素養(yǎng)拓展03與大學(xué)高等數(shù)學(xué)接軌的三類函數(shù)（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理高考數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)(如歐拉公式、高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù))的接軌，常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．因此在復(fù)習(xí)備考中，有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)個(gè)人的探究、創(chuàng)新精神，拓寬思維，提升核心素養(yǎng)．二、題型精講精練二、題型精講精練【題型訓(xùn)練】1.歐拉公式1．（多選題）歐拉公式（）被數(shù)學(xué)家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無(wú)理數(shù)），如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域（）為，值域（）為，則關(guān)于此函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．函數(shù)的圖像是一群孤立的點(diǎn)C．是的函數(shù) D．2．（單選題）歐拉公式（）被數(shù)學(xué)家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無(wú)理數(shù)），如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域（）為，值域（）為，則關(guān)于此函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．函數(shù)的圖像是一群孤立的點(diǎn)C．是的函數(shù) D．3．（填空題）歐拉公式，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列前2022項(xiàng)的乘積為_(kāi)_.2.高斯函數(shù)一、單選題1．世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，.已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有解之和為（

）A． B． C． D．3．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，，已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．二、多選題1．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（

）A．， B．，C．，若，則有 D．方程的解集為2．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．的值域是D．3.狄利克雷函數(shù)一、單選題1．狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)是兩個(gè)特殊函數(shù)，狄利克雷函數(shù)為黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為則（

）A．1 B．0 C． D．2．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、解析數(shù)論的創(chuàng)始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），對(duì)函數(shù)論、三角級(jí)數(shù)論等都有重要貢獻(xiàn)，主要著作有《數(shù)論講義》《定積分》等.狄利克雷函數(shù)就是以其名字命名的函數(shù)，其解析式為則下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的判斷錯(cuò)誤的是（

）A．對(duì)任意有理數(shù)t，B．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，C．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D．存在實(shí)數(shù)x，y，二、多選題1．函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)?B．若，則C．若，則 D．，2．狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人,并且是有意識(shí)地“以概念代替直覺(jué)”的人．在狄利克雷之前,數(shù)學(xué)家們主要研究具體函數(shù),進(jìn)行具體計(jì)算,他們不大考慮抽象問(wèn)題,但狄利克雷之后,人們開(kāi)始考慮函數(shù)的各種性質(zhì),例如奇偶性、單調(diào)性、周期性等．1837年,狄利克雷拓廣了函數(shù)概念,提出了自變量x與另一個(gè)變量y之間的現(xiàn)代觀念的對(duì)應(yīng)關(guān)系,并舉出了個(gè)著名的函數(shù)——狄利克雷函數(shù):,下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．的值域?yàn)?．狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù)，若，其中為有理數(shù)集，則稱為狄利克雷函數(shù).對(duì)于狄利克雷函數(shù)，下面4個(gè)命題中真命題是（

）A．對(duì)任意，都有B．對(duì)任意，都有C．對(duì)任意，都存在，D．若，，則有三、填空題1．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷是數(shù)學(xué)史