三角函數(shù)第一教時教材：角的概念的推廣目的：要求學生掌握用“旋轉(zhuǎn)〞定義角的概念，并進而理解“正角〞“負角〞“象限角〞“終邊相同的角〞的含義。過程：一、提出課題：“三角函數(shù)〞回憶初中學過的“銳角三角函數(shù)〞——它是利用直角三角形中兩邊的比值來定義的。相對于現(xiàn)在，我們研究的三角函數(shù)是“任意角的三角函數(shù)〞，它對我們今后的學習和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學科技術(shù)中都有廣泛應(yīng)用。二、角的概念的推廣回憶：初中是任何定義角的？〔從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形〕這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘〞講解：“旋轉(zhuǎn)〞形成角〔P4〕突出“旋轉(zhuǎn)〞注意：“頂點〞“始邊〞“終邊〞“始邊〞往往合于軸正半軸“正角〞與“負角〞——這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。記法：角或可以簡記成由于用“旋轉(zhuǎn)〞定義角之后，角的范圍大大地擴大了。1角有正負之分如：=210=150=6602角可以任意大實例：體操動作：旋轉(zhuǎn)2周〔360×2=720〕3周〔360×3=1080〕3還有零角一條射線，沒有旋轉(zhuǎn)三、關(guān)于“象限角〞為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角〔角的終邊落在坐標軸上，那么此角不屬于任何一個象限〕例如：30390330是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等四、關(guān)于終邊相同的角1．觀察：390，330角，它們的終邊都與30角的終邊相同2．終邊相同的角都可以表示成一個0到360的角與個周角的和390=30+360330=3036030=30+0×3601470=30+4×3601770=305×3603．所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合即：任何一個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和4．例一〔P5略〕五、小結(jié)：1角的概念的推廣用“旋轉(zhuǎn)〞定義角角的范圍的擴大2“象限角〞與“終邊相同的角〞第二教時教材：弧度制目的：要求學生掌握弧度制的定義，學會弧度制與角度制互化，并進而建立角的集合與實數(shù)集一一對應(yīng)關(guān)系的概念。過程：一、回憶〔復(fù)習〕度量角的大小第一種單位制—角度制的定義。二、提出課題：弧度制—另一種度量角的單位制它的單位是rad讀作弧度ororC2rad1radrl=2roAAB如圖：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0角的弧度數(shù)的絕對值〔為弧長，為半徑〕用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同〔都是0〕用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。三、角度制與弧度制的換算抓住：360=2rad∴180=rad∴1=例一把化成弧度解：∴例二把化成度解：注意幾點：1．度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計算器〞?中學數(shù)學用表?進行；2．今后在具體運算時，“弧度〞二字和單位符號“rad〞可以省略如：3表示3radsin表示rad角的正弦3．一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)值應(yīng)該記住〔見課本P9表〕4．應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系。例三用弧度制表示：1終邊在軸上的角的集合2終邊在軸上的角的集合3終邊在坐標軸上的角的集合解：1終邊在軸上的角的集合2終邊在軸上的角的集合3終邊在坐標軸上的角的集合第三教時教材：弧度制〔續(xù)〕目的：加深學生對弧度制的理解，逐步習慣在具體應(yīng)用中運用弧度制解決具體的問題。過程：一、復(fù)習：弧度制的定義，它與角度制互化的方法。口答?教學與測試?P101-102練習題1—5并注意緊扣，穩(wěn)固弧度制的概念，然后再講P101例二二、由公式：比相應(yīng)的公式簡單弧長等于弧所對的圓心角〔的弧度數(shù)〕的絕對值與半徑的積例一〔課本P10例三〕利用弧度制證明扇形面積公式其中是扇形弧長，是圓的半徑。