數(shù)學(xué)

（擴展模塊）第2章橢圓、雙曲線和拋物線2.1橢圓2.2雙曲線2.3拋物線2.1橢圓橢圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程2.1.1若取一條長度固定且沒有彈性的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡我們知道是圓形；若細繩拉開一段距離，兩端固定在圖板的兩個點處，并保持繩子的長度大于兩點之間的距離，此時筆尖畫出的軌跡是什么形狀呢？下面我們來做一個實驗.2.1橢圓如下圖2-1所示，我們將繩子的兩端固定在畫板上的F1和F2兩點處，并使繩長大于F1、F2的距離，用筆尖將繩子拉緊，并保持拉緊的狀態(tài)，在畫板上慢慢移動，觀察所畫出的圖形.圖2-12.1橢圓從以上實驗中可以看出，筆尖（即M點）在移動過程中，與兩個定點F1、F2的距離之和始終保持不變，等于該繩子的長度.我們將平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點F1、F2叫作橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離，即|F1F2|叫作橢圓的焦距.2.1橢圓思考與討論

如果把細繩的兩端的距離拉大，是否還能畫出橢圓？2.1橢圓以橢圓的焦點F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖2-2所示.設(shè)點P（x，y）為橢圓上的任意一點，橢圓的兩個焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c>0，則||F1F2|=2c；點P到焦點F1、F2的距離的和為2a(2a>2c>0).圖2-22.1橢圓由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a即通過移項、兩邊平方后得為使方程簡單、對稱、和諧，引入字母b，令b2=a2－c2，又因為2a>2c>0，即a>c>0，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2-1）2.1橢圓我們把方程（2-1）叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示橢圓的焦點在x軸上，且焦點為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c>0，且c2=a2-b2，我們把F1叫作橢圓的左焦點，F(xiàn)2叫作橢圓的右焦點.2.1橢圓同理，我們可以得到焦點F1，F(xiàn)2在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖2-3所示，我們以過橢圓的焦點F1，F(xiàn)2所在的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并設(shè)F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），其中c>0，且c2=a2-b2，那么我們可以得到橢圓的方程（2-2）我們把方程（2-2）也叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示橢圓的焦點在y軸上，焦點是F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），其中c>0，字母a，b的意義同上，且c2=a2-b2，.2.1橢圓圖2-32.1橢圓思考與討論

已知一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判斷橢圓的焦點在x還是在y軸上？思考與討論

已知一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判斷橢圓的焦點在x還是在y軸上？2.1橢圓例1已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是(-2，0)，(2，0)，并且經(jīng)過點(5/2，－3/2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析首先根據(jù)所給橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)可判斷該橢圓的焦點是在x軸上.

解因為橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由橢圓的定義可知

所以a=.又因為c=2，所以b2=a2－c2=10－4=6.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2.1橢圓

例1還有其他解法嗎？想一想2.1橢圓

例2指出下列橢圓中a、b、c的值，并說出焦點所在的坐標(biāo)軸：分析解題關(guān)鍵是判斷橢圓的焦點在哪條坐標(biāo)軸上.方法是觀察標(biāo)準(zhǔn)方程中含x項與含y項的分母，哪項的分母大，焦點就在哪條坐標(biāo)軸上.

解（1）因為25>16，所以橢圓的焦點在x軸上，并a2=25，b2=16，則c2=a2-b2=25-16=9，可求出a=5，b=4，c=3.（2）因為100>64，所以橢圓的焦點在y軸上，并且a2=100，b2=64，則c2=a2-b2=100-64=36，可求出a=10，b=8，c=6.2.1橢圓練一練1.求下列橢圓的焦點與焦距：2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）a=4，b=，焦點在x軸上；（2）a=4，c=1，焦點在y軸上；（3）焦距為2，且過點(0,).2.1橢圓橢圓的性質(zhì)2.1.21.圖形中x，y的取值范圍將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為，且，則可以得出；同理，將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為，可得出，因此關(guān)于橢圓曲線中x、y符合以下取值范圍：即|x|≤a，|y|≤b從圖2-4上來看，此橢圓應(yīng)該位于直線x=±a，y=±b所圍成的矩形內(nèi).圖2-42.1橢圓2.圖形的對稱性在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們將x換成-x，方程依然成立.這說明當(dāng)點P（x，y）在橢圓上時，其關(guān)于y軸的對稱點P2（-x，y）也在橢圓上，因此橢圓關(guān)于y軸對稱，如圖2-5所示.同理，將y換成-y，方程依然成立.這說明當(dāng)點P（x，y）在橢圓上時，其關(guān)于x軸的對稱點P1（x，-y）也在橢圓上（見圖2-5）.圖2-52.1橢圓3.橢圓的頂點橢圓與它的對稱軸的交點稱為橢圓的頂點，在上面橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x=0，得y=±b，說明點B1(0，-b)、B2（0，b）是橢圓與y軸的兩個交點.同理，令y=0，得x=±a，說明點A1（-a，0）、A2（a，0）是橢圓與x軸的兩個交點，如圖2-4中所示.因此我們將A1、A2、B1、B2四個點叫作橢圓(a>b>0)的四個頂點.線段A1A2、B1B2分別叫作橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，其中a和b分別叫作橢圓的半長軸長和半短軸長.2.1橢圓4.離心率我們將橢圓的焦距與長軸長的比叫作橢圓的離心率，記作e.即因為a>c>0，所以離心率e的取值范圍為0<e<1，且e越大，橢圓就越扁；e越小，橢圓就越接近于圓.2.1橢圓要注意橢圓的焦點與長軸始終在同一個坐標(biāo)軸上.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，如果不能確定焦點的位置，要針對不同情況，給出兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)習(xí)提示2.1橢圓

