第九章概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算

北京交通大學(xué)9.1概率統(tǒng)計(jì)軟件包Mathematica可以處理概率統(tǒng)計(jì)方面的計(jì)算,有關(guān)的命令都在Mathematica自帶的統(tǒng)計(jì)軟件包中,這些軟件包存放在Mathematica系統(tǒng)自己帶有程序包,存放在C:\wnmath22\Packges\Statisti目錄中,用戶可以在Mathematica的工作窗口鍵入Ctrl+O,調(diào)出Open窗口,將該窗口左下腳的文件類型選為Packages(*.m),并用鼠標(biāo)雙擊文件夾packages打開其中的子文件夾,然后任意雙擊Statisti文件夾,就可以在窗口左上部分看到很多以.m為擴(kuò)展名的Mathematica所有自帶的概率統(tǒng)計(jì)軟件包文件:(見圖)下一頁(yè)返回軟件包文件名調(diào)用名稱涉及的問題

confiden.mStatistics`ConfidenceIntervals`置信區(qū)間

continuo.mStatistics`ContinuousDistributions`連續(xù)分布

descript.mStatistics`DescriptiveStatistics統(tǒng)計(jì)函數(shù)的說(shuō)明discrete.mStatistics`DiscreteDistributions`離散分布hypothes.mStatistics`HypothesisTests`假設(shè)檢驗(yàn)

linearre.mStatistics`LinearRegression`線性回歸

nonlinear.mStatistics`NonlinearFit`非線性擬合Mathematica中的部分概率統(tǒng)計(jì)軟件包文件名,調(diào)用名稱及涉及的問題9.2Mathematica概率統(tǒng)計(jì)軟件包中最常用的命令為了使用的方便,下面寫出一些概率統(tǒng)計(jì)軟件包中最常用的內(nèi)容及其調(diào)用文件名需調(diào)用Statistics`DescriptiveStatistics`軟件包才能使用的函數(shù):Mean[data]計(jì)算樣本數(shù)據(jù)data的均值Median[data]計(jì)算樣本數(shù)據(jù)data的中值Variance[data]計(jì)算樣本數(shù)據(jù)data的方差StandardDeviation[data]計(jì)算樣本數(shù)據(jù)data的標(biāo)準(zhǔn)差

注意:

data是由離散數(shù)據(jù)組成的表例1：

1)已知樣本數(shù)據(jù)為dat={3.2,5.1,1,4,2},試計(jì)算dat的均值、中值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。

2)產(chǎn)生[0，1]上的20個(gè)隨機(jī)實(shí)數(shù)，并計(jì)算它們的均值、中值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。解:In[1]:=<<Statistics`DescriptiveStatistics`*調(diào)用統(tǒng)計(jì)軟件包In[2]：=dat={3.2,5.1,1,4,2}；In[3]:=Mean[dat]Out[3]:=3.06In[4]:=Median[dat]Out[4]:=3.2In[5]:=Variance[dat]Out[5]:=2.608In[6]:=StandardDeviation[dat]Out[6]:=1.61493In[7]:=dat1=Table[Random[],{20}]Out[7]:={0.93234,0.439331,0.407442,0.469035,0.741679,0.884562,0.111029,0.696056,0.0591917,0.622276,0.825287,0.540449,0.594691,0.597846,0.490196,0.463414,0.404672,0.19069,0.105273,0.942455}In[8]:=Mean[dat1]Out[8]:=0.525896In[9]:=Median[dat1]Out[9]:=0.515323In[10]:=Variance[dat1]Out[10]:=0.0724088In[11]:=StandardDeviation[dat1]Out[11]:=0.269089需調(diào)用Statistics`DiscreteDistributions`軟件包才能使用的概率分布和函數(shù):

BernoulliDistribution[p]表示均值為p的離散伯努力分布BinomialDistribution[n,p]表示參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布b(n,p)GeometricDistribution[p]表示參數(shù)為p的幾何分布HypergeometricDistribution[n,nsucc,ntot]表示參數(shù)為n,nsucc,ntot