oRS證：如圖：圓心角為1radoRSl弧長為的扇形圓心角為l∴比擬這與扇形面積公式要簡單例二?教學與測試?P101例一直徑為20cm的圓中，求以下各圓心所對的弧長⑴⑵解：⑴：⑵：∴oAB例三如圖，扇形的周長是6cmoAB的中心角是1弧度，求該扇形的面積。解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為，那么有∴扇形的面積例四計算解：∵∴∴例五將以下各角化成0到的角加上的形式⑴⑵解：R=4560R=4560例六求圖中公路彎道處弧AB的長〔精確到1m〕圖中長度單位為：m解：∵∴三、練習：P116、7?教學與測試?P102練習6四、作業(yè)：課本P11-12練習8、9、10P12-13習題4.25—14?教學與測試?P1027、8及思考題第四教時教材：任意角的三角函數(shù)〔定義〕目的：要求學生掌握任意角的三角函數(shù)的定義，繼而理解角與=2k+(kZ)的同名三角函數(shù)值相等的道理。過程：一、提出課題：講解定義：設(shè)是一個任意角，在的終邊上任取〔異于原點的〕一點P〔x,y〕那么P與原點的距離〔圖示見P13略〕2．比值叫做的正弦記作：比值叫做的余弦記作：比值叫做的正切記作：比值叫做的余切記作：比值叫做的正割記作：比值叫做的余割記作：注意突出幾個問題：①角是“任意角〞，當=2k+(kZ)時，與的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即但凡終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。②實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。〔下面有例子說明〕③三角函數(shù)是以“比值〞為函數(shù)值的函數(shù)④，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應(yīng)由象限確定〔今后將專題研究〕⑤定義域：二、例一的終邊經(jīng)過點P(2,3)，求的六個三角函數(shù)值xoyxoyP(2,-3)∴sin=cos=tan=cot=sec=csc=例二求以下各角的六個三角函數(shù)值⑴0⑵⑶⑷解：⑴⑵⑶的解答見P16-17⑷當=時∴sin=1cos=0tan不存在cot=0sec不存在csc=1例三?教學與測試?P103例一求函數(shù)的值域解：定義域：cosx0∴x的終邊不在x軸上又∵tanx0∴x的終邊不在y軸上∴當x是第Ⅰ象限角時，cosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2…………ⅢⅣ………,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0例四?教學與測試?P103例二⑴角的終邊經(jīng)過P(4,3),求2sin+cos的值⑵角的終邊經(jīng)過P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值解：⑴由定義：sin=cos=∴2sin+cos=⑵假設(shè)那么sin=cos=∴2sin+cos=假設(shè)那么sin=cos=∴2sin+cos=三、小結(jié)：定義及有關(guān)注意內(nèi)容四、作業(yè)：課本P19練習1P20習題4.33?教學與測試?P1044、5、6、7第五教時教材：三角函數(shù)線目的：要求學生掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學生對三角函數(shù)的定義域、值域有更深的理解。過程：一、復(fù)習三角函數(shù)的定義，指出：“定義〞從代數(shù)的角度揭示了三角函數(shù)是一個“比值〞二、提出課題：從幾何的觀點來揭示三角函數(shù)的定義：用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值三、新授：介紹〔定義〕“單位圓〞—圓心在原點O，半徑等于單位長度的圓作圖：〔課本P14圖4-12〕此處略……………設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊也與單位圓交于P，坐標軸正半軸分別與單位圓交于A、B兩點過P(x,y)作PMx軸于M，過點A(1,0)作單位圓切線，與角的終邊或其反向延長線交于T，過點B(0,1)作單位圓的切線，與角的終邊或其反向延長線交于S簡單介紹“向量〞〔帶有“方向〞的量—用正負號表示〕“有向線段〞〔帶有方向的線段〕方向可取與坐標軸方向相同，長度用絕對值表示。例：有向線段OM，OP長度分別為當OM=x時假設(shè)OM看作與x軸同向OM具有正值x假設(shè)OM看作與x軸反向OM具有負值x有向線段MP,OM,AT,BS分別稱作角的正弦線,余弦線,正切線,余切線四、例一．