第二章機械能守恒定律1第二章機械能守恒定律§2-1功和功率§2-2

動能和動能定理§2-3勢能§2-4

機械能守恒定律2三個定律牛頓第一定律牛頓第二定律牛頓第三定律三個定理動量定理角動量定理動能定理三個守恒定律動量守恒定律角動量守恒定律機械能守恒定律守恒量：對于物體系統內發(fā)生的各種過程，如果某物理量始終保持不變，則稱其為守恒量。3力的瞬時效應：牛頓第一、第二、第三定律與力的累積效應（空間累積、時間累積）相關的三個定理：動量定理、動能定理、角動量定理特殊情況下就有：動量守恒定律、機械能守恒定律、角動量守恒定律守恒量：對于物體系統內發(fā)生的各種過程，如果某物理量始終保持不變，則稱其為守恒量。表面上看，能量、動量和角動量三個定律僅是牛頓第二定律的數學變形，但是實際上它們是更為基本的物理量，它們的守恒定律具有更廣泛、更深刻的意義。4空間累積效應時間累積效應瞬時效應5一、功§2-1功和功率1.恒力的功恒力沿直線做的功：MM

力對質點所作的功為力在質點位移方向的分量與位移大小的乘積.（功是標量，過程量）(點乘積，標量積)功的單位焦耳()JhNm1J1功的其它單位：1eV=1.6×10-19J621sqXYOrrFrP力的元功在力的作用下，質點運動路程為s位移矢量為r，考慮無限靠近P點時相應為，ds，和rd且dsrd作用于P點的力的元功為FhAddsrdFFcosqFcosqrd72.變力的功（變力沿曲線做的功）變力大小或方向變化的力。rbraO1rsrqF2rabhha質點由運動到變力的功b,AdAababdsFcosqrdhFab解析式：—線積分83.合力的功若有多個力同時作用于一個質點，F12Fhhh,其合力FF12F++hhhahF13F2FF12F3FhF12F3F合力的功等于各分力的功的代數和。1、功是力的作用對空間的積累，是過程量，與路徑有關。2、功是標量，但有正負。注意9二、功率（作功的快慢，即功對時間的變化率，用P表示）定義這是功率的另一種形式——瞬時功率若A為給定時間t內所做的功，則在此時間內的平均功率單位：W或Js-110已知求例m啟動牽引力xFX從0到10秒，tk,若不計阻力。v0t00力的功。xF解法提要：xFmdvdtdvtkmdtdvtkmdt0t0vv2tkm2vdxtdhA3dxvtd2tkm2td力的功xFdxxF100tk2tkm2td100tk22mtd8mk210()J411§2-2動能能和和動動能能定定理理OrsrqF合外力變力()mav0hbvh發(fā)生任一元位移合外力做的元功mdr0FAddrqcosFdrsd切向力FtFtmatvtmddvmdtdsdmsdtdvdmvvd故Ad經合外力做的功abAdAv0vmvvd12mv212mv201、、質質點點的的動動能能定定理理12動能定理動能定理合外力對質點做功引起質點的速率變化。OrsrqF合外力變力()mav0hbvh發(fā)生任一元位移合外力做的元功mdr0FAddrqcosFdrsd切向力FtFtmatvtmddvmdtdsdmsdtdvdmvvd故Ad經合外力做的功abAdAv0vmvvd12mv212mv20經合外力做的功abAdAv0vmvvd12mv212mv20稱kE12mv2為質點的動能AkEkE0動能定理的表述：合外外力力對對質質點點所所做做的的功功等等于于質質點點動動能能的的增增量量。。13質點點系系2、、質質點點系系的的動動能能定定理理1m2mm3v1v2v3內力做功外力做功外力做功外力做功+1m122v1A12A01m122v102mv21222mv2122..................SiASm122v0m122viiiiSAkE0kEA內A外系統終態(tài)總動能系統初態(tài)總動能AA內+A外kE0kE系統動能的增量，等于作用在系統中各質點的力所做的功的代數和。141、、動動能能是是狀狀態(tài)態(tài)量量，，任任一一運運動動狀狀態(tài)態(tài)對對應應一一定定的的動動能能。。2、、功功是是過過程程量量，，它它與與能能量量的的改改變變有有聯聯系系。。3、、EK為動動能能的的增增量量，，增增量量可可正正可可負負，，視視功功的的正正負負而而變變。。4、、動動能能是是質質點點因因運運動動而而具具有有的的做做功功本本領領。。說明明：：內力力能能改改變變系系統統的的總總動動能能，，但不不能能改改變變系系統統的的總總動動量量。。注意15功能能例例一一已知知解法提要：例m0215.1kg()X0X0阻力與深度成正比阻力與深度成正比xFbxFbb5.01051mN.b5.01051mN.dd終止深度終止深度v0m2()00.1s求dx質點在方向僅受阻力，其余方向合力為零。運用質點動能定理b0阻力做的功質點動能的增量0ddxx12mv2012bd212mv20dmbv0505.15.20101)m(20035.20116功能能例例二二例阿特特伍伍德德機機求重力加速度輕滑滑輪輪1m2m22m0kgh01m1kgh細繩繩xXO0m3hsv11h0m3h4從靜靜態(tài)態(tài)釋釋放放測得解法提要：系統：2m1m,,,滑輪細繩h輕滑輪及細繩的質量均忽略；不計阻力。