§4.1

特征函數(shù)

§4.2大數(shù)定律§4.3隨機(jī)變量序列的兩種收斂性

§4.4中心極限定理第四章大數(shù)定律與中心極限定理§4.1

特征函數(shù)特征函數(shù)是處理概率論問題的有力工具，其作用在于：可將卷積運算化成乘法運算；可將求各階矩的積分運算化成微分運算；可將求隨機(jī)變量序列的極限分布化成一般的函數(shù)極限問題；……….4.1.1

特征函數(shù)的定義定義4.1.1

設(shè)X是一隨機(jī)變量，稱

(t)=E(eitX)為X的特征函數(shù).(必定存在)注意：是虛數(shù)單位.注意點(1)(1)當(dāng)X為離散隨機(jī)變量時，(2)當(dāng)X為連續(xù)隨機(jī)變量時，這是p(x)的傅里葉變換特征函數(shù)的計算中用到復(fù)變函數(shù)，為此注意：注意點(2)(1)

歐拉公式：(2)

復(fù)數(shù)的共軛：(3)復(fù)數(shù)的模：

性質(zhì)4.1.1

4.1.2

特征函數(shù)的性質(zhì)|

(t)|

(0)=1

性質(zhì)4.1.2

性質(zhì)4.1.3

性質(zhì)4.1.4

若X與Y獨立，則

性質(zhì)4.1.5

定理4.1.1

特征函數(shù)的定理一致連續(xù)性.

定理4.1.2

定理4.1.3

定理4.1.4

唯一性.

定理4.1.5

非負(fù)定性.逆轉(zhuǎn)公式.連續(xù)場合，§4.2

大數(shù)定律討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義；給出幾種大數(shù)定律：伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律.4.2.1伯努利大數(shù)定律定理4.2.1（伯努利大數(shù)定律）設(shè)

n

是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中P(A)=p,則對任意的

>0，有4.2.2

常用的幾個大數(shù)定律

大數(shù)定律一般形式：

若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：則稱{Xn}服從大數(shù)定律.切比雪夫大數(shù)定律

定理4.2.2{Xn}兩兩不相關(guān)，且Xn方差存在，有共同的上界，則{Xn}服從大數(shù)定律.證明用到切比雪夫不等式.馬爾可夫大數(shù)定律

定理4.2.3若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：則{Xn}服從大數(shù)定律.(馬爾可夫條件)辛欽大數(shù)定律

定理4.2.4若隨機(jī)變量序列{Xn}獨立同分布，且Xn的數(shù)學(xué)期望存在。則{Xn}服從大數(shù)定律.(1)伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例.注意點(2)切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例.(3)伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例.§4.3

隨機(jī)變量序列的兩種收斂性兩種收斂性：i)依概率收斂：用于大數(shù)定律；ii)按分布收斂：用于中心極限定理.4.3.1依概率收斂定義4.3.1(依概率收斂)大數(shù)定律討論的就是依概率收斂.若對任意的

>0，有則稱隨機(jī)變量序列{Yn}依概率收斂于Y,記為依概率收斂的性質(zhì)定理4.3.1

若則{Xn}與{Yn}的加、減、乘、除依概率收斂到a與b的加、減、乘、除.4.3.2按分布收斂、弱收斂對分布函數(shù)列{Fn(x)}而言，點點收斂要求太高.定義4.3.2若在F(x)的連續(xù)點上都有則稱{Fn(x)}弱收斂于

F(x)，記為相應(yīng)記按分布收斂依概率收斂與按分布收斂的關(guān)系定理4.3.2

定理4.3.3

4.3.3判斷弱收斂的方法定理4.3.4

辛欽大數(shù)定律的證明思路欲證:

只須證：

§4.4中心極限定理

討論獨立隨機(jī)變量和的極限分布,

本指出極限分布為正態(tài)分布.4.4.1獨立隨機(jī)變量和設(shè){Xn}為獨立隨機(jī)變量序列，記其和為4.4.2獨立同分布下的中心極限定理定理4.4.1

林德貝格—勒維中心極限定理設(shè){Xn}為獨立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為

,方差為

2>0，則當(dāng)n充分大時，有應(yīng)用之例:正態(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生；

誤差分析例4.4.1

每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設(shè)箱中第i袋味精的凈重為Xi,則Xi獨立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.(很小)例4.4.2

設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.1