第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第1課時(shí)）一、教材分析本節(jié)課為本章節(jié)的第1課時(shí)，是學(xué)生接觸組合數(shù)學(xué)的第1節(jié)課，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理又是本章節(jié)的基礎(chǔ)，其重要性不言而喻。結(jié)合章頭圖，以現(xiàn)實(shí)生活中的計(jì)數(shù)問題作為背景，介紹本章的知識(shí)框架，使學(xué)生明確本章節(jié)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。本節(jié)課從實(shí)例入手，學(xué)生在探究中歸納出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的概念，在具體情境中體會(huì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系，為接下來的教學(xué)做好鋪墊。二、學(xué)情分析兩個(gè)計(jì)數(shù)原理近乎常識(shí)，學(xué)生理解起來難度不大，但如何讓學(xué)生從具體問題的背景中抽象概括出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，并正確理解“完成一件事情”的含義，是本節(jié)課的重、難點(diǎn)所在。三、教學(xué)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的計(jì)數(shù)問題是普遍存在，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章的興趣，明確本章要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。2.歸納得出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，并正確理解“完成一件事情”的含義。3.通過章引言與章頭圖的介紹，感悟數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活的課程理念，通過經(jīng)歷從具體問題中歸納出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的過程，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。四、教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：歸納得出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，能應(yīng)用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。難點(diǎn)：正確理解“完成一件事情”的含義。五、教學(xué)方法啟發(fā)、引導(dǎo)、自主、探究六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.章引言與章頭圖介紹師：今天我們開始學(xué)習(xí)選擇性必修第三冊(cè)第六章的內(nèi)容：計(jì)數(shù)原理，那么什么是計(jì)數(shù)原理呢？在回答這個(gè)問題之前，我們先通過幾張圖片，一起了解一下新中國(guó)成立后車牌的演變歷史：1949年9月，新中國(guó)推出了第一代汽車牌照，但這一代車牌只使用了1年就被召回了；1950年，交管部門發(fā)布第二代車牌，同學(xué)觀察一下，兩代車牌之間有什么變化嗎？眾生：增加了1位數(shù)。師：到了第三代車牌，在表示省份的位置又增加了1位數(shù)，到了1973年，交管部門發(fā)布了第四代車牌，和前三代比較，第四代車牌最顯著的變化是什么？眾生：車牌的顏色種類變多了。師：是的，到了1986年，交管部門發(fā)布第五代車牌的顏色組成就更加豐富了，而我們?cè)诼访娉Ｒ姷降氖堑诹嚺?，和前面幾代車牌相比較，第六代車牌的組成更加簡(jiǎn)潔了，并推出了“個(gè)性車牌”，允許在車牌的后5位序號(hào)中使用字母，如：FB888；近些年，隨著新能源汽車的快速發(fā)展，交管部門為新能源汽車設(shè)計(jì)了獨(dú)有的綠色牌照，其中序號(hào)比原來又增加了1位數(shù)。思考：推動(dòng)車牌發(fā)展的關(guān)鍵因素是什么？眾生：車牌的“容量”師：是的、隨著人們生活水平的提高，家庭汽車擁有量的迅速增長(zhǎng)，汽車號(hào)牌序號(hào)就需要擴(kuò)容，交通管理部門在確定序號(hào)的組成方法以前，就需要先明確這樣的車牌組成方式能表示多少輛不同的汽車，以保證能滿足民眾的需求，而這個(gè)問題的本質(zhì)就是一個(gè)計(jì)數(shù)問題。計(jì)數(shù)問題大量存在于我們的日常生活當(dāng)中，如選科、體育……面對(duì)這些計(jì)數(shù)問題，我們當(dāng)然可以采用一一列舉的方式來完成計(jì)數(shù)，但當(dāng)數(shù)量較大時(shí)，列舉的方法效率就不高了，比如下面這個(gè)問題：這是一個(gè)國(guó)際象棋棋盤，棋盤中矩形的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？這個(gè)問題的答案就很難通過一一列舉的方式來進(jìn)行計(jì)數(shù)了。思考：如何才能加快我們的計(jì)數(shù)過程呢？提示：國(guó)際象棋棋盤中有多少個(gè)單位正方形？是數(shù)出來的嗎？我們采用的什么樣的方法來加快我們的計(jì)數(shù)過程的？