截斷切割數(shù)學建模論文摘要本文討論了將一個待加工長方體經過六次截斷切割成一個成品長方體的切割方式問題，利用重心偏移法，考慮了第七及第k+1次切割之間的聯(lián)系，建立了動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學模型，并用直接搜索法進行了求解。本文接著用此模型對某些部門的切割準則作了正確的評價，并給了當e=0時的簡明優(yōu)化準則，最后用具體實例驗證了模型的可靠性，并對一些初值進行了詳細的討論，給出了所有的最優(yōu)解。本文還對模型進行了誤差分析，并對模型進行了推廣。關鍵詞動態(tài)規(guī)劃切割方式f-原則一、問題的提出與分析某些工業(yè)部門（如貴重石材加工等）采用截斷切割的加工方式。這里“截斷切割”是指將物體沿某個切割平面分成兩部分。從一個長方體中加工出一個已知尺寸，位置預定的長方體（這兩個長方體的對應表面是平行的），通常要經過6次截斷切割。設水平切割單位面積的費用是垂直切割單位面積的費用的r倍，且當先后兩次垂直切割的平面（不管它們之間是否穿插水平切割）不平行時，因調整刀具需額外費用e。試為這些部門設計一種安排各面加工次序（稱“切割方式”）的方法，使加工費用最少。并對某部門用的如下準則作出評論：每次選擇一個加工費用最少的待切割面進行切割。該問題可以采用重心偏移法。在切割之前，長方體的重心是確定的，每切割一次它的重心就偏移一次，而且偏移有一定的規(guī)律，它只是沿著長、寬或高的方向偏移。待原長方體加工成成品長方體之后，長方體的重心經過六次偏移已與成品長方體的重心重合了。這就是長方體的重心偏移過程。該問題是一個動態(tài)規(guī)劃問題，是分級決策方法和最佳化原理的綜合應用。首先是建立分級決策的模型。用dk表示第k次決策，Jk表示第k級的級收益，現(xiàn)在一定條件下，尋求一組可行決策變量，使問題的總收益J為最佳。二、基本假設與符號約定基本假設由工藝要求，與水平工作臺接觸的待加工長方體底面是事先指定的，成品長方體的尺寸已知，位置預定，且兩個長方體和對應表面是平行的。刀具的磨損情況很小，可忽略不計。切割熱量對長方體所產生的影響很小，可忽略不計。我們稱切割后的那些不含成品長方體的小長方體為切塊，考慮切塊的可應用性，設切塊是帶狀切塊。在切割過程中，設刀具對切塊和待切割長方體不產生任何影響。設水平切割單位面積費用是垂直切割單位費用的r倍。設先后兩次垂直切割的平面不平行時，不管它們是否穿插水平切割，因調整刀具所需額外費用e。符號約定dk：第k次決策；J：總收益，即總加工費用；P：垂直切割單位面積費用；r：水平切割單位面積費用與垂直切割單位面積費用之比；e：調整刀具所需額外費用；δ(k)：第k次切割時垂直待切割平面在水平面上的投影值；：第k+1次切割后長方體的重心座標；tk：第k次決策時的狀態(tài)；a2,b2,c2：成品長方體的長、寬、高；a1,a3：成品長方體距待加工長方體左側面和右側面的距離；b1,b3：成品長方體距待加工長方體正前面和正后面的距離；c1,c3：成品長方體距待加工長方體底面和頂面的距離；：待加工長方體的長、寬、高；n：刀具被調整的次數(shù)；：定義了一種運算法則，即x、y同奇同偶時表達式取值為0,x、y奇偶相異時表達式取值為1。三、模型的建立確定切割方式的總數(shù)待加工長方體共需截斷切割6次，在橫垂直方向、豎垂直方向、水平方向上各兩次，其總的不同切割方式的總數(shù)為=720種。下面證明一個定理。定理在同一方向上（橫垂直方向、豎垂直方向或水平方向），在總收益最小的條件下，先切割下來的應該是切塊厚度較大的那塊長方體。證明如右圖所示，長方體高為h，不妨設在豎垂直方向先后切割兩次，在橫垂直方向上切割一次，切塊T1，T2的厚度分別為a1和a3，中間那塊包著成品長方體，厚度為a2,,先切T1時，待切割面積S1=（a2+a3）h,先切T2時，待切割面積S2=（a1+a2）h>S1.在同種情況下，S2>S1，則切T2比切T1花的費用高，不符合總收益最小的原則。所以，在同等情況下應切割T1，即先切割厚度較大的那塊長方體。證畢。實際上，切割六次以后，所有切塊的總體積是一定的，先把體積大的切塊切割下來，后面浪費的面積就少一些，費用也就小一點，這一點與實際情況是相符的。因此，在這個原則下，不同切割方式的總數(shù)為這比原來縮減了87。5%，大大減少了計算機的工作量。