專題27拋物線目錄01思維導(dǎo)圖02知識清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e＝1常用結(jié)論拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準(zhǔn)線上；(7)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.拋物線是高考考查的重點和熱點，其中拋物線的方程、幾何性質(zhì)等常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；拋物線的綜合問題如弦長問題、最值問題等通常以解答題形式出現(xiàn)，難度中等。題型一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程命題點1定義及應(yīng)用例1已知點是拋物線上一點，且點P到C的焦點距離為2，則．【答案】2【分析】求出準(zhǔn)線方程，由拋物線定義列方程求解即可.【解析】拋物線準(zhǔn)線方程為，則點P到C的焦點距離為，所以．故答案為：2.方法歸納：“看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．命題點2求標(biāo)準(zhǔn)方程例2（1）已知拋物線的焦點為為拋物線上一點，若到軸的距離為5，且，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)題意，利用拋物線的定義，得到，求得的值，即可求解.【解析】由拋物線，可得準(zhǔn)線方程為，因為，根據(jù)拋物線定義可知點到準(zhǔn)線的距離為，又因為到軸的距離為5，可得，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．（2）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點是拋物線上一點，于．若，，則拋物線的方程為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，然后在直角三角形中利用可得，從而可得答案．【解析】根據(jù)拋物線的定義可得，又，所以，得，所以拋物線的方程為．故答案為：．方法歸納：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法；(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點位置不確定時，分情況討論．題型二拋物線的幾何性質(zhì)例3已知拋物線C：的焦點為F，過點的直線l在第一象限與C交于A，B兩點，且為的平分線，則直線l的方程為．【答案】【分析】直線的斜率分別為，由傾斜角得出，由題意設(shè)直線的方程為，，，，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得出，并解出，利用，，，代入得出關(guān)于的方程，解之可得．【解析】由題意設(shè)直線的方程為，，，，焦點為，直線的傾斜角為，，直線的傾斜角為，，是的角平分線，則，即，所以，即，由得，，，，，又，，，，代入得．，由得，，由得，，所以，化簡得，解得（舍去負(fù)值），所以直線的方程為，即，故答案為：．方法歸納：應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．題型三直線與拋物線例4拋物線：的焦點為，直線經(jīng)過點，交于兩點，交軸于點，若，則錯誤的是（

）A． B．弦的中點到軸的距離為C． D．點的坐標(biāo)為【答案】D【分析】對于A，由拋物線的方程可得焦點的坐標(biāo)，進而可得的值；對于D，由向量關(guān)系和拋物線定義可得點的橫坐標(biāo)，代入拋物線的方程可得點的縱坐標(biāo)，從而判斷D；求出直線的斜率，進而求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求出兩根之和，對于B，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，可求中點到軸的距離；對于C，再由拋物線的性質(zhì)可得焦點弦的長度，從而判斷C．【解析】對于A，因為拋物線：的焦點為，由題意，所以，即，故A正確；對于D，如圖：過點作垂直于軸，因為，所以，因為，所以，所以，代入可得，故D錯誤；不妨設(shè)點在軸下方，則，所以直線的方程為：，即，由得，所以，對于B，弦的中點到軸的距離為，故B正確；對于C，，故C正確.故選：D方法歸納：(1)求解直線與拋物線問題，一般利用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時