2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》

選擇題（共10小題）

1.（2025?南崗區(qū)模擬）拋物線y=（尤-1）2+3的對(duì)稱軸是（）

A.直線X—1B.直線X—3C.直線尤=-1D.直線尤=-3

2.（2024秋?棗強(qiáng)縣期末）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，aWO）的圖象如圖所示，下列結(jié)論:

①abc<0；

②3a+c<0；

③若點(diǎn)（2，yi）（-2在該二次函數(shù)的圖象上，則yi>”；

④若方程ax1+bx+c-3=0的兩根為xi,xi（xi<x2）,則-l<xi<尤2<3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

3.（2024秋?石景山區(qū)期末）在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，如果。>0,b<0,c>0,那么它的圖象一定不

經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（2025?南崗區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線產(chǎn)/+〃吠-1經(jīng)過(guò)（-1,〃）和（2,ri'）兩點(diǎn)，則w的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

5.（2025?崇明區(qū)三模）將拋物線>=-3?+2向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位后所得到的拋物線

為（）

A.y=-3（x-1）2-3B.y=-3（x-1）2-1

C.y=-3（x=l）2-3D.-3（x+1）2-1

6.（2025?道里區(qū)二模）將拋物線y=2?經(jīng)過(guò)怎樣的平移可得到拋物線>=2（x+3）2+4（）

A.先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位

B.先向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位

C.先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位

D.先向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位

7.（2025?大慶二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)了二一+%與y=or+b（abWO）的圖象大致是（）

8.（2025?揚(yáng)州二模）己知4=?+°,B=2x,若對(duì)于所有的實(shí)數(shù),A的值始終比B的值大，則。的值可能

是（）

A.-1B.0C.1D.2

9.（2025?電白區(qū)一模）如果三點(diǎn)Pi（1,V1）,Pi（3,>2）和23（4,*）在拋物線y=-/+6x+c的圖象

上，那么yi,"與"之間的大小關(guān)系是（）

A.yi<yi<yiB.y?,<y2<y\C.y?,<y\<y2D.yi<y2<y3

10.（2024秋?平頂山期末）對(duì)于二次函數(shù)y=-7+2x+3,下列說(shuō)法不正確的是（）

A.當(dāng)尤=1時(shí)，y有最大值2

B.當(dāng)時(shí)，y隨尤的增大而減小

C.開口向下

D.函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)（-1,0）和（3,0）

二.填空題（共5小題）

11.（2025?漣水縣二模）二次函數(shù)y=3（x+2）2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

12.（2025?普陀區(qū)三模）已知二次函數(shù)y=（尤-2）?+m的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么機(jī)=.

13.（2025?閔行區(qū)三模）如果拋物線y=/+6x+c（其中a、b、c是常數(shù)，且aWO）在對(duì)稱軸左側(cè)的部分

是下降的，那么a0.（填或“>"）

14.（2024秋?青縣期末）如圖，以407Ms的速度將小球沿與水平地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行

路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度〃（單位：m）與飛行時(shí)間單位：s）

之間具有函數(shù)關(guān)系/v=20/-5r.

（1）小球飛行的最大高度是米；

（2）小球在高于15米（包括15米）的空中保持了秒.

15.（2024秋?邯鄲期末）如圖，若yuqf+bx+cQW0）的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程a/+bx+c

=0的另一個(gè)解為.

16.（2025?黃島區(qū)校級(jí)三模）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，

則游戲成功.彈力球著地前后的運(yùn)動(dòng)路徑可近似看成形狀相同的兩條拋物線.在如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系xOy中，無(wú)（單位：加）是彈力球距拋出點(diǎn)的水平距離，y（單位；，〃）是彈力球距地面的高度.甲

站在原點(diǎn)處，從離地面Lw的點(diǎn)A處拋出彈力球，彈力球在點(diǎn)8處著地后彈起.已知彈力球第一次著地

前拋物線的函數(shù)解析式為（尤-2）2+1.8.

（1）求a的值及08的長(zhǎng).

（2）若彈力球在點(diǎn)2處著地后彈起的最大高度比著地前拋物線的最大高度低1777.

①求彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的函數(shù)解析式.

②如圖，如果在地面上擺放一個(gè)底面半徑為0.2%，高06〃的圓柱形筐，此時(shí)筐的最左端與原點(diǎn)的水平

距離為力小若要使得游戲成功，則d的取值范圍是.

17.（2025?武漢模擬）我們常見(jiàn)的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過(guò)鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組

合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”，鍋口直徑為6而，鍋深3而1,鍋蓋高（鍋口直徑與鍋蓋

直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為Ci,把鍋蓋縱斷面的拋物

（2）如果炒菜時(shí)鍋的水位高度是1dm,求此時(shí)水面的直徑（結(jié)果保留根號(hào)）；

（3）如果將一個(gè)底面直徑為2力加高度為3.6而z的圓柱形器皿豎直放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正

常蓋上？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（2025春?玄武區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為

整點(diǎn).設(shè)函數(shù)y=（4a+2）/+（9-6。）尤-4a+4（實(shí)數(shù)。為常數(shù)）的圖象為圖象T.

