2.1導波原理2.2矩形波導2.3圓形波導2.4波導的激勵與耦合第2章規(guī)則金屬波導

規(guī)則金屬波導—截面尺寸、形狀、材料及邊界條件不變的均勻填充介質(zhì)的金屬波導管本章主要內(nèi)容：1.規(guī)則金屬管內(nèi)電磁波對由均勻填充介質(zhì)的金屬波導管建立如圖坐標系,設z軸與波導的軸線相重合。作如下假設:

①波導管內(nèi)填充的介質(zhì)是均勻、線性、各向同性的;②波導管內(nèi)無自由電荷和傳導電流的存在;③波導管內(nèi)的場是時諧場。

電磁場理論,對無源自由空間電場E和磁場H滿足以下矢量亥姆霍茨方程:

（1）將電場和磁場分解為橫向分量和縱向分量,即

E=Et+azEz

H=Ht+azHz(2-1-2)az為z向單位矢量,t表示橫向坐標,可以代表直角坐標中的(x,y);也可代表圓柱坐標中的(ρ,φ)。為方便起見,下面以直角坐標為例討論,將式（2-1-2）代入式(2-1-1),整理后可得

(2-1-3)（2）設為二維拉普拉斯算子,則有(2-1-4)利用分離變量法,令(2-1-5)代入式(2-1-3),并整理得(2-1-6)

上式中左邊是橫向坐標(x,y)的函數(shù),與z無關;而右邊是z的函數(shù),與(x,y)無關。只有二者均為一常數(shù)，上式才能成立,設該常數(shù)為γ2,則有(2-1-7)

上式中的第二式的形式與傳輸線方程(1-1-5)相同,其通解為

A+為待定常數(shù),對無耗波導γ=jβ,而β為相移常數(shù)。（4）設Eoz(x,y)=A+Ez(x,y),則縱向電場可表達為

Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz

同理,縱向磁場也可表達為:

Hz(x,y,z)=Hoz(x,y)e-jβz

(2-1-8)(2-1-10a)(2-1-10b)(2-1-9)規(guī)則金屬波導為無限長,沒有反射波,故A－=0,即縱向電場的縱向分量應滿足的解的形式為

（5）麥克斯韋方程,無源區(qū)電場和磁場應滿足的方程為將它們用直角坐標展開,并利用式（2-1-10）可得:

(2-1-11)(2-1-12)而Eoz(x,y),Hoz(x,y)滿足以下方程:

式中,k2c=k2-β2為傳輸系統(tǒng)的本征值結(jié)論:

①在規(guī)則波導中場的縱向分量滿足標量齊次波動方程,結(jié)合相應邊界條件即可求得縱向分量Ez和Hz,而場的橫向分量即可由縱向分量求得;②既滿足上述方程又滿足邊界條件的解有許多,每一個解對應一個波型也稱之為模式,不同的模式具有不同的傳輸特性;③kc是微分方程在特定邊界條件下的特征值,它是一個與導波系統(tǒng)橫截面形狀、尺寸及傳輸模式有關的參量。由于當相移常數(shù)β=0時,意味著波導系統(tǒng)不再傳播,亦稱為截止,此時kc=k,故將kc稱為截止波數(shù)。

(2-1-14)2.傳輸特性描述波導傳輸特性的主要參數(shù)有：相移常數(shù)、截止波數(shù)、相速、波導波長、群速、波阻抗及傳輸功率：（2）相速（phasevelocity）與波導波長(2-1-15)c為真空中光速,對導行波來說k＞kc,故υp＞c/,即在規(guī)則波導中波的傳播的速度要比在無界空間媒質(zhì)中傳播的速度要快。

電磁波在波導中傳播,其等相位面移動速率稱為相速,于是有

導行波的波長稱為波導波長,用λg表示,它與波數(shù)的關系式為(2-1-16)

將相移常數(shù)β及相速υp隨頻率ω的變化關系稱為色散關系,它描述了波導系統(tǒng)的頻率特性。當存在色散特性時,相速υp已不能很好地描述波的傳播速度,這時就要引入“群速”的概念,它表征了波能量的傳播速度,當kc為常數(shù)時,導行波的群速為(2-1-17)（3）群速（groupvelocity）（4）波阻抗（waveimpedance）(2-1-18)(5)傳輸功率(transmissionpower)