該系統內力做功代數和為零。外力做功2m1mxgxg12mv212mv212+0系統的動能增量g12mv212mv212+x()1m2ms()m22489..17§2-3勢能一、、引引力力勢勢能能和和重重力力勢勢能能(potentialenergy)由物物體體間間的的萬萬有有引引力力和和相相對對位位置置所所決決定定的的勢勢能能，，稱稱為為萬有有引引力力勢勢能能，簡簡稱稱引力力勢勢能能。重力力勢勢能能是處處于于地地球球附附近近的的物物體體與與地地球球之之間間萬萬有有引引力力作作用用結結果果的的一一種種簡簡單單而而重重要要的的特特例例。。勢能能：：由由物物體體間間的的相相互互作作用用和和相相對對位位置置決決定定的的能能量量18引力力的的功功MM萬有引力的功萬有引力的功F引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMhAdF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrd19續(xù)引引力力功功r萬有引力的元功Ad2rmGMrd為兩質點的距離負號表示若距離變大rd()0萬有引力做負功；反之做正功。MM萬有引力的功萬有引力的功F引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMAdhF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrdQrQPrP在萬有引力作用下，質點沿任一弧段運動，mPQ)萬有引力所做的功AAd2rmGMrdPQ)rQPr1()mGMPr1()mGMrQmGM給定，萬有引力的功只與兩質點間的始末距離有關。rQPr20若選選擇擇無無限限遠遠處處引引力力勢勢能能為為零零，，引引力力勢勢能能表表達達式式為為物體體在在點點P和點點Q的引引力力勢勢能能分分別別為為所以此式式表表示示，，萬有有引引力力所所作作的的功功等等于于系系統統引引力力勢勢能能增增量量的的負負值值，即即引力力勢勢能能的的降降低低。在地地球球表表面面附附近近時時，，近近似似有有rPrQ=R2，21式中中hP=rPR,hQ=rQR,分別別為為點點P和點點Q距地地面面的的高高度度。。若選選擇擇h=0處的的重重力力勢勢能能為為零零,則重重力力勢勢能能表表達達式式于是有此式式表表明明，，重力力所所作作的的功功等等于于系系統統重重力力勢勢能能增增量量的的負負值值，即即重力力勢勢的的降降低低。由以以上上討討論論知知：：萬有有引引力力重重力力所所作作的的功功，，決決定定于于質質點點的的始始、、末末位位置置，，而而與與質質點點運運動動的的路路徑徑無無關關。22二、、彈彈力力勢勢能能水平光滑表面彈簧勁度k質點XO彈簧無形變位置x彈FFdxQxQxPP質點位于時所受的彈性力x彈FFikx為X軸正向單位矢量，負號表示時受力沿X負向；反之沿X正向。ix0質點位置變化，彈性力所做的元功xdAhd彈FF()xdiikx()h()xdikxxdxPQx從運動到彈性力所做的功PQAAdPQkxxd得A12kxP212kQx2給定，只與始末位置有關。kxPQx二、、彈彈力力勢勢能能23選擇擇平平衡衡位位置置處處彈彈力力勢勢能能為為零零，，彈彈力力勢勢能能表表達達式式為為所以此式式表表示示，，彈性性力力所所作作的的功功等等于于彈彈簧簧系系統統彈彈力力勢勢能能增增量量的的負負值值，即即彈力力勢勢能能的的減減少少量量。三、、保保守守力力(conservationforce)物體體在在某某種種力力的的作作用用下下，，沿沿任任意意閉閉合合路路徑徑繞繞行行一一周周所所作作的的功功恒恒等等于于零零，，即即具有有這這種種特特性性的的力力，，稱稱為為保守守力力；不不具具有有這這種種特特性性的的力力稱稱為為非保保守守力力。24保守力的功只取決于受力質點的始、末位置，而與路徑無關。.0drF保亦即沿任意閉合路徑，保守力對質點所做的功為零亦即非保守力沿閉合路徑作功不為零.0drF保非保守力的功小結AFQPdrh重力的功重力的功萬有引力的功萬有引力的功彈性力的功彈性力的功AgmPhQhgmAmGM(1Pr)rQmGM()12kxP2Qx2A12k125*四四、、勢勢能能曲曲線線以勢勢能能為為縱縱坐坐標標，，相相對對位位置置為為橫橫坐坐標標，，得得到到勢勢能能隨隨相相對對位位置置變變化化的的曲曲線線，，就就是是勢能能曲曲線線。曲線線斜斜率率為為保保守守力力的的大大小小，，即即從曲曲線線可可見見零零勢勢能能點點的的選選取取，，可可分分析析系系統統的的平平衡衡條條件件及及能能量量的的轉轉化化。。彈性勢能曲線重力勢能曲線引力勢能曲線26§2-4機械械能能守守恒恒定定律律一、、質質點點系系的的動動能能定定理理A外+A內=EkQEkP此式式表表示示，，外力力和和內內力力對對系系統統所所作作的的功功的的代代數數和和，，等等于于系系統統內內所所有有質質點點的的總總動動能能的的增增量量。。這個個結結論論稱稱為為質點點系系的的動動能能定定理理。。二、、功功能能原原理理

