第10章變換投影面法換面法的基本概念10.1點(diǎn)的投影變換10.2直線的投影變換10.3平面的投影變換10.4換面法的應(yīng)用舉例10.5第1節(jié)換面法的基本概念在生產(chǎn)實(shí)際中，有時需求作的實(shí)長、實(shí)形和角度大小等。如圖10-1（a）所示。圖10-1換面法上述方法中，空間幾何元素的位置保持不變，用新投影面代替原有的兩個投影面之一，組成新的兩投影面體系，并使幾何元素與新投影面處于有利解題的特殊位置，然后作出新投影面上的投影，這種用新設(shè)立投影面來變更投影圖的方法稱變換投影面法（簡稱換面法）。在換面法中，新投影面的設(shè)置必須符合以下兩條基本原則。①新投影面必須使空間幾何要素處于有利解題的特殊位置。②新投影面必須垂直于原投影體系中的一個投影面（因?yàn)橹挥羞@樣，才能應(yīng)用正投影原理作圖）。第2節(jié)點(diǎn)的投影變換點(diǎn)是幾何體上的最基本的幾何元素。因此掌握點(diǎn)的投影變換規(guī)律是換面法的基礎(chǔ)。1．點(diǎn)的一次變換（1）換V面（V/H→V1/H）如圖10-2（a）所示，設(shè)立新投影面V1代替V面，且V1H，構(gòu)成一個新的兩投影面體系V1/H，O1X1為新投影軸，過點(diǎn)A向V1引投射線交于點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)A在V1面新投影。圖10-2變換V面的點(diǎn)的投影變換由于H面保持不變，點(diǎn)A與H面距離不變，，V1繞O1X1旋轉(zhuǎn)到與H面同一平面上，點(diǎn)A的兩個投影a和的連線垂直于新投影軸，即。作圖時，在不變投影面H上的適當(dāng)位置作新投影軸O1X1，過點(diǎn)a向O1X1引垂線并延長，取，得點(diǎn)A在新投影面上的投影點(diǎn)，如圖10-2（c）所示。（2）換H面（V/H→V/H1）如圖10-3（a）所示，設(shè)立新投影面H1代替H面，建立新的兩面投影體系V/H1，得到投影圖的投影關(guān)系a1a'O1X1，a1ax1=aax，點(diǎn)a1為新投影，見圖10-3（b）、（c）。圖10-3變換H面的點(diǎn)的投影變換綜合上述，可得到點(diǎn)的投影變換規(guī)律：①點(diǎn)的新投影與原來點(diǎn)的不變投影的連線必垂直于新投影軸。②點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被變換點(diǎn)的投影到原來投影軸的距離。2．點(diǎn)的二次換面用換面法解決實(shí)際問題時，往往需要變換兩次或更多次。圖10-4所示是點(diǎn)的二次換面法，是建立在圖10-2所示點(diǎn)的一次換面（V/H→V1/H）的基礎(chǔ)上，再設(shè)立新投影面H2，取代H面，并垂直V1面，建立新的兩投影面體系（V1/H→V1/H2），如圖10-4（a）所示。圖10-4（b）、（c）為點(diǎn)A兩次變換的投影圖。圖10-4點(diǎn)的二次變換第3節(jié)直線的投影變換1．一般位置直線變換成新投影面的平行線如圖10-5（a）所示，AB為一般位置直線，設(shè)置新投影面V1取代V面，使V1面平行于AB線并垂直H面，AB線在V1/H中為V1面平行線。圖10-5用換面法求一般位置線段的實(shí)長和傾角2．投影面平行線變換成新投影面垂直線如圖10-6（a）所示，AB為正平行線，設(shè)置新投影面H1代替H，使H1垂直于AB線和V面，AB在V/H1中為H1的垂直線。圖10-6投影面平行線變換成投影面垂直線3．一般位置直線變換成投影面垂直線一般位置直線不可能直接作新投影面與其垂直，因?yàn)檫@樣作出的新投影面為一般位置，與已知兩個投影面都不構(gòu)成垂直關(guān)系。