眾生：運(yùn)算師：很好，通過加法和乘法運(yùn)算，我們可以將若干個(gè)“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)，這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本章第一節(jié)6.1將要學(xué)習(xí)的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法；然后在第二節(jié)6.2中，我們將在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)之上，學(xué)習(xí)兩類特殊的計(jì)數(shù)模型及其計(jì)數(shù)公式——排列數(shù)公式和組合數(shù)公式；作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的一個(gè)應(yīng)用，在本章的第三節(jié)6.3中，我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理，帶同學(xué)們領(lǐng)略一下組合數(shù)學(xué)的魅力。設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的計(jì)數(shù)問題，概述研究計(jì)數(shù)問題的總體思路，并明確本章要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。2.分類加法計(jì)數(shù)原理思考：用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?生：因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共能編出26+10=36種師：很好，請(qǐng)坐，這個(gè)計(jì)數(shù)問題用到了加法運(yùn)算，我們一起來分析一下這個(gè)問題的特征，首先，這里要完成的事情是什么？眾生：“給一個(gè)座位編號(hào)”師：很好，那么我們是怎樣完成這件事情的呢？眾生：“選一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字”師：不錯(cuò)，同學(xué)們考慮到了這個(gè)關(guān)鍵的“或”字，就是說用一個(gè)英文字母或是一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字都能完成給座位編號(hào)這件事情，而且英文字母與阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以我們可以將所有號(hào)碼按字母和數(shù)字分為兩類，再將兩類號(hào)碼數(shù)相加就可以得到號(hào)碼的總數(shù)了。思考：你能舉一些生活中類似的例子嗎？生：確定選科的方案，可以按物理和歷史進(jìn)行分類，物理類有6種方案，歷史類有6種方案，所以一共有12種不同選擇方案；生：確定卡塔爾世界杯的比賽場(chǎng)次，可以按小組賽和淘汰賽進(jìn)行分類，對(duì)兩類分別完成計(jì)數(shù)以后，相加就得到所有的比賽場(chǎng)次了……師：同學(xué)們列舉的很好，你能總結(jié)一下上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)嗎？生：1、確定分類標(biāo)準(zhǔn)；2、分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)；3、各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù)；師：很不錯(cuò)，將這個(gè)計(jì)數(shù)環(huán)節(jié)用連貫的語(yǔ)言總結(jié)起來就得到了這節(jié)課要學(xué)習(xí)的第一個(gè)計(jì)數(shù)原理：分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事情共有N種不同的方法.師：同學(xué)們，你們覺得加法原理中有什么是需要我們注意的呢？生：要注意“不同的方法”，如果方法有相同的話，相加會(huì)導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算。師：很好，在分類時(shí)，要保證兩類不同方案中的方法互不相同，接下來我們一起看一道例題；設(shè)計(jì)意圖：通過一個(gè)簡(jiǎn)單具體問題，引導(dǎo)學(xué)生從具體問題中抽象得到分類加法計(jì)數(shù)原理。例1：在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如下表．A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？師：要完成一件什么事情？眾生：選一個(gè)專業(yè)師：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，你是怎樣進(jìn)行計(jì)數(shù)的？生：可以根據(jù)專業(yè)從屬學(xué)校的不同，將完成“選一個(gè)專業(yè)”這件事，分成兩類方案，并且A大學(xué)中的5個(gè)專業(yè)與B大學(xué)中的4個(gè)專業(yè)互不相同，所以，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可以得到不同的選法種數(shù)為N＝5＋4＝9．思考：例1中，如果C大學(xué)也有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如下表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)新聞學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)工商管理學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)金融學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？眾生：5+4+3=12種師：由此你能將分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行推廣嗎？