這條原則我們稱之為f—原則。使總收益達到最小時的決策方案總是90種的一種或幾種。（二）模型一首先，建立一個三維直角坐標系，以待加工長方體的正前左下頂點為原點，長方體長、寬、高方向為x、y、z軸。上述問題如果用非線性規(guī)劃解，則其模型為：可以看出，它有三個約束條件，現(xiàn)轉化為動態(tài)規(guī)劃問題，則它是三維的。用(1,0,0)表示刀具沿垂直于x軸方向（即豎垂直方向）切割；(0,1,0)表示刀具沿垂直于y軸方向（即橫垂直方向）切割；(0,0,1)表示刀具沿垂直于z軸方向（即水平方向）切割；第k次切割時刀具方向在水平上的投影值函數(shù)定義為：根據第k次切割及第k+1次切割之間的重心偏移關系，我們得出動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學模型：tk+1的狀態(tài)傳遞函數(shù)為總收益函數(shù)；；;k分別取值0，1，2，3，4，5。因此，目標函數(shù)則為它必須符合f—原則。由于沒有現(xiàn)成的軟件包可以使用，我們自己在LINGO2軟件環(huán)境下編寫了一種實現(xiàn)此動態(tài)規(guī)劃的算法。在程序中，我們把動態(tài)規(guī)劃轉化成了一個0—1規(guī)劃，以判斷控制和循環(huán)控制為主，采用多層循環(huán)，每進入新一層循環(huán)，需把總收益與上一層總收益進行比較，如較大則結束循環(huán)。最后經過層層比較之后，得到一個最小總收益，并同時得到所有最優(yōu)決策方案。（三）模型二某些部門用以下準則進行工作：每次選擇一個加工費用最少的待切割面進行切割。這條準則看起來好象是最優(yōu)的，每次選一個加工費用最少的待切割面進行切割，最后的總費用還是最少的。實際上并非如此，它只是在其變量參數(shù)滿足一定條件時才是成立的，其中r在1的范圍附近變動，而且e的取值不能很大，這在以后的實例中可以得到。因此說，這條準則只是一個局部最優(yōu)準則，而并不是一個整體的最優(yōu)準則，在此我們稱之為準則1。（四）模型三當e=0時，垂直方向刀具先后不平行時調整刀具不需要額外費用，這就大大簡化了問題的優(yōu)化模型。待加工長方體按三個方向切割，每個方向切下兩塊，我們分別令a1,a3,b1,b3,c1,c3為豎垂直方向、橫垂直方向和水平方向的六塊切塊的厚度。當水平切割單位面積的費用為垂直單位面積的r倍時，除包含底面和頂面的兩塊切塊外，我們分別給其它的四塊切塊的厚度乘以系數(shù)r，則它們的厚度分別由a1,a3,b1,b3變成了泛厚度ra1,ra3,rb1,rb3。由f—原則得到啟示，先切下泛厚度越厚的切塊，則后面切割時浪費的面積越少，因此浪費的費用也越少。即為泛厚度最厚的切塊，為除第一個最厚切塊外最厚切塊的厚度，為泛厚度集合中除了元素外最大者。因此，e=0時的簡化優(yōu)化準則為每次都切泛厚度最厚的切塊。即依次切割厚度為的切塊。這在以后的實例中可以得到驗證。在此我們稱這條優(yōu)化準則為準則2，它與準則1是不相同的。四、模型的求解與檢驗現(xiàn)有一個待加工長方體和成品長方體，它們的長、寬、高分別為10、14.5、19和3、2、4，二者左側面、正面、底面之間的距離分別為6、7、9（單位均為厘米），p=1元/厘米2。（a）r=1,e=0;利用上述模型求解，可得原則的最小總收益J=374元，滿足最小總收益的共有兩種不同的切割方式，在滿足f—原則的前提下，六次切割狀態(tài)向量分別為：其中決策方案（*）只符合準則2，而決策方案（**）不僅符合準則1，而且符合準則2。（b）r=1.5,e=0;求得最小總收益J=437.5元，滿足最小總收益的共有兩種不同的切割方式，在滿足f—原則的前提下，六次切割狀態(tài)向量分別為：其中決策方案（*）只符合準則2，而決策方案（**）不僅符合準則1，而且符合準則2。（c）r=8,e=0;求得最小總收益J=540.5元，滿足最小總收益的只有一種切割方式，在滿足f—原則的前提下，其切割狀態(tài)向量為：這種決策方案只符合準則2，但不符合準則1。（d）這種情況比較復雜，需分類討論。（?。┊攏=1時，這時利用上述模型求解得到最小總收益J=442.5+e，滿足最小總收益的只有一種切割方式，在滿足f—原則的前提下，其切割狀態(tài)向量為：這種決策方案即不符合準則1，也不符合準則2。