（1）求證：無(wú)論。取什么實(shí)數(shù)，圖象T與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）是否存在整數(shù)a,使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.（2024秋?息縣期末）某班級(jí)在一次課外活動(dòng)中設(shè)計(jì)了一個(gè)彈珠投箱子的游戲（長(zhǎng)方體無(wú)蓋箱子放在水

平地面上）.同學(xué)們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（x軸

經(jīng)過(guò)箱子底面中心，并與其一組對(duì)邊平行，矩形DE/G為箱子的截面示意圖），某同學(xué)將彈珠從A（1,

0)處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線L：，=口久2+6久+3(單位長(zhǎng)度為1加)的一部分，且當(dāng)彈珠的高

3

度為時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)位置的水平距離為2加.已知。E=l〃z,EF=0.6m,D4=4.7

2

(1)求拋物線L的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該同學(xué)拋出的彈珠能否投入箱子.

20.(2024秋?安次區(qū)期末)己知二次函數(shù)y=-W+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,4)和NC2,3).

(1)求此二次函數(shù)的解析式.

(2)求此二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(3)求此二次函數(shù)與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案ADCBDACDAA

選擇題（共10小題）

1.（2025?南崗區(qū)模擬）拋物線y=（X-1）2+3的對(duì)稱軸是（）

A.直線x=lB.直線x=3C.直線x=-1D.直線尤=-3

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題.

【答案】A

【分析】二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-h）2+k,對(duì)稱軸為尤=/?.

【解答】解：拋物線y=（x-1）2+3的對(duì)稱軸是直線x=l.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=（無(wú)-/z）2+左中，對(duì)稱軸為

2.（2024秋?棗強(qiáng)縣期末）二次函數(shù)y=o?+扇+c（°,b,c為常數(shù)，aWO）的圖象如圖所示，下列結(jié)論:

①abc<0；

②3a+c<0；

③若點(diǎn)（f,月）T，乃）在該二次函數(shù)的圖象上，則yi>”；

④若方程CUT+bx+c-3=0的兩根為XI,X2（X1<X2）,則-1<X1<X2<3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與X軸的交點(diǎn)；根的判別

式；根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí).

【答案】D

【分析】依據(jù)題意，由拋物線開口向下，從而。<0,又拋物線對(duì)稱軸為x=-白=1,故b=-2a>0,

再結(jié)合拋物線與y軸交于正半軸，可得c>0,進(jìn)而可以判斷①；％=-1時(shí)，a-Z?+c<0,又b=-2a,

從而可以判斷②；由|1一（一|）|=/4一1|=率x=l為對(duì)稱軸，；.（|,月）到對(duì)稱軸直線X=1的距

離，比（-稱，乃）到對(duì)稱軸直線x=l的距離近，結(jié)合圖象可以判斷③；由圖象可得尤=1為對(duì)稱軸，-1

<xi<l,由于方程o^+bx+c-3=0的兩根為無(wú)1,X2（xi<%2）,1-2--1,1+2=3,可得1<尤2<3,

故可以判斷④.

【解答】解：由圖象可知，a<0,c>0,

:拋物線對(duì)稱軸為x=-/=1，

:?b=-2〃>0,

abc<0,故①正確；

由圖象可得當(dāng)％=-1時(shí)，a-Z?+c<0

又,：b=-2a,

..a-（-2〃）+c=3q+cV0,故②正確；

:拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,且|1一（一|）|=|〉憎一1|=|,

；.yi>y2,故③正確；

:拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,-1<%1<1,

?方程o^+bx+c-3=0的兩根為xi,xi（xi<x2）,1-2--1,1+2=3,

：A<X2<3,

-1<X1<X2<3,故④正確.

綜上，正確的有：①②③④.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.（2024秋?石景山區(qū)期末）在二次函數(shù)y=a?+6x+c中，如果。>0,6c0,c>0,那么它的圖象一定不

經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【答案】c

【分析】根據(jù)已知條件“。>0,b<0,c>0”判斷出該函數(shù)圖象的開口方向、與x和y軸的交點(diǎn)、對(duì)稱

軸所在的位置，然后據(jù)此來(lái)判斷它的圖象一定不經(jīng)過(guò)第三象限.

【解答】解：①：。>0、c>0,

該拋物線開口方向向上，且與y軸交于正半軸；

②；。>0,b<0,

...二次函數(shù)y=af+bx+c的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=-1>0,

.?.二次函數(shù)y=o?+公+c的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在第一象限；

綜合①②，二次函數(shù)y="2+bx+c的圖象一定不經(jīng)過(guò)第三象限.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.根據(jù)二次函數(shù)y=a/+bx+c系數(shù)符號(hào)判斷拋物線開口

方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4.（2025?南崗區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線-1經(jīng)過(guò)（-1,〃）和（2,n）兩點(diǎn)，則”的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【答案】B

【分析】根據(jù)（-1,〃）和（2,n）可以確定函數(shù)的對(duì)稱軸尤=1,再由對(duì)稱軸的x=-勺=1,即可求

解；

【解答】解：拋物線尸1經(jīng)過(guò)（-1,"）和（2,n）兩點(diǎn)，

可知函數(shù)的對(duì)稱軸x=二為=1,

.m_1

T=2?

