2021年湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)望春中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設a=log23，，c=3﹣2，則(

)A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a參考答案：B【考點】對數(shù)值大小的比較．【專題】轉化思想；數(shù)形結合法；函數(shù)的性質及應用．【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出．【解答】解：a=log23＞1，＜0，0＜c=3﹣2＜1，∴a＞c＞b．故選：B．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C．D．參考答案：C3.若集合，且，則集合Q不可能是（

）A． B． C． D．參考答案：C4.若程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出k的值是(

) A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：A考點：循環(huán)結構．專題：圖表型．分析：根據所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語句，一旦不滿足條件就退出循環(huán)，執(zhí)行語句輸出k，從而到結論．解答： 解：當輸入的值為n=5時，n不滿足第一判斷框中的條件，n=16，k=1，n不滿足第二判斷框中的條件，n滿足第一判斷框中的條件，n=8，k=2，n不滿足第二判斷框中的條件，n滿足第一判斷框中的條件，n=4，k=3，n不滿足第二判斷框中的條件，n滿足第一判斷框中的條件，n=2，k=4，n不滿足第二判斷框中的條件，n滿足第一判斷框中的條件，n=1，k=5，n滿足第二判斷框中的條件，退出循環(huán)，即輸出的結果為k=5，故選A．點評：本題主要考查了循環(huán)結構，是當型循環(huán)，當滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，屬于基礎題．5.四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD一定是（

）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.平行四邊形參考答案：D略6.已知，，若同時滿足條件：①，或；②,。則m的取值范圍是（

）A

B

C

D參考答案：B7.設集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和稱為X的“容量”，（規(guī)定空集容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為S的奇（偶）子集，記S的奇子集個數(shù)為m，偶子集個數(shù)為n，則m，n之間的關系為（）A．m=n B．m＞n C．m＜n D．無法確定參考答案：A【考點】集合的表示法．【專題】轉化思想；集合．【分析】集合S的子集可以分為兩類：A含有1的子集，B中不含有1的子集，這兩類子集個含有22015個，而且對于B類中的任意子集T，必在A類中存在唯一一個子集T∪{1}與之對應，且若T為奇子集，則T∪{1}是偶子集；若T為偶子集，則T∪{1}是奇子集即可得出．【解答】解：集合S的子集可以分為兩類：A含有1的子集，B中不含有1的子集，這兩類子集個含有22015個，而且對于B類中的任意子集T，必在A類中存在唯一一個子集T∪{1}與之對應，且若T為奇子集，則T∪{1}是偶子集；若T為偶子集，則T∪{1}是奇子集．∴B類中有x個奇子集，y個偶子集，則A類中必有x個偶子集，y個奇子集，∴S的奇子集與偶子集的個數(shù)相等．故S的奇子集與偶子集個數(shù)相等，m=n．故選：A．【點評】本題考查了新定義、集合之間的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8.若直線x＋ay－1＝0與4x－2y＋3＝0垂直，則二項式的展開式中x的系數(shù)為()A．－40

B．－10

C．10

D．40參考答案：A9.已知集合A={（x，y）|y2＜x}，B={（x，y）|xy=﹣2，x∈Z，y∈Z}，則A∩B=（）A．? B．{（2，﹣1）}C．{（﹣1，2），（﹣2，1）} D．{（1，﹣2），（﹣1，2），（﹣2，1）}參考答案：B【考點】1E：交集及其運算．【分析】根據集合A、B在平面直角坐標系內表示的圖形，結合交集的定義，即可求出結果．【解答】解：集合A={（x，y）|y2＜x}，在平面直角坐標系內表示平面區(qū)域陰影面積；B={（x，y）|xy=﹣2，x∈Z，y∈Z}，在平面直角坐標系內表示孤立的兩組點；由，求得點P（，﹣）；如圖所示，則x=2，y=﹣1時滿足條件，∴A∩B={（2，﹣1）}．故選：B．10.設函數(shù)，且其圖象關于直線對稱，則（A）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)（B）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)（C）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)（D）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，滿足||=2，||=1，|﹣2|=2，則與的夾角為

．參考答案：120°．【分析】利用向量的運算律將已知等式展開，利用向量的數(shù)量積公式及向量模的平方等于向量的平方，求出向量夾角的余弦，求出夾角．【解答】解：設與的夾角為θ，∵||=2，||=1，|﹣2|=2，∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||?||cosθ=4+4﹣4×2×1×cosθ=12，即cosθ=﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°，故答案為：120°．12.某天，小趙、小張、小李、小劉四人一起到電影院看電影，他們到達電影院之后發(fā)現(xiàn)，

當天正在放映A，B，C，D，E五部影片于是他們商量一起看其中的一部影片：

小趙說：只要不是B就行；

小張說：B，C，D，F(xiàn)都行；

小李說：我喜歡D，但是只要不是C就行；

小劉說：除了E之外，其他的都可以

據此判斷，他們四人可以共同看的影片為____參考答案：【知識點】集合運算.