由玻印亭定理,波導中某個波型的傳輸功率為某個波型的橫向電場和橫向磁場之比為波阻抗,即(2-1-19)Z為該波型的波阻抗

3.導行波的分類

1)即

kc=0

這時必有Ez=0和Hz=0,否則由式（2-1-13）知Ex、Ey、Hx、Hy將出現(xiàn)無窮大,這在物理上不可能。這樣kc=0意味著該導行波既無縱向電場又無縱向磁場,只有橫向電場和磁場,故稱為橫電磁波，簡稱TEM波。

對于TEM波,β=k,故相速、波長及波阻抗和無界空間均勻媒質(zhì)中相同。而且由于截止波數(shù)kc=0,理論上任意頻率均能在此類傳輸線上傳輸。此時可用二維靜態(tài)場分析法或前述傳輸線方程法進行分析。

這時β2＞0,而Ez和Hz不能同時為零,否則Et和Ht必然全為零,系統(tǒng)將不存在任何場。一般情況下,只要Ez和Hz中有一個不為零即可滿足邊界條件,這時又可分為兩種情形:(2-1-20)式中，S表示波導周界。（2）(a)TM（transversemagnetic）波將Ez≠0而Hz=0的波稱為磁場純橫向波,簡稱TM波,由于只有縱向電場故又稱為E波。此時滿足的邊界條件應為

而由式（2-1-18）波阻抗的定義得TM波的波阻抗為(2-1-21)(b)TE（transverseelectric）波將Ez=0而Hz≠0的波稱為電場純橫向波,簡稱TE波,此時只有縱向磁場，故又稱為H波。它應滿足的邊界條件為(2-1-22)式中，S表示波導周界；n為邊界法向單位矢量。(2-1-23)無論是TM波還是TE波,其相速均比無界媒質(zhì)空間中的速度要快,故稱之為快波。

而由式（2-1-18）波阻抗的定義得TE波的波阻抗為3)

這時 而相速 ,即相速比無界媒質(zhì)空間中的速度要慢,故又稱之為慢波。光滑導體壁構(gòu)成導波系統(tǒng)不存在出現(xiàn)在阻抗壁存在的導波系統(tǒng)

此時Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz≠0,且滿足(1)TE波（transverseelectricwave）在直角坐標系(2-2-2)應用分離變量法,令Hoz(x,y)=X(x)Y(y)

代入式（2-2-2）,并除以X(x)Y(y),得(2-2-1)(2-2-3)Hoz(x,y)的通解為(2-2-5)

其中,A1A2B1B2為待定系數(shù),由邊界條件確定。由式（2-1-2）知,Hz應滿足的邊界條件為(2-2-6)

將式（2-2-5）代入式（2-2-6）可得

(2-2-7)于是矩形波導TE波縱向磁場的基本解為

代入式（2-1-13），則TE波其它場分量的表達式為(2-2-8)(2-2-9)式中,Hmn為模式振幅常數(shù),故Hz(x,y,z)的通解為

(2-2-10)

(1)為矩形波導TE波的截止波數(shù),顯然它與波導尺寸、傳輸波型有關。（2）m和n分別代表TE波沿x方向和y方向分布的半波個數(shù),一組m、n,對應一種TE波,稱作TEmn模;（3）m和n不能同時為零,否則場分量全部為零。因此，矩形波導能夠存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模;（4）TE10模是最低次模,其余稱為高次模。討論：2)TM波對TM波,Hz=0,Ez=Eoz(x,y)e-jβz,此時滿足由式（2-1-20）,應滿足的邊界條件為(2-2-11)(2-2-12)（2-2-13）

其通解也可寫為

用TE波相同的方法可求得TM波的全部場分量

（2-2-14）

（1），Emn為模式電場振幅數(shù)。TM11模是矩形波導TM波的最低次模,其它均為高次模。（2）矩形波導內(nèi)存在許多模式的波,TE波是所有TEmn模式場的總和,而TM波是所有TMmn模式場的總和。討論：(2-2-16)(2-2-15)2.矩形波導的傳輸特性1)截止波數(shù)與截止波長（1）當工作波長λ小于某個模的截止波長λc時,β2＞0,此?？稍诓▽е袀鬏?故稱為傳導模;（2）工作波長λ大于某個模的截止波長λc時,β2＜0,即此模在波導中不能傳輸,稱為截止模。一個模能否在波導中傳輸取決于波導結(jié)構(gòu)和工作頻率（或波長）。（3）對相同的m和n,TEmn和TMmn模具有相同的截止波長故又稱為簡并模,雖然它們場分布不同,但具有相同的傳輸特性。圖給出了標準波導BJ-32各模式截止波長分布圖。