（ⅱ）當n=2時，求得最小總收益J=456.5+2e，滿足最小總收益的只有一種切割方式，在滿足f—原則的前提下，其切割狀態(tài)向量為：這種決策方案即不符合準則1，也不符合準則2。（ⅲ）當n=3時，求得最小總收益J=437.5+3e，它就是狀況（b），共有兩種不同的切割方式，在滿足f—原則的前提下，其狀態(tài)向量分別為：其中決策方案（*）只符合準則2，而決策方案（**）符合準則1和準則2?，F(xiàn)，它在一定范圍內取值，令，則因此，綜合知：有（A）當共有兩種不同的最佳切割方式，在滿足f—原則的前提下，其切割狀態(tài)向量分別為：此結果與（ⅲ）相同。（B）當這時只有一種最佳切割方式，在滿足f—原則的前提下，其切割狀態(tài)向量為：此結果與（?。┫嗤＃–）。這時有三種最佳切割方式，在滿足f—原則的前提下，其切割狀態(tài)向量分別為：和此結果就是（?。┖停á＃┑寞B加。以上結果分別是模型對(a)、(b)、(c)、(d)四種情況的所有的最優(yōu)解。從以上結果分析可以得到：準則1的成立是必須滿足一定的條件，狀態(tài)參數(shù)變量r在1附近范圍內變動，且而當e=0時的簡明優(yōu)化準則2是正確的；同時，上述結果和準則2也可以驗證模型的可靠程度是比較高的，且穩(wěn)定性好。五、模型的誤差分析模型中的計算誤差僅來自算法中的嚴密性與精確性，由于題目涉及的變量較多，所要求的精度也較高，形式也較繁雜，故可產生一些誤差，且能產生一定的局部影響。但本文的基本假設合理，理論可靠，模型結構簡單，具有較好的穩(wěn)定性。六、模型的評價及改進方向模型優(yōu)缺點模型一是我們得到了主要結果，它對問題的描述準確、合理，推導理論可靠、嚴密，模型結構簡單，可靠程度高，實用性強，且穩(wěn)定性好；建模過程中動態(tài)規(guī)劃具有一般性，適用范圍廣，易于推廣。該模型沒有與社會經濟聯(lián)系起來，沒有考慮大量加工成品長方體的情形，而這些情況在實際上是出現(xiàn)的。模型的改進方向該模型可推廣到其它范圍內，如平板車的裝貨問題、輪船與貨車的最大運輸量問題、資源分配問題等。成品長方體也可改成球體、正四面體等其它形體，同樣可采用動態(tài)規(guī)劃方法，有時可化為非線性規(guī)劃問題，變動參數(shù)變量使其方案達到最優(yōu)。參考文獻[1]姜衍智，動態(tài)規(guī)劃原理及應用，西安交通大學出版社，1988年。[2][英]H。P。Williams著，孟國璧等譯，數(shù)學規(guī)劃模型建立與計算機應用，國防工業(yè)出版社，1978年。[3]李火林等編，數(shù)學模型與方法，江西高校出版社，1997年。[4][日]中山一雄著，李云芳譯，金屬切削加工理論，機械工業(yè)出版社，1995年。[5]丁振明等編，金屬切削原理及刀具，國防工業(yè)出版社，1985年。論文點評：（待寫）本篇論文獲得1997年數(shù)學建模的全國一等獎?；贑8051F單片機直流電動機反饋控制系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的嵌入式Web服務器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調節(jié)器單片機控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)基于單片機的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機系統(tǒng)的圖像采集與處理技術的研究基于單片機的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機的泵管內壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現(xiàn)一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機的機電產品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內核設計及其應用研究基于單片機的遠程抄表系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統(tǒng)單片機系統(tǒng