A內=A保內+A非保內

因為

A保內=(EpQ

EpP)而A外+A非保內=(EkQ+EpQ)(EkP+EpP)

所以27于是有

A外+A非保內=E(Q)E(P)

此式式表表明明，，在系系統統從從一一個個狀狀態(tài)態(tài)變變化化到到另另一一個個狀狀態(tài)態(tài)的的過過程程中中，，其其機機械械能能的的增增量量等等于于外外力力所所作作功功和和系系統統的的非非保保守守內內力力所所作作功功的的代代數數和和。此此規(guī)規(guī)律律稱稱為為系系統統的的功能能原原理理。系統統的的動動能能與與勢勢能能之之和和稱稱為為系系統統的的機機械械能能，，用用E表示示三、、機機械械能能守守恒恒定定律律(lawofconservationofmechanicalenergy)如果

A外+A非保內=0則有

E(Q)=E(P)或

EkQ+EpQ=EkP+EpP

28機械能守恒定律機械能守恒定律各種可能形式的外力對系統做功A外系統內的保守力做功系統內的非保守力做功A保內A非保內+AA外A保內+A非保內動能定理()Ek0EkpE勢能概念0EpA外+A非保內Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末態(tài)機械能E初態(tài)機械能E029機械能守恒定律機械能守恒定律各種可能形式的外力對系統做功A外系統內的保守力做功系統內的非保守力做功A保內A非保內+AA外A保內+A非保內動能定理()Ek0EkpE勢能概念0EpA外+A非保內EE0Ek+pE()0Ek+0Ep()末態(tài)機械能E初態(tài)機械能E0若A外A非保內+0及0或A外A非保內0Ek+pE0Ek+0Ep則常數

若某一過程中外力和非保守內力都不對系統做功，或這兩種力對系統做功的代數和為零，則系統的機械能在該過程中保持不變。機械能守恒定律30能量守守恒定定律封閉系系統：：不受受外界界作用用的系系統封閉系系統內內有非非保守守力作作功時時，機機械能能不守守恒，，能量量的形形式可可能變變化，，也可可能在在物體體之間間轉移移。但但是，，能量不不會消消失，，也不不會產產生，，只能能從一一種形形態(tài)轉轉換為為另一一形態(tài)態(tài)。這就就是普普遍的的能量守守恒定定律。推而廣廣之，，機械能能守恒恒定律律可以以推廣廣為能量守守恒定定律,是自然然界的的基本本定律律之一一。31設地球質量,拋體質量,地球半徑

.``````解取拋體體和地地球為為一系系統，，系系統的的機械械能E守恒.人造地球衛(wèi)星第一宇宙速度，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度.例用機械械能守守恒定定律求求第一一宇宙宙速度度由牛頓頓第二二定律律和萬萬有引引力定定律得得解得32``````地球表面附近故計算得第一宇宙速度33我國1977年年發(fā)射射升空空的東東方紅紅三號號通信信衛(wèi)星星34例用機械械能守守恒定定律求求第二二宇宙宙速度度解法提要：系統：()RM地球,,質點m條件：不考慮空氣阻力及系統外力機械能守恒21mv21GRMm0v2GMR2R2GM()Rg2R2hms31110h1MRv8mm脫離地球引力地面附近rEk021mv2pE0GMm1R0EkpE0E0E35從地球發(fā)送脫離太陽引力所需最小初動能mm212vm21v2+m21vse2vv2+vse2第三宇宙速度1hms7360h11附一：第三宇宙速度從地球發(fā)射質點脫離太陽引力所需最小速度m21v2v(第二宇宙速度)脫離地球引力需初動能從僅脫離太陽引力需初動能rsem21v2se(vseG2Msrse)利用地球公轉速度ve同向發(fā)射,vsevevseG2MeRe受益后的系統：(