利用三角函數(shù)線比擬以下各組數(shù)的大小：1與2tan與tan3cot與cotABoABoT2T1S2S1P2P1M2M1S1tantancotcot例二利用單位圓尋找適合以下條件的0到360的角xyoTA21030xyoP1xyoTA21030xyoP1P2解：1230≤≤1503090或210270xyoP1P2M1M2xyoP1P2M1M2證明：分別作1,2的正弦線x的終邊不在x軸上sin1=M1P1sin2=M2P2∵∴M1P1M2P2即sin1sin2五、小結(jié)：單位圓，有向線段，三角函數(shù)線六、作業(yè)：課本P15練習P20習題4.32補充：解不等式：()1sinx≥2tanx3sin2x≤第七教時教材：三角函數(shù)的值在各象限的符號目的：通過啟發(fā)讓學生根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定三角函數(shù)的值在各象限的符號，并由此熟練地處理一些問題。過程：一、復(fù)習三角函數(shù)的定義；用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值二、提出課題然后師生共同操作：第一象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0記憶法那么：為正全正為正為正由定義：sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tancot(+2k)=cosec(+2k)=seccsc(+2k)=csc三、例一〔P18例三略〕例二〔P18例四〕求證角為第三象限角的充分條件是證：必要性：假設(shè)是第三象限角，那么必有sin0,tan0充分性：假設(shè)⑴⑵兩式成立∵假設(shè)sin0那么角的終邊可能位于第三、第四象限，也可能位于y軸的非正半軸假設(shè)tan0，那么角的終邊可能位于第一或第三象限∵⑴⑵都成立∴角的終邊只能位于第三象限∴角為第三象限角例三〔P19例五略〕四、練習：假設(shè)三角形的兩內(nèi)角，滿足sincos0，那么此三角形必為…………〔B〕A：銳角三角形B：鈍角三角形C：直角三角形D：以上三種情況都可能假設(shè)是第三象限角，那么以下各式中不成立的是……………〔B〕A：sin+cos0B：tansin0C：coscot0D：cotcsc0是第三象限角且，問是第幾象限角？解：∵∴那么是第二或第四象限角又∵那么是第二或第三象限角∴必為第二象限角，那么為第幾象限角？解：由∴sin20∴2k22k+∴kk+∴為第一或第三象限角五、小結(jié)：符號法那么，誘導(dǎo)公式六、作業(yè)：課本P19練習4,5,6P20-21習題4.36-10第八教時教材：同角三角函數(shù)的根本關(guān)系目的：要求學生能根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，并能正確運用進行三角函數(shù)式的求值運算。過程：復(fù)習任意角的三角函數(shù)的定義：計算以下各式的值：二、1．導(dǎo)入新課：引導(dǎo)學生觀察上述題目的結(jié)果〔并像公式“方向〞引導(dǎo)〕引導(dǎo)猜測：2．理論證明：〔采用定義〕3．推廣：這種關(guān)系稱為平方關(guān)系。類似的平方關(guān)系還有：這種關(guān)系稱為商數(shù)關(guān)系。類似的商數(shù)關(guān)系還有：這種關(guān)系稱為倒數(shù)關(guān)系。類似的倒數(shù)關(guān)系還有：4．點題：三種關(guān)系，八個公式，稱為同角三角函數(shù)的根本關(guān)系。5．注意：1“同角〞的概念與角的表達形式無關(guān)，如：2上述關(guān)系〔公式〕都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立。3據(jù)此，由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的其余各三角函數(shù)值，且因為利用“平方關(guān)系〞公式，最終需求平方根，會出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡可能少用〔實際上，至多只要用一次〕。例題：例一、〔課本P25例一〕略注：角的象限，利用平方關(guān)系，也只可能是一解。例二、〔課本P25例二〕略注：根據(jù)的三角函數(shù)值可以分象限討論。例三、〔課本P25例三〕略實際上：即而小結(jié)：三種關(guān)系，八個公式作業(yè)：P27練習1—4P27—28習題4．