的超幾何分布PoissonDistribution[mu]表示參數(shù)為mu的F泊松分布PDF[distribution,k]離散分布distribution的分布律P{=k}CDF[distribution,x]概率分布為distribution且隨機(jī)變量小于值x的概率P{<x}Mean[distribution]計(jì)算離散分布distribution的均值Variance[distribution]計(jì)算離散分布distribution的方差StandardDeviation[distribution]計(jì)算離散分布distribution的標(biāo)準(zhǔn)差Random[distribution]產(chǎn)生具有概率分布為distribution一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)例2：設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為0.8的泊松分布（1）求隨機(jī)變量的均值、中值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和分布律。（2）求隨機(jī)變量

4的概率解:

泊松分布是離散分布,故需調(diào)用處理離散概率問題的軟件包,執(zhí)行命令為In[1]:=<<Statistics`DiscreteDistributions`*調(diào)用統(tǒng)計(jì)軟件包In[2]：=s=PoissonDistribution[0.8]Out[2]:=PoissonDistribution[0.8]In[3]:={Mean[s],Variance[s],StandardDeviation[s]}Out[3]:=

{0.8,0.8,0.894427}In[4]:=

PDF[s,k]

Exp[-1*0.8]0.8kOut[4]:=If[!Negative[k],If[IntegerQ[k],--------------------,0],0]k!

In[5]:=1-CDF[s,3]*因?yàn)楦怕蔖(

4)=1-P(<4)Out[5]:=0.00907986例5：假設(shè)投擲一個(gè)均勻硬幣只能出現(xiàn)正面和反面兩種情況,用Mathematica命令來(lái)驗(yàn)證投擲出現(xiàn)正面的概率為0.5。解：設(shè)X表示投擲一個(gè)均勻硬幣出現(xiàn)正面和反面的隨機(jī)變量，它只取兩個(gè)值0和1,采用具有概率分布均值為0.5的離散伯努力分布BernoulliDistribution[0.5]產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)Random[BernoulliDistribution[0.5]]來(lái)模擬實(shí)際投擲一個(gè)均勻硬幣的情況，規(guī)定出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)是1表示投擲硬幣出現(xiàn)正面;0表示投擲硬幣出現(xiàn)反面。命令中分別用產(chǎn)生的100個(gè)偽隨機(jī)數(shù)、500個(gè)偽隨機(jī)數(shù)和1000個(gè)偽隨機(jī)數(shù)出現(xiàn)數(shù)1的頻率來(lái)驗(yàn)證投擲出現(xiàn)正面的概率為0.5的結(jié)論，命令為：In[1]:=<<Statistics`DiscreteDistributions`*調(diào)用統(tǒng)計(jì)軟件包In[2]：=sy[n_]:=Module[{face,s},*定義模擬函數(shù)

s=BernoulliDistribution[0.5];

For[face=0;i=1,i<=n,i=i+1,

If[Random[s]==1,face=face+1]];

N[face/n]]

In[3]={sy[100],sy[500],sy[1000]}Out[3]={0.53,0.514,0.472}

從模擬試驗(yàn)結(jié)果可以看到投擲出現(xiàn)正面的概率在0.5附近波動(dòng)。需調(diào)用Statistics`ContinuousDistributions`軟件包才能使用的概率分布和函數(shù)BetaDistribution[,]表示參數(shù)為和的Beta連續(xù)分布CauchyDistribution[,]表示參數(shù)和的柯西連續(xù)分布ChiSquareDistribution[n]表示有n個(gè)自由度的2連續(xù)分布ExponentialDistribution[lambda]表示參數(shù)為的指數(shù)連續(xù)分布"FRatioDistribution[n1,n2]表示分子參數(shù)為n1和分母參數(shù)為n2的F連續(xù)分布NormalDistribution[,]表示均值為標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布N(,2)RayleighDistribution[]表示參數(shù)為的瑞利連續(xù)分布"StudentTDistribution[n]表示有n個(gè)自由度的t連續(xù)分布UniformDistribution[min,max]表示[min,max]區(qū)間上的均勻分布PDF[distribution,x]概率分布為distribution的分布密度函數(shù)f(x)CDF[distribution,x]概率分布為distribution且隨機(jī)變量小于值x的概率P{<x}Mean[distribution]計(jì)算概率分布為distribution均值Variance[distribution]計(jì)算概率分布為distribution方差StandardDeviation[distribution]計(jì)算概率分布為distribution標(biāo)準(zhǔn)差Random[distribution]產(chǎn)生具有概率分布為distribution一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)例3：設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,32),（１）求出對(duì)應(yīng)的分布密度函數(shù),并畫出對(duì)應(yīng)的分布密度函數(shù)圖形（２）求隨機(jī)變量<2的概率解:Mathematica命令為:In[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions`In[2]:=dis=NormalDistribution[0,3]Out[2]:=NormalDistribution[0,3]In[3]:=PDF[dis,x]

1Out[3]=-------------------

x2/183ESqrt[2Pi]

In[4]:=

Plot[PDF[dis,x],{x,-10,10},PlotRange->All]Out[4]:=-Graphics-In[5]:=CDF[dis,2]

*求隨機(jī)變量<2的概率Out[5]=0.747507實(shí)驗(yàn)

1袋內(nèi)有6個(gè)白球4個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，求取出的兩個(gè)球都是白球的概率。分析：基本事件總數(shù)C102，有利的事件數(shù)C62

，故所求概率P=C62/C102Mathematica

命令

In[1]:=Binomial[6,2]/Binomial[10,2]Out[1]=1/3故取出兩個(gè)球都是白球的概率為1/32已知在1000個(gè)燈泡中壞燈泡的個(gè)數(shù)從0到5均等可能，求從中任取100個(gè)都是好燈泡的概率。Mathematica

命令

In[1]:=pbi=Table[1/6,{6}];In[2]:=pabi=Table[Binomial[1000-i,100],{i,0,5}]/Binomial[1000,100];In[3]:=pa=Sum[pbi[[i]]*pabi[[i]],{i,1,6}]Out[3]=In[4]:=N[pa](*將精確結(jié)果轉(zhuǎn)化為有6位有效數(shù)字的近似數(shù)*)Out[4]=0.780693實(shí)驗(yàn)

3生成自由度為12的t分布的連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，并用圖形顯示。Mathematica

命令I(lǐng)n[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions`In[2]:=rv=StudentTDistribution[12];In[3]:=f=PDF[rv,x]Out[3]:=(*t(12)的概率密度函數(shù)*)

In[4]:=Plot[f,{x,-5,5}]In[5]:=g=CDF[rv,x];Out[5]:=(*t(12)的分布函數(shù)*)In[6]:=Plot[g,{x,-4,4}]實(shí)驗(yàn)

4某地區(qū)18歲女青年的血壓（收縮壓，以mm-Hg計(jì)）服從N(110,122)。在該地區(qū)任選一個(gè)18歲的女青年，測(cè)量她的血壓X。求P(X≤105)和P(100<X≤120)，畫出血壓X概率密度函數(shù)的圖像。Mathematica

命令I(lǐng)n[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions`

rv=NormalDistribution[110，12];

f[x_]:=PDF[rv，x];

F[x_]:=CDF[rv，x]; N[F[105]]Out[5]=0.338461(*P(X105)=0.338461*)In[6]:=N[F[120]-F[100]]Out[6]=0.595343(*P(100<X100)=0.595343*)In[7]:=Plot[f[x],{x,110-12*3,110+12*3}]實(shí)驗(yàn)

5設(shè)隨機(jī)變量X-b(20-0.4),計(jì)算（1）P{X=0}（2）P{X=1}（3）P{X<2}（4）P{X≤6}（5）P{X>10}（6）P{X≥15}Mathematica

命令

In[1]:=<<Statistics`DiscreteDistributions`

brv=BinomialDistribution[20,0.4];

f[x_]:=PDF[brv,x];

df[x_]:=CDF[brv,x];f[0]Out[5]=0.0000365616(*得P(=0)=0.0000365616*)In[6]:=f[1]Out[6]=0.000487488(*得P(=1)=0.000487488*)In[7]:=df[2]-f[2]Out[7]=0.000524049(*得P(<2)=0.000524049*)In[8]:=df[6]Out[8]=0.250011(*得P(

6)=0.250011*)In[9]:=1-df[10]Out[9]=0.127521(*得P(>10)=0.127521*)In[10]:=1-df[15]+f[15]Out[10]=0.00161152(*得P(

15)=0.00161152*)實(shí)驗(yàn)

6在以原點(diǎn)為圓心的單位圓周上任取一點(diǎn)，求隨機(jī)地取到點(diǎn)的橫坐標(biāo)的概率密度函數(shù)。Mathematica

命令I(lǐng)n[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions`In[2]:=rv=UniformDistribution[-Pi,Pi];f=PDF[rv,t]Out[3]=In[4]:=F=CDF[rv,t]Out[4]=In[5]:=

G[x_]:=1-ArcCos[x]/Pi;D[G[x],x]Out[5]=實(shí)驗(yàn)

7給出20個(gè)服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為3的正態(tài)分布N(0,32)隨機(jī)數(shù)組成的表Mathematica

命令

In[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions`In[2]:=rv=NormalDistribution[0,3];RandomArray[rv,20]Out[3]={0.636589,-4.25557,2.04924,1.58478,0.0244065,0.371864,-0.933664,3.54688,-0.888601,-0.650029,-2.49356,-3.07764,-2.44536,-0.512286,-1.68181,3.8912,-4.28302,-2.01939,-0.294215,2.13797}實(shí)驗(yàn)

8n個(gè)人每人攜帶一件禮物參加聯(lián)歡會(huì)。聯(lián)歡會(huì)開始后，先把所有的禮物編號(hào)，然后每人任意抽取一個(gè)號(hào)碼，按號(hào)碼領(lǐng)取禮物。請(qǐng)分別就參加聯(lián)歡會(huì)的人數(shù)n=1到20人求所有人都得到別人贈(zèng)送禮物的概率，并從這些概率值推斷隨著參加聯(lián)歡會(huì)的人數(shù)增加是否會(huì)出現(xiàn)所有人都得到別人贈(zèng)送禮物的概率會(huì)不斷變小的情況？Mathematica

命令

In[1]:=p[n_]:=Sum[(-1)^k*1/k!,{k,2,n}]In[2]:=Table[N[p[k],18],{k,1,20}]Out[2]={0,0.500000000000000000,0.333333333333333333,0.375000000000000000,0.366666666666666667,0.368055555555555556,0.367857142857142857,0.367881944444444444,0.367879188712522046,0.367879464285714286,0.367879439233605900,0.367879441321281599,0.367879441160691161,0.367879441172161906,0.367879441171397190,0.367879441171444985,0.367879441171442173,0.367879441171442329,0.367879441171442321,0.367879441171442322}從計(jì)算結(jié)果可以看到，隨著參會(huì)人數(shù)的增加，所有人都得到別人贈(zèng)送禮物的概率不會(huì)不斷變小，而是會(huì)收斂到一個(gè)約為0.367879,也就是e-1。實(shí)驗(yàn)

9在某紡織廠中，一個(gè)工人要照顧800個(gè)紗錠。每個(gè)紗錠旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于偶然的原因，紗會(huì)被扯斷。假設(shè)在某一段時(shí)間內(nèi)，每個(gè)紗錠的紗被扯斷的概率為0.005，求在這段時(shí)間內(nèi)，紗被扯斷次數(shù)不大于10的概率。分析：相當(dāng)于進(jìn)行800次獨(dú)立試驗(yàn)，用X表示紗被扯斷次數(shù)，則有X服從b(800,0.005)的二項(xiàng)分布，而所求概率為P{X≤10}可以用求b(800,0.005)的分布函數(shù)得到。Mathematica