波導中的相移常數(shù)為(2-2-17)其中,λ=2π/k，為工作波長?？梢姡摬▽г诠ぷ黝l率為3GHz時只能傳輸TE10模。[例2-1]設某矩形波導的尺寸為a=8cm,b=4cm;試求工作頻率在3GHz時該波導能傳輸?shù)哪Ｊ健?/p>

解：

(2)主模（principlemode）TE10在導行波中截止波長λc最長的導行模。矩形波導的主模為TE10模,Ex=Ez=Hy=0(2-2-18)(a)TE10模的場分布將m=1,n=0,kc=π/a,代入式（2-2-10）,并考慮時間因子ejωt,可得TE10模各場分量表達式由此可見,場強與y無關,即各分量沿y軸均勻分布,而沿x方向的變化規(guī)律為(2-2-19)而沿z方向的變化規(guī)律為由圖可見,Hx和Ey最大值在同截面上出現(xiàn),電磁波沿z方向按行波狀態(tài)變化;Ey、Hx和Hz相位差為90°,電磁波沿橫向為駐波分布。

場強與y無關,沿x、z方向的變化規(guī)律如圖中a、b；波導橫截面和縱剖面上的場分布如圖c和d所示；截止波長和相移常數(shù)為(2-2-21)

(b)TE10模的傳輸特性①截止波長與相移常數(shù):將m=1,n=0代入式（2-2-15）,得TE10模截止波數(shù)為②波導波長與波阻抗：由式（2-1-15）及（2-1-16）可得TE10模的相速υp和群速υg分別為③相速與群速④傳輸功率:

其中,

是Ey分量在波導寬邊中心處的振幅值。由此可得波導傳輸TE10模時的功率容量為(2-2-28)(2-2-29)Ebr為擊穿電場幅值因空氣的擊穿場強為30kV/cm,故空氣矩形波導的功率容量為可見:波導尺寸越大,頻率越高，則功率容量越大。當負載不匹配時,由于形成駐波,電場振幅變大,因此功率容量會變小,則不匹配時的功率容量

和匹配時的功率容量Pbr的關系為

(2-2-31)(2-2-30)

其中,ρ為駐波系數(shù)。設導行波沿z方向傳輸時的衰減常數(shù)為α,則沿線電場、磁場按e-αz規(guī)律變化,即(2-2-32)

⑤衰減特性:所以傳輸功率按以下規(guī)律變化:P=P0

e-2αz(2-2-33)兩邊對z求導:(2-2-34)沿線功率減少率等于傳輸系統(tǒng)單位長度上的損耗功率Pl,(2-2-35)衰減常數(shù)α(2-2-36)在計算損耗功率時,因不同的導行模有不同的電流分布,損耗也不同,根據(jù)上述分析,可得矩形波導TE10模的衰減常數(shù)公式:式中,RS=為導體表面電阻,它取決于導體的磁導率μ、電導率σ和工作頻率f。(2-2-37)(dB/m)①衰減與波導的材料有關,因此要選導電率高的非鐵磁材料,使RS盡量小。②增大波導高度b能使衰減變小,但當b＞a/2時單模工作頻帶變窄,故衰減與頻帶應綜合考慮。③衰減還與工作頻率有關,給定矩形波導尺寸時,隨著頻率的提高先是減小,出現(xiàn)極小點,然后穩(wěn)步上升。結(jié)論1)波導帶寬問題：保證在給定頻率范圍內(nèi)的電磁波在波導中都能以單一的TE10模傳播,其它高次模都應截止。為此應滿足:（2-2-38）

3.矩形波導尺寸選擇原則選擇矩形波導尺寸應考慮以下幾個方面因素:將TE10模、TE20模和TE01模的截止波長代入上式得：

即取 。

或?qū)懽?/p>

在傳播所要求的功率時,波導不致于發(fā)生擊穿。由式（2-2-29）可知，適當增加b可增加功率容量,故b應盡可能大一些。2)波導功率容量問題3)波導的衰減問題通過波導后的微波信號功率不要損失太大。增大b也可使衰減變小,故b應盡可能大一些。綜合上述因素,矩形波導的尺寸一般選為通常將b=a/2的波導稱為標準波導;為了提高功率容量,選b＞a/2這種波導稱為高波導;為了減小體積,減輕重量,有時也選b＜a/2的波導,這種波導稱為扁波導。（2-2-39）