例3橢圓的一個頂點為A（2，0），其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

分析題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置情況.

解（1）當(dāng)A（2，0）為長軸端點時，a=2，b=1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）當(dāng)A（2，0）為短軸端點時，b=2，a=4.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：綜上所述，滿足條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：和2.1橢圓練一練1.求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率、焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo).2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）長軸長為20，離心率為3/5；（2）a=4，b=1，焦點在y軸上.3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的圖形是不是橢圓？如果是，求出它的對稱中心坐標(biāo)、對稱軸方程以及離心率.2.2雙曲線雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2.2.1在畫板上選取兩定點F1，F(xiàn)2，將拉鏈（拉鏈的兩邊等長）拉開一段，其中一邊固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2（并使AF2小于F1，F(xiàn)2之間的距離），而后固定在F2處，把筆尖放在拉鏈口處（即點M處），于是隨著拉鏈的逐漸打開或閉攏，筆尖就徐徐畫出一條曲線；同理，將拉鏈的兩邊交換位置，可畫出另外一支曲線，如圖2-6所示.圖2-62.2雙曲線從以上實驗我們可以發(fā)現(xiàn)，筆尖（即M點）在緩慢移動過程中，與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值始終保持不變，即等于AF2.我們將平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2間的距離的差的絕對值是常數(shù)（2a，a＞0且小于|F1F2|）的點的軌跡叫作雙曲線．其中這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩個焦點的距離|F1F2|叫作雙曲線的焦距.2.2雙曲線上面實驗所畫出的圖形就是雙曲線，下面我們建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系來研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.以雙曲線的焦點F1，F(xiàn)2所在的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖2-7所示.設(shè)雙曲線的兩個焦點為F1(-c，0)，F(xiàn)2（c，0），則焦距為2c（c>0）.圖2-72.2雙曲線設(shè)點M（x，y）為雙曲線上的任意一點，M點與兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為2a（a>0），由雙曲線的定義可得||MF1|-|MF2||=2a將點M，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)代入得

將上述方程化為

2.2雙曲線移項兩邊平方后整理得

兩邊再平方后整理得等式兩邊同時除以a2(c2-a2)，得由雙曲線的定義知道，2c>2a>0，即c>a>0，說明c2-a2>0，設(shè)b2=c2-a2（b>0），代入上式，方程可變?yōu)?/p>

2.2雙曲線我們把方程(a＞0,b＞0)叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示雙曲線的焦點在x軸上，焦點是F1(-c,0),F2(c，0)，其中c＞0且c2=a2+b2,我們把F1叫作左焦點，F(xiàn)2叫作右焦點.如果我們把雙曲線與整個坐標(biāo)平面繞y=x翻轉(zhuǎn)180°，如圖2-8（a）所示，而仍以向右方向為x軸正方向，向上方向為y軸正方向，便可得到焦點在y軸上的雙曲線，如圖2-8（b）所示.因此，在上面我們所得到的的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，只要互換x，y，便可得到焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

2.2雙曲線

圖2-8方程（2-4）也叫作雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示雙曲線的焦點在y軸上，焦點是F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），其中c>0，字母a，b的意義同式（2-3）中的a,b，且c2=a2+b2.2.2雙曲線例1

已知兩點F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），求與它們距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程.

解由已知條件知，動點的軌跡是雙曲線，焦點在x軸上，可設(shè)其方程為又因為2c=10,2a=6,則c=5,a=3.由c2=a2+b2,得b=4,故所求軌跡方程為2.2雙曲線例2

求與雙曲線有相同焦點且過點P（2，1）的雙曲線方程.

