專題7構(gòu)造全等三角形的常用方法方法1利用“角平分線”構(gòu)造全等三角

57、形因角平分線本身已經(jīng)具備全等的三個(gè)條件中的兩個(gè)(角相等和公共邊相等)，故在處理角平分線問題時(shí)，常作以下輔助線構(gòu)造全等三角形：(1)在角的兩邊截取兩條相等的線段；(2)過角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線1如圖，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BCABCD.證明：在BC上截取BFAB，連接EF.ABC，BCD的平分線交AD于點(diǎn)E，ABEFBE，BCEDCE.在ABE和FBE中，eq blc(avs4alco1(ABFB，,ABEFBE，,BEBE，)ABEFBE(SAS)BAEBFE.ABCD，BAECDE180.BFECDE180.BFECFE180，CFECDE.在F

58、CE和DCE中，eq blc(avs4alco1(CFECDE，,FCEDCE，,CECE，)FCEDCE(AAS)CFCD.BCBFCFABCD.2如圖，已知AOB90，OM是AOB的平分線，三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，D，求證：PCPD.證明：過點(diǎn)P作PEOA于點(diǎn)E，PFOB于點(diǎn)F.PECPFD90.OM是AOB的平分線PEPF.AOB90，CPD90，PCEPDO3609090180.PDOPDF180，PCEPDF.在PCE和PDF中，eq blc(avs4alco1(PCEPDF，,PECPFD，,PEPF.)PCEPDF(AAS)PCPD.

59、方法2利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形截長補(bǔ)短法的具體做法：在某一條線段上截取一條線段與特定線段相等，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種方法適用于證明線段的和、差、倍、分等題目3如圖，在ABC中，A60，BD，CE分別平分ABC和ACB，BD，CE交于點(diǎn)O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明解：BCBECD.證明：在BC上截取BFBE，連接OF.BD平分ABC，EBOFBO.又OBOB，EBOFBO.EOBFOB.A60，BD，CE分別平分ABC和ACB，BOC180OBCOCB180eq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACB180eq

60、 f(1,2)(180A)120.EOBDOC60.BOF60，F(xiàn)OCDOC60.CE平分DCB，DCOFCO.又OCOC，DCOFCO.CDCF.BCBFCFBECD.4.(德州中考)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF60.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DGBE，連結(jié)AG.先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EFBEDF；(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，ABAD，BD180.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAFeq