a.比《數(shù)學3》中“回歸”增加的內容數(shù)學３——統(tǒng)計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題選修１-２——統(tǒng)計案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機誤差項e產生的原因了解相關指數(shù)R2

和模型擬合的效果之間的關系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結果第1頁/共42頁第一頁，共43頁。問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間的函數(shù)關系是y=x2確定性關系問題2：某水田水稻產量y與施肥量x之間是否-------有一個確定性的關系？例如：在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上進行施肥量對水稻產量影響的試驗，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產量y330345365405445450455復習:變量之間的兩種關系第2頁/共42頁第二頁，共43頁。自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。1、定義：1）：相關關系是一種不確定性關系；注對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析。2）：第3頁/共42頁第三頁，共43頁。2、現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系。

如：人的身高與年齡；產品的成本與生產數(shù)量；商品的銷售額與廣告費；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？第4頁/共42頁第四頁，共43頁。1020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關系呢？xy施化肥量水稻產量施化肥量x15202530354045水稻產量y330345365405445450455散點圖第5頁/共42頁第五頁，共43頁。例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。案例1：女大學生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關系。

我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。思考P3產生隨機誤差項e的原因是什么？第6頁/共42頁第六頁，共43頁。思考產生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響體重y的因素不只是身高x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、身高x

的觀測誤差。第7頁/共42頁第七頁，共43頁。函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：可以提供選擇模型的準則第8頁/共42頁第八頁，共43頁。例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。根據(jù)最小二乘法估計和就是未知參數(shù)a和b的最好估計，第9頁/共42頁第九頁，共43頁。制表78合計654321i第10頁/共42頁第十頁，共43頁。所以回歸方程是所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預報其體重為探究P4：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。第11頁/共42頁第十一頁，共43頁。探究P4：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右。60.136kg不是每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，而是所有身高為172cm的女大學生平均體重的預測值。第12頁/共42頁第十二頁，共43頁。函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預報變量。第13頁/共42頁第十三頁，共43頁。1.用相關系數(shù)r來衡量2.公式：求出線性相關方程后，說明身高x每增加一個單位,體重y就增加0.849個單位,這表明體重與身高具有正的線性相關關系.如何描述它們之間線性相關關系的強弱呢?第14頁/共42頁第十四頁，共43頁。①、當時，x與y為完全線性相關，它們之間存在確定的函數(shù)關系。②、當時，表示x與y存在著一定的線性相關，r的絕對值越大，越接近于1，表示x與y直線相關程度越高，反之越低。3.性質：第15頁/共42頁第十五頁，共43頁。第16頁/共42頁第十六頁，共43頁。相關關系的測度

（相關系數(shù)取值及其意義）-1.0+1.00-0.5+0.5完全負相關無線性相關完全正相關負相關程度增加r正相關程度增加第17頁/共42頁第十七頁，共43頁。對回歸模型進行統(tǒng)計檢驗第18頁/共42頁第十八頁，共43頁。思考P6：如何刻畫預報變量（體重）的變化？這個變化在多大程度上與解析變量（身高）有關？在多大程度上與隨機誤差有關？

假設身高和隨機誤差的不同不會對體重產生任何影響，那么所有人的體重將相同。在體重不受任何變量影響的假設下，設8名女大學生的體重都是她們的平均值，即8個人的體重都為54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號54.5kg在散點圖中，所有的點應該落在同一條水平直線上，但是觀測到的數(shù)據(jù)并非如此。這就意味著預報變量（體重）的值受解析變量（身高）和隨機誤差的影響。第19頁/共42頁第十九頁，共43頁。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號

例如，編號為6的女大學生的體重并沒有落在水平直線上，她的體重為61kg。解析變量（身高）和隨機誤差共同把這名學生的體重從54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解析變量和隨機誤差的組合效應。

編號為3的女大學生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為50kg。解析變量（身高）和隨機誤差共同把這名學生的體重從50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，這時解析變量和隨機誤差的組合效應為-4.5kg。54.5kg第20頁/共42頁第二十頁，共43頁。用這種方法可以對所有預報變量計算組合效應。