命令

In[1]:=<<Statistics`DiscreteDistributions`In[2]:=rvb=BinomialDistribution[800,0.005];f[k_]:=CDF[rvb,k]f[10]Out[4]=0.997239所以在這段時(shí)間內(nèi)，紗被扯斷次數(shù)不大于10的概率為0.997239。練習(xí)

1某種檢驗(yàn)方法對(duì)癌癥的準(zhǔn)確率時(shí)95％，一個(gè)人接受了檢測(cè)并且結(jié)果呈陽(yáng)性，假定這個(gè)人來(lái)自一個(gè)有100000人口的地區(qū)，該地區(qū)2000人得到這種癌癥，推斷接受檢測(cè)者患這種癌癥的概率是多少？2福利彩票搖獎(jiǎng)的大轉(zhuǎn)盤上的圓周等分成100份，第i份對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)金i千元(i=1~100)。轉(zhuǎn)動(dòng)一次大轉(zhuǎn)盤，求獎(jiǎng)金金額為5萬(wàn)元到6萬(wàn)元的概率。3某廠產(chǎn)品中有4％廢品，而在100件合格品中有80件一等品，求任取一件是一等品的概率。4生成服從二項(xiàng)分布b(25,0.3)的隨機(jī)變量，顯示其分布率，并畫出其分布率圖形。實(shí)驗(yàn)

10設(shè)樣本數(shù)據(jù)為{110.1,25.2,50.5,50.5,55.7,30.2,35.4,30.2,4.9,32.3,50.5,30.5,32.3,74.2,60.8}

求該樣本的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、眾數(shù)。Mathematica

命令

In[1]:=<<Statistics`DescriptiveStatistics`In[2]:=d1={110.1,25.2,50.5,50.5,55.7,30.2,35.4,30.2,4.9,32.3,50.5,30.5,32.3,74.2,60.8};In[3]:=Mean[d1]Out[3]=44.8867(*均值為44.8867*)In[4]:=var=Variance[d1]Out[4]=614.89(*方差為614.89*)In[5]:=Sqrt[var]Out[5]=24.797(*標(biāo)準(zhǔn)差為24.797*)In[6]:=Median[d1]Out[6]:=35.4(*中位數(shù)為35.4*)In[7]:=Mode[d1]Out[7]:=50.5(*眾數(shù)為50.5*)實(shí)驗(yàn)

11設(shè)樣本數(shù)據(jù)為{16.5,13.8,16.6,15.7,16.0,16.4,15.3}，求該樣本的均值、幾何均值和調(diào)和均值。Mathematica

命令

In[1]:=<<Statistics`DescriptiveStatistics`In[2]:=d2={16.5,13.8,16.6,15.7,16.0,16.4,15.3};In[3]:=Mean[d2]Out[3]=15.7571(*均值為15.7571*)In[4]:=GeometricMean[d2]Out[4]=15.7296(*幾何均值為15.7296*)In[5]:=HarmonicMean[d2]Out[5]=15.7007(*調(diào)和均值為15.7007*)實(shí)驗(yàn)

12設(shè)樣本數(shù)據(jù)為{6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3}，畫出該樣本的條形圖和餅形圖。Mathematica

命令

In[1]:=<<Graphics`Graphics`In[2]:=d3={6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3};In[3]:=BarChart[d3](*畫樣本條形圖10-1*)In[4]:=PieChat[d3](*畫樣本餅形圖10-2*)實(shí)驗(yàn)

13某企業(yè)在1995到2001年間，每年的生產(chǎn)總值分別是上一年的60％、80％、90％、100%、105％、110％，試計(jì)算該企業(yè)生產(chǎn)總值的年平均發(fā)展速度。Mathematica

命令I(lǐng)n[1]:=<<Statistics`DescriptiveStatistics`In[2]:=d6={0.60，0.80，0.90，1.00，1.05，1.10};In[3]:=GeometricMean[d6]Out[3]=0.89059

實(shí)驗(yàn)

14設(shè)有如下30個(gè)樣本數(shù)據(jù)