生：如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷利用分類加法計(jì)數(shù)原理的計(jì)數(shù)過程，并通過思考題，引導(dǎo)學(xué)生將分類加法計(jì)數(shù)原理歸納推廣到一般情形。3.分步乘法計(jì)數(shù)原理思考：用前6個(gè)大寫英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1師：這里要完成一件什么事情？眾生：給座位編號(hào)。師：同樣是對(duì)座位進(jìn)行編號(hào)，這與第一道思考題有什么不同的地方嗎？眾生：這一題是用一個(gè)字母和一個(gè)數(shù)字對(duì)座位進(jìn)行編號(hào)。師：不錯(cuò)，同學(xué)們注意到了關(guān)鍵字“和”字的出現(xiàn)，所以得到一個(gè)號(hào)碼需要經(jīng)歷先確定字母，再確定阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟，我們可以通過列“樹狀圖”的方式列出所有可能的號(hào)碼。如下圖：如果要用樹狀圖列出所有可能的號(hào)碼，應(yīng)該怎樣操作？眾生：更換字母師：不錯(cuò)，也就是說前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，所以一共有N=6×9=54從列舉編號(hào)的過程可以看出，要得到一個(gè)座位的編號(hào)，需要經(jīng)歷兩個(gè)步驟，第一步：選一個(gè)英文字母（6種選法）；第2步：選一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字（9種選法）因此共有N=6×9=54思考：類比于分類加法計(jì)數(shù)原理，你能歸納出“×”的計(jì)數(shù)原理嗎？生：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N種不同的方法。設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)具體問題的分析，類比于分類加法計(jì)數(shù)原理，引導(dǎo)學(xué)生歸納出分步乘法計(jì)數(shù)原理。例2：某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？師：這里要完成一件什么事情？眾生：任選男生和女生各1名代表師：你是怎樣進(jìn)行計(jì)數(shù)的？生：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，要完成“任選男生和女生各1名”這件事情，可以分兩個(gè)步驟：第一步，從30名男生中選出1人，有30種不同的選法；第二步，從24名女生中選出1人，有24種不同的選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為N＝30×24=720。思考：在例2中，除了選擇男女同學(xué)各一名以外，若再要從3名老師中選出一名老師作領(lǐng)隊(duì)，組成代表隊(duì)，共有多少種不同的選法？眾生：30×24×3=2160師：你能類比于分類加法計(jì)數(shù)原理，將分步乘法計(jì)數(shù)原理做一推廣嗎?生：如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，??????，做第n步有mn設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的過程，并通過思考，讓學(xué)生將分步乘法計(jì)數(shù)原理歸納推廣到一般情形。4.例題教學(xué)例3：書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法？（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？師：這兩個(gè)問題分別要完成一件什么事情？生：第一問要完成“任取一本書”；第二問要完成“各取一本書”；師：好，請(qǐng)同學(xué)們利用今天所學(xué)的計(jì)數(shù)原理，解決這兩個(gè)計(jì)數(shù)問題。生：在第一問中，完成“任取1本書”這件事，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方案是從第2層取一本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法種數(shù)為N＝4＋3＋2＝9．在第二問中，完成“各取1本書”這件事，可以分為三個(gè)步驟：第1步是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步是從第2層取一本文藝書，有3種方法；第3步是從第3層取1本體育書，有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為N＝4×3×2＝24思考：在面對(duì)計(jì)數(shù)問題時(shí)，采用哪種計(jì)數(shù)原理取決于什么？眾生：完成一件什么事情設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題體悟兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的意義及其區(qū)別5.課堂小結(jié)(1)你有哪些收獲？(2)你認(rèn)為什么是計(jì)數(shù)問題？(3)你認(rèn)為在解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，首先要考慮什么問題？設(shè)計(jì)意圖：梳理本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。6.課后作業(yè)必做題：課本第5頁(yè)練習(xí)：第1題、第3題、第4題選做題：課本第5頁(yè)練習(xí)：第2題舉一些生活中的計(jì)數(shù)問題，并嘗試?yán)脙蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理來解決；