41—4第九教時教材：同角三角函數(shù)的根本關(guān)系(2)——求值目的：要求學生能運用同角三角函數(shù)的根本關(guān)系求一些三角函數(shù)〔式〕的值，并從中了解一些三角運算的根本技巧。過程：復(fù)習同角的三角函數(shù)的根本關(guān)系：練習：解：假設(shè)在第一、二象限，那么假設(shè)在第三、四象限，那么例一、〔見P25例四〕化簡：解：原式例二、，求解：強調(diào)〔指出〕技巧：1分子、分母是正余弦的一次〔或二次〕齊次式2“化1法〞例三、，求解：將兩邊平方，得：例四、解：由題設(shè)：∴()例五、，求解：1由由聯(lián)立：2例六、求解：∵sin2+cos2=1∴化簡，整理得：當m=0時，當m=8時，小結(jié)：幾個技巧作業(yè)：?課課練?P12例題推薦1、2、3P13課時練習6、7、8、9、10P14例題推薦1?精編?P3514第十教時教材：同角三角函數(shù)的根本關(guān)系(3)——證明?教學與測試?第50課目的：運用同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式進行三角函數(shù)恒等式的證明。過程：復(fù)習同角的三角函數(shù)的根本關(guān)系：例：〔練習、?教學與測試?P25例一〕，求解：即：提出課題：利用同角的三角函數(shù)的根本關(guān)系證明三角恒等式〔或化簡〕例一、〔見P25例四〕化簡：解：原式例二、〔?教學與測試?例二〕解：〔注意象限、符號〕例三、求證：〔課本P26例5〕證一：〔利用平方關(guān)系〕證二：〔利用比例關(guān)系〕證三：〔作差〕例三、方程的兩根分別是，求〔?教學與測試?例三〕解：〔化弦法〕例四、證：由題設(shè)：例五、消去式子中的解：由由〔平方消去法〕例六、〔備用〕解：由題設(shè)：①②①/②：③①+③：小結(jié)：幾種技巧作業(yè)：課本P27練習5，6，P28習題4.48，9?教學與測試?P1064，5，6，7，8，思考題第十一教時教材：誘導(dǎo)公式〔1〕360k+,180,180+,360,目的：要求學生掌握上述誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，并能運用化簡三角式，從而了解、領(lǐng)會把未知問題化歸為問題的數(shù)學思想。過程：誘導(dǎo)公式的含義：任意角的三角函數(shù)0到360角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)sin(360ksin(360k+)=sin,cos(360k+)=cos.tan(360k+)=tg,cot(360k+)=ctg.sec(360k+)=sec,csc(360k+)=csc公式1：〔復(fù)習〕對于任一0到360的角，有四種可能〔其中為不大于90的非負角〕〔以下設(shè)為任意角〕xyxyoP(x,y)設(shè)的終邊與單位圓交于點P(x,y)，那么180+終邊與單位圓交于點P’(-x,-y)∴sin(180+)=sin,cos(180+)=cos.P(-x,-y)tan(180+)=tg,cot(180P(-x,-y)sec(180+)=sec,csc(180+)=csc4．公式3：xyxyoP’(x,-y)P(x,y)Msin()=sin,cos()=cos.tan()=tan,cot()=cot.sec()=sec,csc()=csc公式4：sin(180)=sin[180+()]=sin()=sin,cos(180)=cos[180+()]=cos()=cos,同理可得：sin(180)=sin,cos(180)=cos.tan(180)=tan,cot(180)=cot.sec(180)=sec,csc(180)=csc6．公式5：sin(360)=sin,cos(360)=cos.tan(360)=tan,cot(360)=cot.sec(360)=sec,csc(360)=csc三、小結(jié)：360k+,180,180+,360,的三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值再加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號例題：P29—30例一、例二、例三P31—32例四、例五、例六略作業(yè)：P30練習P32練習P33習題4.5第十二教時教材：誘導(dǎo)公式〔2〕90k±,270±,目的：能熟練掌握上述誘導(dǎo)公式一至五，并運用求任意角的三角函數(shù)值，同時學會另外四套誘導(dǎo)公式，并能應(yīng)用，進行簡單的三角函數(shù)式的化簡及論證。過程：復(fù)習誘導(dǎo)公式一至五：練習：1．解：2．