解根據(jù)題意設(shè)所求的雙曲線方程為(a＞0,b＞0),則由題意得

解得a2=b2=3,故所求雙曲線的方程為2.2雙曲線練一練

1.求下列雙曲線的焦點與焦距：

2.2雙曲線練一練2.求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點；（2）過點且（3）經(jīng)過點和2.2雙曲線雙曲線的性質(zhì)2.2.2我們采用與研究橢圓的性質(zhì)相類似的方法，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

來研究雙曲線的性質(zhì).2.2雙曲線1.圖形中x，y的取值范圍我們把上面雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為由于，因此，即

我們再將上面的雙曲線方程變形為，由于，所以，即y∈R，則雙曲線的取值范圍為x≥a或x≤-a，且y∈R.2.2雙曲線換句話說，從橫的方向來看，雙曲線在平行直線x=±a的兩側(cè)，而在兩條平行線x=±a之間無圖像；從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉的曲線，如圖2-9所示.圖2-92.2雙曲線2.圖形的對稱性在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們將x換成-x，方程依然成立,這說明雙曲線關(guān)于y軸對稱.同理可知，雙曲線也關(guān)于x軸對稱，x軸和y軸都叫作雙曲線的對稱軸

.因為雙曲線是不封閉的曲線，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心，坐標(biāo)原點叫作雙曲線的對稱中心

（簡稱中心）.2.2雙曲線3.雙曲線的頂點雙曲線與對稱軸的交點叫作雙曲線的頂點，當(dāng)y=0時，計算得x=±a，所以雙曲線的頂點為A1（-a，0）和A2（a，0）（見圖2-9）.我們稱線段A1A2為雙曲線的實軸，它的長為2a.由于x=0時，雙曲線方程無解，即雙曲線與y軸無交點，但是我們?nèi)詫軸上的兩個特殊點B1（0，-b）、B2（0，b）在圖中也標(biāo)示出來（見圖2-9），看作雙曲線與y軸的兩個虛交點，我們稱線段B1B2為雙曲線的虛軸，它的長為2b，a和b分別叫作雙曲線的實半軸長和虛半軸長.2.2雙曲線實軸與虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線.

學(xué)習(xí)提示2.2雙曲線4.雙曲線的漸近線過雙曲線的兩頂點A1,A2作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過B1,B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形，如圖2-10所示.矩形的兩條對角線所在直線方程是.這兩條直線就是雙曲線的漸近線，為雙曲線的漸近線方程.圖2-102.2雙曲線在方程中，如果a=b,那么以曲線方程變?yōu)閤2-y2=a2,這時它的實軸與虛軸長均為2a,這時，四條直線x=±a,y=±a圍成正方形，漸近線方程為y=±x,它們互相垂直.

學(xué)習(xí)提示2.2雙曲線5.雙曲線的離心率同橢圓一樣，我們稱雙曲線的焦距與實軸長的比值為離心率，記作由于c>a>0，因此雙曲線的離心率e>1.雙曲線形狀與e的關(guān)系：說明e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊.2.2雙曲線

等軸雙曲線的離心率是多少？想一想2.2雙曲線(1)雙曲線的形狀張口隨著漸近線的位置變化而變化；(2)漸近線的位置(傾斜)情況又受到其斜率制約.

學(xué)習(xí)提示2.2雙曲線例4

求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率.

解

雙曲線的漸近線方程為（1）設(shè)所求雙曲線的方程為由可知，則將點代入雙曲線方程中可得將代入其中可發(fā)現(xiàn)方程無解，所以假設(shè)的雙曲線方程不成立.2.2雙曲線（2）設(shè)所求雙曲線的方程為由可知將點代入雙曲線方程中可得將代入其中后，可得到故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為其離心率為e=5/3.2.2雙曲線

例4還有其他解法嗎？想一想2.2雙曲線例5圖2-11所示為雙曲線型自然通風(fēng)塔，其外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m．請選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1m)．圖2-11圖2-122.2雙曲線分析本題建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵.注意到通風(fēng)塔有三個特殊的截口圓：上口、下口、最小的一個截口.顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實軸，所以以最小截口直徑所在直線為x軸，圓心為原點建立坐標(biāo)系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式.