1.圓波導中的場1)TE波此時Ez=0,Hz=Hoz(ρ,φ)e-jβz≠0,且滿足圓波導TE?？v向磁場Hz：圓波導中同樣存在著無窮多種TE模,不同的m和n代表不同的模式,記作TEmn,式中,m表示場沿圓周分布的整波數(shù),n表示場沿半徑分布的最大值個數(shù)。此時波阻抗為式中,1)TE波此時Ez=0,Hz=Hoz(ρ,φ)e-jβz≠0,且滿足應用分離變量法,令(2-3-1)(2-3-2)(2-3-3)在圓柱坐標中，，上式寫作：

代入式（2-3-2）,并除以R(ρ)Φ(φ),得(2-3-4)要使上式成立,上式兩邊項必須均為常數(shù),設該常數(shù)為m2,則得(2-3-5a)(2-3-5b)式中,Jm(x),Nm(x)分別為第一類和第二類m階貝塞爾函數(shù)式（2.3.5b）的通解為(2-3-6b)(2-3-6a)式（2-3-5a）的通解為：

2)TM波通過與TE波相同的分析,可求得TM波縱向電場Ez(ρ,φ,z)的通解為其中,υmn是m階貝塞爾函數(shù)Jm(x)的第n個根可見，圓波導中存在著無窮多種TM模,波型指數(shù)m和n的意義與TE模相同.此時波阻抗為式中,相移常數(shù)圓波導TEmn模、TMmn模的截止波數(shù)分別為

2.圓波導的傳輸特性1)截止波長各模式的截止波長分別為所有的模式中,TE11模截止波長最長,其次為TM01模,三種典型模式的截止波長分別為

2)簡并模(1)E-H簡并（模式簡并）由于貝塞爾函數(shù)具有J0′(x)=-J1(x)的性質(zhì),所以一階貝塞爾函數(shù)的根和零階貝塞爾函數(shù)導數(shù)的根相等,即:μ0n=υ1n,故有從而形成了TE0n模和TM1n模的簡并。這種簡并稱為E-H簡并(2)極化簡并圓波導具有軸對稱性,對m≠0的任意非圓對稱模式,橫向電磁場可以有任意的極化方向而截止波數(shù)相同,任意極化方向的電磁波可以看成是偶對稱極化波和奇對稱極化波的線性組合。偶對稱極化波和奇對稱極化波具有相同的場分布,故稱之為極化簡并。波在傳播過程中由于圓波導細微的不均勻而引起極化旋轉(zhuǎn),從而導致不能單模傳輸,因為有極化簡并現(xiàn)象,圓波導可以構(gòu)成極化分離器、極化衰減器等。3)傳輸功率

由式（2-1-19）可以導出TEmn模和TMmn模的傳輸功率分別為其中，

TE11模的截止波長最長,是圓波導中的最低次模,也是主模。圓波導中TE11模的場分布與矩形波導的TE10模的場分布很相似,因此工程上容易通過矩形波導的橫截面逐漸過渡變?yōu)閳A波導,從而構(gòu)成方圓波導變換器。但由于圓波導中極化簡并模的存在,所以很難實現(xiàn)單模傳輸,因此圓波導不太適合于遠距離傳輸場合。

3.幾種常用模式1)主模（principlemode）TE11模場結(jié)構(gòu)分布方圓波導變換器TM01模是圓波導的第一個高次模,由于它具有圓對稱性故不存在極化簡并模,因此常作為雷達天線與饋線的旋轉(zhuǎn)關節(jié)中的工作模式,

其磁場只有Hφ分量,故波導內(nèi)壁電流只有縱向分量,因此它可以有效地和軸向流動的電子流交換能量,由此將其應用于微波電子管中的諧振腔及直線電子加速器中的工作模式。2)圓對稱TM01模

模TE01模是圓波導的高次模式,比它低的模式有TE11、TM01、TE21模,它與TM11模是簡并模。它也是圓對稱模，故無極化簡并。磁場只有徑向和軸向分量