因此，必須連續(xù)換面兩次，先變換新成新投影平行線，再變換成新投影面垂直線。如圖10-7（a）所示。第一次變換V面（也可換H面），使V1平行于AB，垂直于H，AB為V1/H體系中V1的平行線；第二次變換H面，使H2垂直于AB和V1面，AB為新V1/H2體系中H2的垂直線。圖10-7一般位置直線變換成投影面垂直線第4節(jié)平面的投影變換1．一般位置平面變換成新投影面的垂直面要把一般位置平面變換成新投影面的垂直面，必須作出一個新投影面同時垂直于已知平面形和兩個投影面之一。根據(jù)兩平面互相垂直的幾何條件可知，如果直線垂直于平面，則包容此直線的一切平面均垂直于該平面。因此，作一新投影面垂直于已知平面內(nèi)任一條投影面的平行線（如水平線、正平線），則新投影面與已知面垂直。如圖10-8（a）所示，在△ABC內(nèi)引水平線CD，設(shè)置新投影面V1代替V，垂直于CD，得△ABC垂直于V1面）。圖10-8一般位置平面形變換成投影面垂直面2．投影面垂直面變換成投影面平行面按圖10-1（a）所示原理，△ABC為鉛垂面，變換V面，使V1平行于△ABC，在新V1/H體系中△ABC為V1的平行面。作圖：作O1X1//a(c)b，并由點(diǎn)a(c)，b點(diǎn)向O1X1引垂直線，得△，反映△ABC實(shí)形。如圖10-9所示。圖10-9投影面垂直面變換成投影面平行面3．一般位置平面變換成新投影面平行面將一般位置平面變換成新投影面的平行面，其目的為求作平面的實(shí)形，但它不能直接設(shè)置一個新投影面平行已知平面來求其實(shí)形，因?yàn)檫@樣所設(shè)置的新投影面也是一般位置平面，不符合換面法的基本條件。故必須通過兩次變換，第一次變換成新投影面的垂直面；第二次再變換成新投影面的平行面，在新投影面的投影得實(shí)形。作圖（見圖10-10）：①作平面形ABCD的正平線EF的投影ef、e'f'；②換H面，使新投影面H1垂直于ABCD平面。作O1X1e'f'，求出各點(diǎn)在H1面上的新投影，得出直線段，即為ABCD平面的積聚投影；③換V面，使新投影面V2平行于ABCD平面。作O2X2平行于已求得直線段，然后求得各頂點(diǎn)在V2面的投影，并順序連成圖形，即為平面形ABCD的實(shí)形。圖10-10換面法求一般位置平面形的實(shí)形第5節(jié)換面法的應(yīng)用舉例［例10-1］已知圖10-11（a）所示的橢圓P的正面投影和水平投影，求其實(shí)形。圖10-11求橢圓的實(shí)形作圖（見圖10-11（b））：①將水平投影的圓周12等分，等分點(diǎn)為1、2、…，并求出正面投影1'、2'、…；②作m1n1//m'n'，由m'、1'、2'、…，向m1n1作垂線，并以m1n1為作圖基準(zhǔn)線，在圓周上量取對應(yīng)點(diǎn)到mn的距離，得m1、11、21、…及其對稱點(diǎn)。③按順序光滑地連接m1，11、21、…、n1及其對稱點(diǎn)，即得橢圓實(shí)形。［例10-2］已知圖10-12（b）所示的加料斗，求作其四棱臺側(cè)面的兩側(cè)面夾角。圖10-12求兩平面的夾角作圖（見圖10-12（b））：①作O1X1//mn，求得及()；②作O2X2，求得點(diǎn)n2(m2)及a2、b2；③連接a2n2(m2)、b2n2(m2)，得四棱臺兩側(cè)面夾角。若用角鐵加固兩側(cè)面時，角鐵應(yīng)展成角，見圖10-12（c）。［例10-3］已知圖10-13（a）所示管子C點(diǎn)及另一管段的直線AB的兩面投影，求管子C點(diǎn)到管段AB的最短距離。圖10-13點(diǎn)到直線的距離作圖（見圖10-13（b））：①用H1面換H面，使直線AB平行于H1，得新投影a1b1、c1。②用