0.192,-1.382,0.508,-0.813,0.531,-0.536,0.826,1.404,-1.372,-0.349,1.054,1.372,1.624,0.709,1.034,1.670,-0.205,-0.017,-0.204,0.056,-1.179,-0.645,1.201,0.453,0.304,-1.832,0.058,1.870,0.912,-1.769

（1）畫出具有10個(gè)等距子區(qū)間的直方圖；（2）畫出具有16個(gè)等距子區(qū)間的直方圖。（1）Mathematica

命令

In[1]:=d={0.192,-1.382,0.508,-0.813,0.531,-0.536,0.826,1.404,-1.372,-0.349,1.054,1.372,1.624,0.709,1.034,1.670,-0.205,-0.017,-0.204,0.056,-1.179,-0.645,1.201,0.453,0.304,-1.832,0.058,1.870,0.912,-1.769}In[2]:=h1=-2;(*左端點(diǎn)值為-2*)h=(2-(-2))/10;(*小區(qū)間的長(zhǎng)度為0.4*)num=10;(*小區(qū)間的個(gè)數(shù)為10*)

dnum=30；(*樣本容量為30*)

fpn=Table[m=0;

Do[If[d[[i]]>=h1&&d[[i]]<h1+h,m=m+1],{i,1,dnum}];h1=h1+h;m,{k,1,num}]Out[2]={2,2,2,2,4,4,4,4,3,3}In[3]:=<<Graphics`Graphics`In[4]:=h1=-2;

GeneralizedBarChart[Table[{h1+h*i,fpn[[i+1]],h},{i,0,num-1}],

PlotRange->{0,5}]（2）Mathematica

命令

In[1]:=d={0.192,-1.382,0.508,-0.813,0.531,-0.536,0.826,1.404,-1.372,-0.349,1.054,1.372,1.624,0.709,1.034,1.670,-0.205,-0.017,-0.204,0.056,-1.179,-0.645,1.201,0.453,0.304,-1.832,0.058,1.870,0.912,-1.769}

In[2]:=h1=-2;(*左端點(diǎn)值為-2*)

h=(2-(-2))/16;(*小區(qū)間的長(zhǎng)度為0.25*)num=16;(*小區(qū)間的個(gè)數(shù)為16*)

dnum=30；

(*樣本容量為30*)

fpn=Table[m=0;

Do[If[d[[i]]>=h1&&d[[i]]<h1+h,m=m+1],{i,1,dnum}];In[3]:=h1=-2;

GeneralizedBarChart[Table[{h1+I*h,fpn[[i+1]],h},{i,0,num-1}],

PlotRange->{0,4}]實(shí)驗(yàn)

15某廠用自動(dòng)包裝機(jī)進(jìn)行產(chǎn)品裝包作業(yè)，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取80包，測(cè)得數(shù)據(jù)如下101.1,100.6,101.1,101.7,102.4,102.7,103.2,103.7,99.6,99.1,98.6,98.1,97.6,96.8,97.7,98.2,98.4,103.1,102.8,102.0,102.5,102.3,101.9,101.2,101.1,99.6,99.9,99.1,98.1,102.2,102.3,101.8,101.7,102.0,101.8,101.8,102.0,101.5,101.3,101.4,100.9,100.6,98.6,100.2,100.8,101.4,101.5,101.3,99.4,99.5,99.1,101.0,100.3,100.5,100.0,99.9,99.7,99.6,100.4,100.3,100.2,100.0,100.1,100.5,99.8,99.6,100.0,100.3,100.5,100.2,99.0,98.6,99.4,99.3,99.1,100.1,100.2,101.4,100.9,101.0

求該自動(dòng)包裝機(jī)裝包重量的均值、方差、中位數(shù)、眾數(shù)，并畫出該樣本數(shù)據(jù)的直方圖。Mathematica

命令

In[1]:=d={101.1,100.6,101.1,101.7,102.4,102.7,103.2,103.7,99.6,99.1,98.6,98.1,97.6,96.8,97.7,98.2,98.4,103.1,102.8,102.0,102.5,102.3,101.9,101.2,101.1,99.6,99.9,99.1,98.1,102.2,102.3,101.8,