2.5平面向量應(yīng)用舉例

主講:楊玉林2.5.1平面幾何的向量方法平面幾何中的向量方法

向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計(jì)算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？ABCD猜想：1.長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系？2.類比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設(shè)，則

分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌吰叫星蚁嗟?，故設(shè)其它線段對應(yīng)向量用它們表示?！嗄隳芸偨Y(jié)一下利用向量法解決平面幾何問題的基本思路嗎？（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：簡述：形到向量向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形例2.

如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條高.求證：AD，BE，CF相交于一點(diǎn).講解范例：BDACFEH例3.如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、

DC邊的中點(diǎn)，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、

RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC解：設(shè)由于與共線，故設(shè)又因?yàn)楣簿€，所以設(shè)因?yàn)樗訟BCDEFRT線，故AT=RT=TCABCDEFRT如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問的夾角取何值時(shí),的值最大？并求出這個(gè)最大值.練習(xí)：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）