PAGEPAGE10頁(yè)第六節(jié)彎曲內(nèi)力平面彎曲的概念彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。彎曲變形特征任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)桿的軸線也彎成曲線。平面彎曲荷載作用面(外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面)與彎曲平面(即梁軸線彎曲后所在平面)相平行或重合的彎曲。產(chǎn)生平面彎曲的條件：(一)梁具有縱對(duì)稱面時(shí)，只要外力(橫向力或外力偶)都作用在此縱對(duì)稱面內(nèi)。(二)非對(duì)稱截面梁純彎曲時(shí)，只要外力偶作用在與梁的形心主慣性平面(即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構(gòu)成的平面)平行的平面內(nèi)。橫力彎曲時(shí)，橫向力必須通過(guò)橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內(nèi)。梁橫截面上的內(nèi)力分量——剪力與彎矩（一）剪力與彎矩剪力梁橫截面上切向分布內(nèi)力的合力，稱為剪力，以V表示。彎矩梁橫截面上法向分布內(nèi)力形成的合力偶矩，稱為彎矩，以M表示。剪力與彎矩的符號(hào)考慮梁微段dx，使右側(cè)截面對(duì)左側(cè)截面產(chǎn)生向下相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的剪力為正，反之為負(fù)；使微段產(chǎn)生凹向上的彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)。由截面法可知：橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力在橫截面方向的投影代數(shù)和；且左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力引起正剪力，反之則引起負(fù)剪力。橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力對(duì)該截面形心的力矩代數(shù)和；且向上外力均引起正彎矩，左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶及右側(cè)梁上逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩，反之則產(chǎn)生負(fù)彎矩。（二）剪力方程與彎矩方程剪力方程表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數(shù)，稱為剪力方程，表示為V=V(x)彎矩方程表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數(shù)，稱為彎矩方程，表示為M=M(x)（三）剪力圖與彎矩圖剪力圖表示沿桿軸各橫截面剪力隨截面位置變化的圖線，稱為剪力圖。彎矩圖表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱為彎矩圖。荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系及應(yīng)用（一）Q、V、M間的微分關(guān)系設(shè)荷載集度q(x)為截面位置x的連續(xù)函數(shù)、且規(guī)定以向上為正，則有（二）應(yīng)用1．校核剪力圖、彎矩圖的正確性根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義，式(5－6—1)和式(5－6－2)表明剪力圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的荷載集度，彎矩圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)截面上的剪力。由式(5—6—3)的幾何意義可根據(jù)M(x)對(duì)x二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，定出M(x)圖的凹向；若q(x)>0，則M圖為上凸的曲線；若q(x)<0，則M圖為下凸的曲線。若q(x)=0，則M圖為直線。2．利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖由式(5—6—1)可得即截面掃上的剪力與截面A上的剪力之差等于梁上AB間荷載集度q(x)圖的面積，但兩截面之間必須無(wú)集中外力作用。同理由式(5－6—2)可得即截B上的彎矩與截面A上的彎矩之差等于梁上AB間剪力圖的面積，但兩截面之間必須無(wú)集中力偶作用。于是由式(5—6—1)、(5—6－2)，根據(jù)梁上已知的荷載集度，判定剪力、彎矩圖的圖線形狀、凹向等，而由式(5—6—4)、(5—6—5)確定控制截面的剪力、彎矩值，即可繪制剪力、彎矩圖。特殊截面上的剪力、彎矩值(一)在集中力作用的截面處，V圖有突變，M圖形成尖角。突變值等于集中力的大小，突變方向與集中力作用方向一致。(二)在集中力偶作用處，V圖無(wú)變化，但M圖有突變。其突變值等于該力偶之矩，突變方向看該力偶對(duì)后半段梁的影響，即該力偶對(duì)后半段梁為產(chǎn)生正彎矩，則向正方向突變，否則反之?，F(xiàn)將上節(jié)和本節(jié)中有關(guān)彎矩、剪力與荷載間的關(guān)系以及剪力圖和彎矩圖的一些特征匯總整理為表5－6－1，以供參考。[例5－6—1]圖5—6—2所示懸臂梁，承載如圖。試列出剪力方程、彎矩方程并作V、M圖。[解]因梁上荷載不連續(xù)故需分段列方程。用任意截面nn截開(kāi)梁，取左部為脫離體，如圖(b)所示。由∑Y=0，同理用任意截面kk截開(kāi)梁，取左部為脫離體如圖(c)所示。由∑Y=0，根據(jù)剪力方程、彎矩方程作圖。對(duì)于線性方程只需算出各段的端值然后連直線即可。V、M圖如圖(d)、(e)所示。[例5—6—2]寫(xiě)出圖示梁的剪力方程和彎矩方程，井作剪力圖和彎矩圖。[解]1．求支座反力故所求的支座反力正確。2．分段建立剪力方程和彎矩方程3．作剪力圖和彎矩圖根據(jù)AC段，CB段剪力方程繪制剪力圖AC段V為常量，故y圖為水平線。CB段V為一次函數(shù)，因而y圖為斜直線：只需確定兩個(gè)截面V值。根據(jù)AC段，CB段彎矩方程繪制彎矩圖AC段M為一次函數(shù)，因而M圖為一斜直線，只需確定兩個(gè)截面M值。CB段M為二次拋物線，只少要確定三個(gè)截面M值，然后用光滑曲線連起來(lái)。拋物線頂點(diǎn)在V=2qa-qx=0處x=2a[例5－6－3]根據(jù)彎矩、剪力和荷載集度間的關(guān)系作圖5－6－6所示梁的剪力圖和彎矩圖。[解]首先求支座反力(懸臂梁可以不求)Rb=4kN(↑)MB=4kNm(順時(shí)針)根據(jù)q、V、M關(guān)系作V、M圖通常步驟為1．分段根據(jù)梁上荷載不連續(xù)點(diǎn)(集中力，集中力偶作用處，分布荷載起訖點(diǎn))為界點(diǎn)。2．定形根據(jù)各段荷載情況，定出V、M圖形狀。3．定控制截面V、M值用截面法或用積分關(guān)系式本例題的分段和定V、M形狀情況見(jiàn)下表。有關(guān)控制截面值確定如