解根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系xOy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點重合，如圖2-12所示．這時，上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．設(shè)雙曲線的方程為2.2雙曲線令點C的坐標(biāo)為(13，y)，則點B的坐標(biāo)為(25，y－55)．因為點B、C在雙曲線上，所以且解方程組，得代入方程①得2.2雙曲線化簡得19b2＋275b－18150＝0③解方程③(使用計算器計算)得b≈25(m)，所以所求雙曲線方程為2.2雙曲線練一練

1.求出下列雙曲線的實軸長、虛軸長、頂點、離心率和漸近線方程，并指出其對稱軸和對稱中心.（1）x2/2－y2/6=1；（2）x2/16－y2/25=1；（3）y2/2－x2/4=1；（4）9x2-y2=81.2.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）以橢圓5y2+8x2=40的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點；（2）經(jīng)過點P(15/4,3)，且一條漸近線方程為4x+3y=0；（3）與x2/49+y2/24=1有公共焦點，且離心率e=5/2.3.求漸近線方程為3x±4y=0，焦點為橢圓x2/10+y2/5=1的一對頂點的雙曲線方程.2.3拋物線拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程2.3.1前兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了二次曲線的橢圓和雙曲線，那么平面內(nèi)移動點到定點和定直線的距離相等的軌跡是怎么樣的圖形呢？下面我們來做一個實驗.如圖2-13所示，點F是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線.H是直線l上的任意一點，過點H作MH⊥l，并與線段FH的垂直平分線相交于點M，當(dāng)點H在直線l上運動時，點M的軌跡是什么?點M在運動的過程中滿足什么條件?圖2-132.3拋物線從以上實驗中，我們發(fā)現(xiàn)點M到直線l的距離和到頂點F的距離始終保持相等（即|MH|=|MF|）.我們將平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫作拋物線，我們稱定點F為拋物線的焦點

，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線

.因此,圖2-13中點M的運動軌跡就是拋物線.下面我們建立一個適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，來研究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.3拋物線如圖2-14所示，取過焦點F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，線段KF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)點M（x，y）為拋物線上的任意一點，另設(shè)|KF|=p（p>0），則F（p/2，0），l：x=-p/2，由拋物線的定義可得|MF|=|MN|，即圖2-142.3拋物線等式兩邊平方得化簡后得式（2-5）為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示拋物線的焦點在x軸的正半軸方向，焦點是，準(zhǔn)線方程為其中p為正常數(shù)，它的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離.2.3拋物線

拋物線是一個怎樣對稱的圖形呢？想一想2.2雙曲線二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像都是拋物線，其中的一部分y=ax2（或可化為）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2=±2py.

學(xué)習(xí)提示2.3拋物線一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也會有所不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他形式.如果我們把圖2-14中的拋物線與整個坐標(biāo)平面分別進行以下操作：（1）繞y=x翻轉(zhuǎn)180°；（2）繞x軸翻轉(zhuǎn)180°；（3）繞y=-x翻轉(zhuǎn)180°，而仍以向右方向為x軸正方向，向上方向為y軸正方向，便可得到以下三種拋物線的圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程，如表2-1所示.2.3拋物線表2-12.3拋物線例1已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程式是y2=6x，求它的焦點坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程.

解由題給條件可知p=3，故所求拋物線的焦點坐標(biāo)為（3/2,0），準(zhǔn)線方程為x=－3/2.2.3拋物線

根據(jù)表2-1中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式與圖形、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的相應(yīng)關(guān)系，如何判斷拋物線的焦點位置和開口方向？想一想2.2雙曲線練一練

1.已知拋物線經(jīng)過點P(4，-2)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(1)y2=12x；(2)y＝12x2，求它們的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.3.已知拋物線的焦點坐標(biāo)為F(0，-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.3拋物線拋物線的性質(zhì)2.3.2從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中我們可以得到不等式y(tǒng)2≥0，p>0即x≤0，y∈R.從圖2-15可以看出，拋物線位于x軸的負半軸方向，而且|y|值隨著|x|的增大逐漸增大，即拋物線越向左上方和左下方無限延伸.圖2-151.圖形中x，y的取值范圍2.3拋物線

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口有什么影響？想一想2.3拋物線在上述拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們將y換成-y，方程依然成立.這說明該拋物線圖形關(guān)于x軸對稱.2.圖形的對稱性2.3拋物線拋物線與坐標(biāo)軸的交點叫作拋物線的頂點.當(dāng)y=0時，x=0；當(dāng)x=0時，y=0，說明拋物線只有一個頂點，即為坐標(biāo)原點（0,0），這與橢圓有四個頂點、雙曲線有兩個頂點不同.3.拋物線的頂點2.3拋物線思考與討論

嘗試自行推導(dǎo)得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì).2.3拋物線當(dāng)拋物線的焦點在x軸或y軸上，開口方向不定時，可將拋物線方程設(shè)為y2=2mx(m≠0)或x2=2my(m≠0)，以避免討論.

學(xué)習(xí)提示2.3拋物線我們將拋物線上的任一點與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫作拋物線的離