)軟件構件開發(fā)的技術研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設計和應用基于單片機的光纖光柵解調儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統(tǒng)的研制基于單片機的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機的旋轉變壓器-數(shù)字轉換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調系統(tǒng)的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統(tǒng)設計Pico專用單片機核的可測性設計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現(xiàn)基于單片機的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機的時控和計數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學生單片機應用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數(shù)據采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設備的數(shù)控改造基于單片機的溫度智能控制系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協(xié)議轉換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測技術研究基于單片機的膛壁溫度報警系統(tǒng)設計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設計基于單片機船舶電力推進電機監(jiān)測系統(tǒng)基于單片機網絡的振動信號的采集系統(tǒng)基于單片機的大容量數(shù)據存儲技術的應用研究基于單片機的疊圖機研究與教學方法實踐基于單片機嵌入式Web服務器技術的研究及實現(xiàn)基于AT89S52單片機的通用數(shù)據采集系統(tǒng)基于單片機的多道脈沖幅度分析儀研究機器人旋轉電弧傳感角焊縫跟蹤單片機控制系統(tǒng)基于單片機的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學實驗中的應用研究基于單片機系統(tǒng)的網絡通信研究與應用基于PIC16F877單片機的莫爾斯碼自動譯碼系統(tǒng)設計與研究基于單片機的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應用研究基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機與Internet互聯(lián)的研究與實現(xiàn)變頻調速液壓電梯單片機控制器的研究基于單片機γ-免疫計數(shù)器自動換樣功能的研究與實現(xiàn)基于單片機的倒立擺控制系統(tǒng)設計與實現(xiàn)單片機嵌入式以太網防盜報警系統(tǒng)基于51單片機的嵌入式Internet系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)單片機監(jiān)測系統(tǒng)在擠壓機上的應用MSP430單片機在智能水表系統(tǒng)上的研究與應用基于單片機的嵌入式系統(tǒng)中TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)與應用單片機在高樓恒壓供水系統(tǒng)中的應用基于ATmega16單片機的流量控制器的開發(fā)基于MSP430單片機的遠程抄表系統(tǒng)及智能網絡水表的設計基于MSP430單片機具有數(shù)據存儲與回放功能的嵌入式電子血壓計的設計基于單片機的氨分解率檢測系統(tǒng)的研究與開發(fā)鍋爐的單片機控制系統(tǒng)基于單片機控制的電磁振動式播種控制系統(tǒng)的設計基于單片機技術的WDR-01型聚氨