A1D

解析：小趙可以看的電影的集合為：{A,C,D,E,}，小張可以看的電影的集合為{B,C,D,E}，小李可以看的電影的集合為：{A,B,D,E}，小劉可以看的電影的集合為：{A,B,C,D}，這四個集合的交集中只有元素D，故填D.【思路點撥】分別找出小趙、小張、小李、小劉四人各自可以看的電影的集合，然后求這些集合的交集即可.

13.如圖，圓與軸的正半軸的交點為，點、在圓上，且點位于第一象限，點的坐標為（），若，則的值為

.參考答案：

【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的求值化簡與證明解析：∵點B的坐標為（，﹣），設∠A0B=θ∴sin（π﹣θ）=﹣，cos（π﹣θ）=，即sinθ=﹣，cosθ=﹣，∵∠AOC=α，若|BC|=1，∴θ+α=，則α=﹣θ，則cos2﹣sincos﹣=cosα﹣sinα=cos（α+）=cos（﹣θ+）=cos（）=sinθ=﹣，故答案為：﹣【思路點撥】根據三角函數(shù)的定義，結合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡即可得到結論．14.一個球的球心到過球面上A、B、C三點的截面的距離等于球半徑的一半，若AB=BC=CA=3，則球的半徑是

,球的體積為

.參考答案：答案：2,15.已知三棱錐P-ABC外接球的表面積為100π，PA⊥面，則該三棱錐體積的最大值為____。參考答案：【分析】根據球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據正弦定理求得的長，再根據圓內三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點睛】本小題主要考查外接球有關計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.16.設向量、滿足：||=1，||=2，?（）=0，則與的夾角是

．參考答案：60°【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據平面向量的數(shù)量積運算，求出cosθ的值，即可求出夾角θ的大?。窘獯稹拷猓河蓔|=1，||=2，?（）=0，∴﹣?=0，即12﹣1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈，∴與的夾角θ是60°．故答案為：60°．17.設函數(shù)。則不等式的解集為

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.本小題滿分12分）已知等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項的和Sn.參考答案：略19.（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，連接橢圓四個頂點形成的四邊形面積為4。（I）求橢圓C的標準方程；（II)過點A(1，0)的直線與橢圓C交于點M,N,設P為橢圓上一點，且(t≠0)，O為坐標原點，當時，求t的取值范圍。參考答案：解：（Ⅰ），，即．又，．∴橢圓C的標準方程為． ……………（4分）（Ⅱ）由題意知，當直線MN斜率存在時，設直線方程為，，聯(lián)立方程消去y得，因為直線與橢圓交于兩點，所以恒成立，，又，因為點P在橢圓上，所以，即， ………………（8分）又，即，整理得：，化簡得：，解得或（舍），，即．當直線MN的斜率不存在時，，此時，． ……………………（12分）20.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)。（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，討論函數(shù)零點的個數(shù)；（3）若，當時，求證：參考答案：21.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+4（a∈R是常數(shù)），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為5．（1）求a的值；（2）k≤0，討論直線y=kx與曲線y=f（x）的公共點的個數(shù)．參考答案：考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時的導數(shù)，再求出f（1），由直線方程的點斜式求得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，求出直線在y軸上的截距，由截距為5求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入函數(shù)解析式，求導得到函數(shù)的極值點與極值，根據x=0為極大值點，且極大值大于0，x=2為極小值點，且極小值等于0，可得k≤0時，直線y=kx與曲線y=f（x）的公共點的個數(shù)為1個．解答： 解：（1）∵f（x）=x3+ax2+4，∴f′（x）=3x2+2ax，則f′（1）=3+2a，又f（1）=5+a，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣5﹣a=（3+2a）（x﹣1），取x=0得：y=2﹣a，由2﹣a=5，得a=﹣3；

（2）f（x）=x3﹣3x2+4，f′（x）=3x2﹣6x，當x∈（﹣∞，0），（2，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（0，2）時，f′（x）＜0．∴當x=0時函數(shù)f（x）取得極大值為f（0）=4；當x=2時函數(shù)f（x）取得極小值為f（2）=0．由當x→﹣∞時，f（x）→﹣∞．