數(shù)學上，把每個效應（觀測值減去總的平均值）的平方加起來，即用表示總的效應，稱為總偏差平方和。在例1中，總偏差平方和為354。第21頁/共42頁第二十一頁，共43頁。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號

那么，在這個總的效應（總偏差平方和）中，有多少來自于解析變量（身高）？有多少來自于隨機誤差？

假設隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在回歸直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上“推”開了。

因此，數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異

是隨機誤差的效應，稱為殘差。第22頁/共42頁第二十二頁，共43頁。在例1中，殘差平方和約為128.361。例如，編號為6的女大學生，計算隨機誤差的效應（殘差）為：對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為：稱為殘差平方和，它代表了隨機誤差的效應。

由于解析變量和隨機誤差的總效應（總偏差平方和）為354，而隨機誤差的效應為128.361，所以解析變量的效應為354-128.361=225.639，這個值稱為回歸平方和。解析變量和隨機誤差的總效應（總偏差平方和）=解析變量的效應（回歸平方和）+隨機誤差的效應（殘差平方和）第23頁/共42頁第二十三頁，共43頁。我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是

顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。

在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預報變量變化的貢獻率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強）。第24頁/共42頁第二十四頁，共43頁。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來說：相關指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。第25頁/共42頁第二十五頁，共43頁。我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是1354總計0.36128.361隨機誤差(e)0.64225.639解釋變量(身高)比例平方和來源表1-3

從表3-1中可以看出，解析變量對總效應約貢獻了64%，即R2≈0.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。第26頁/共42頁第二十六頁，共43頁。第27頁/共42頁第二十七頁，共43頁。

在研究兩個變量間的關系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：

然后，我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。第28頁/共42頁第二十八頁，共43頁。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。使用公式計算殘差第29頁/共42頁第二十九頁，共43頁。殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。第30頁/共42頁第三十頁，共43頁。用身高預報體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。事實上，它是預報變量的可能取值的平均值?！@些問題也使用于其他問題。第31頁/共42頁第三十一頁，共43頁。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。第32頁/共42頁第三十二頁，共43頁。什么是回歸分析？

（內容）從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學關系式對這些關系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預測或控制的精確程度第33頁/共42頁第三十三頁，共43頁?；貧w分析與相關分析的區(qū)別相關分析中，變量x

變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預測因變量的變化相關分析中所涉及的變量x和y都是隨機變量；回歸分析中，因變量y是隨機變量，自變量x

可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量相關分析主要是描述兩個變量之間線性關系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量x對變量y的影響大小，還可以由回歸方程進行預測和控制

第34頁/共42頁第三十四頁，共43頁。練:某種產品的廣告費支出x與銷售額y之間有如表所示數(shù)據(jù):零件數(shù)X24568加工時間y(分鐘)3040605070(1)求x,y之間的相關系數(shù);(2)求線性回歸方程;第35頁/共42頁第三十五頁，共43頁。離差平方和的分解

（三個平方和的意義）總偏差平方和(SST)反映因變量的n個觀察值與其均值的總離差回歸平方和(SSR)反映自變量x的變化對因變量y取值變化的影響，或者說，是由于x與y之間的線性關系引起的y的取值變化，也稱為可解釋的平方和殘差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素對y取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和第36頁/共42頁第三十六頁，共43頁。樣本決定系數(shù)

（判定系數(shù)r2

）回歸平方和占總離差平方和的比例反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間

r21，說明回歸方程擬合的越好；r20，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關系數(shù)的平方，即r2＝(r)2第37頁/共42頁第三十七頁，共43頁。2、現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系。

如：人的身高與年齡；產品的成本與生產數(shù)量；商品的銷售額與廣告費；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？第38頁/共42頁第三十八頁，共43頁。1020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關系呢？xy施化肥量水稻產量施化肥量x15202530354045水稻產量y330345365405445450455散點圖第39頁/共42頁第三十九頁，共43頁。什么是回歸分析：“回歸”一詞是由英國生物學家F.Galton在研究人體