解：誘導(dǎo)公式sin(90sin(90)=cos,cos(90)=sin.tan(90)=cot,cot(90)=tan.sec(90)=csc,csc(90)=secxyoP’xyoP’P(x,y)MMM’如圖，可證：那么sin(90+)=M’P’=OM=cossin(90+)=cos,cos(90+sin(90+)=cos,cos(90+)=sin.tan(90+)=cot,cot(90+)=tan.sec(90+)=csc,csc(90+)=sec從而：或證：sin(90+)=sin[180(90)]=sin(90)=coscos(90+)=cos[180(90)]=sin(90)=cossin(270)=cos,cos(270)=sin.tan(270)=cot,cot(sin(270)=cos,cos(270)=sin.tan(270)=cot,cot(270)=tan.sec(270)=csc,csc(270)=sec〔其余類似可得，學生自己完成〕sin(sin(270+)=cos,cos(270+)=sin.tan(270+)=cot,cot(270+)=tan.sec(270+)=csc,csc(270+)=sec公式9：〔學生證明〕三、小結(jié)：90±,270±的三角函數(shù)值等于的余函數(shù)的值，前面再加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號例一、證：左邊=右邊∴等式成立例二、解：例三、解：從而：例四、解：作業(yè)：1.2.?課課練?P16—17課時9例題推薦1—3練習6—10第十三教時教材：誘導(dǎo)公式(3)——綜合練習目的：通過復(fù)習與練習，要求學生能更熟練地運用誘導(dǎo)公式，化簡三角函數(shù)式。過程：復(fù)習：誘導(dǎo)公式例一、〔?教學與測試?例一〕計算：sin315sin(480)+cos(330)解：原式=sin(36045)+sin(360+120)+cos(360+30)=sin45+sin60+cos30=小結(jié)：應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的一般步驟：1用“〞公式化為正角的三角函數(shù)2用“2k+〞公式化為[0，2]角的三角函數(shù)3用“±〞或“2〞公式化為銳角的三角函數(shù)例二、〔?教學與測試?例三〕解：小結(jié)：此類角變換應(yīng)熟悉例三、求證：證：假設(shè)k是偶數(shù)，即k=2n(nZ)那么：假設(shè)k是奇數(shù)，即k=2n+1(nZ)那么：∴原式成立小結(jié)：注意討論例四、方程sin(3)=2cos(4)，求的值?！?精編?38例五〕解：∵sin(3)=2cos(4)∴sin(3)=2cos(4)∴sin()=2cos()∴sin=2cos且cos0∴例五、〔?精編?P40例八〕解：由題設(shè)：由此：當a0時，tan<0,cos<0,為第二象限角，當a=0時，tan=0,=k,∴cos=±1，∵∴cos=1,綜上所述：例六、假設(shè)關(guān)于x的方程2cos2(+x)sinx+a=0有實根，求實數(shù)a的取值范圍。解：原方程變形為：2cos2xsinx+a=0即22sin2xsinx+a=0∴∵1≤sinx≤1∴；∴a的取值范圍是[]作業(yè)：?教學與測試?P1085—8，思考題?課課練?P46—4723，25，26第十三教時教材：單元復(fù)習目的：復(fù)習整節(jié)內(nèi)容，使其逐漸形成熟練技巧,為繼續(xù)學習以后的內(nèi)容打下根底。過程：復(fù)習：梳理整節(jié)內(nèi)容：同角的三角函數(shù)關(guān)系兩套根本公式預(yù)備概念角的概念的擴充同角的三角函數(shù)關(guān)系兩套根本公式預(yù)備概念角的概念的擴充弧度制弧度制誘導(dǎo)公式任意角三角函數(shù)誘導(dǎo)公式任意角三角函數(shù)處理?教學與測試?P109第52課略1．“根底訓(xùn)練題〞1—42．例題1—33．口答練習題1，2處理?課課練?P20第11課1．“例題推薦〞1—3注意采用講練結(jié)合2．口答“課時練習〞1—4備用例題：?精編?P40—41例九，例十一sin()cos(+)=(0<<)，求sin(+)+cos(2)的值解：∵sin()cos(+)=即：sin+cos=①又∵0<<1，0<<∴sin>0,cos<0令a=sin(+)+cos(2)=sin+cos那么a<0由①得：2sincos=2sin()cos(+)=1(0<<)，求cos(2)+sin(+)的值解：將條件化簡得：2sin+cos=1①設(shè)cos(2)+sin(+)=a,那么a=cossin②①②聯(lián)立得：∵sin2+cos2=1∴∴5a2+2a7=0,解之得：a1=,a2=1(舍去)(否那么sin=0,與0<<不符)∴cos(2)+sin(+)=作業(yè)：?