Am-—1；

??y—x~x~1

將點(diǎn)（-1,n）代入函數(shù)解析式，可得〃=1;

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?崇明區(qū)三模）將拋物線>=-3x2+2向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位后所得到的拋物線

為（)

A.y=-3（x-1）2-3B.y--3(尤-1)2-1

C.y=-3（x=l）2-3D.y=-3(x+1)2-1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【答案】D

【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可.

【解答】解：將拋物線＞=-3/+2向左平移1個(gè)單位所得直線解析式為：y=-3（x+1）2+2；

再向下平移3個(gè)單位為：＞=-3（尤+1）2+2-3,即y=-3（x+1）2-1.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵.

6.（2025?道里區(qū)二模）將拋物線y=2/經(jīng)過(guò)怎樣的平移可得到拋物線y=2（x+3）2+4（）

A.先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位

B.先向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位

C.先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位

D.先向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【答案】A

【分析】拋物線的平移問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)的平移，原拋物線的頂點(diǎn)為（0,0）,平移后的拋物線頂點(diǎn)

為（-3,4）,由頂點(diǎn)的平移規(guī)律確定拋物線的平移規(guī)律.

【解答】解:拋物線＞=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,拋物線＞=2G+3）2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,4）,

點(diǎn)（0,0）需要先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)（-3,4）.

拋物線y=2x2先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到拋物線y=2（x+3）2+4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】在尋找圖形的平移規(guī)律時(shí)，往往需要把圖形的平移規(guī)律理解為某個(gè)特殊點(diǎn)的平移規(guī)律.

7.（2025?大慶二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)產(chǎn)/+%與y=or+6（出沒(méi)0）的圖象大致是（）

A.x

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

【答案】c

【分析】根據(jù)每一選項(xiàng)中。、b的符號(hào)是否相符，逐一判斷.

【解答】解：A、由拋物線可知，由直線可知，。<0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由拋物線可知a<0,由直線可知a>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、由拋物線可知，a>0,b>0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項(xiàng)正確；

D、由拋物線可知，a<0,b<0,由直線可知，a<0,b<0,但拋物線頂點(diǎn)不在直線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象.解答該題時(shí)，一定要熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象

的性質(zhì).

8.（2025?揚(yáng)州二模）己知A=f+a,B=2x,若對(duì)于所有的實(shí)數(shù)，A的值始終比B的值大，則。的值可能

是（）

A.-1B.0C.1D.2

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【專題】配方法；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】本題只需根據(jù)題意列出一元二次不等式，由拋物線與無(wú)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)建立不等式即可.

【解答】解：由題可得：的值始終比8的值大，

有x~+a>2x,

即x2-2x+a>0,

即y=7-2x+a的函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，

A=4-4cz<0,

：.a>l.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查二次函數(shù)y="2+bx+c的圖象與無(wú)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，能夠由題意判斷拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

9.（2025?電白區(qū)一模）如果三點(diǎn)Pi（1,ji）,尸2（3,y2）和P3（4,"）在拋物線y=-7+6對(duì)。的圖象

上，那么yi,”與*之間的大小關(guān)系是（）

A.yi<yi<yiB.j3<j2<yiC.yi<y\<yiD.y\<yi<yi

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】A

【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可.

【解答】解：???拋物線產(chǎn)-/+6x+c的開口向下，對(duì)稱軸是直線x=—/=3,

...當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而減小，P\（1,yi）關(guān)于稱軸是直線尤=3的對(duì)稱點(diǎn)是（5,yi）,

V3<4<5,

.?.y2>y3>yi,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題

的關(guān)鍵.

10.（2024秋?平頂山期末）對(duì)于二次函數(shù)y=-/+2X+3,下列說(shuō)法不正確的是（）

A.當(dāng)尤=1時(shí)，y有最大值2

B.當(dāng)了21時(shí)，y隨尤的增大而減小

C.開口向下

D.函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)（-1,0）和（3,0）

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí).

【答案】A

【分析】先把一般式配成頂點(diǎn)式得到y(tǒng)=-（x-1）2+4,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)A、B、C進(jìn)行判

斷；通過(guò)解方程-，+2x+3=0得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可對(duì)D進(jìn)行判斷.

【解答】解:Vy=-/+2x+3=-（x-1）2+4,

...拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,

當(dāng)x=l時(shí)，y有最大值4；

當(dāng)時(shí)，y隨尤的增大而減小，

當(dāng)y=0時(shí)，-/+2x+3=0,

解得尤1=-LX2—3,

.,.拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,（3,0）,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y^a^+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）與x

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

二.填空題（共5小題）

11.（2025?漣水縣二模）二次函數(shù)y=3（x+2）2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,1）.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；符號(hào)意識(shí).

【答案】（-2,1）.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（aWO）的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：：y=3（x+2）2+1,

.?.二次函數(shù)y=3（x+2）2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,1）.

故答案為：（-2,1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟知對(duì)于二次函數(shù)y=a（x-/z）2+k其頂點(diǎn)坐

標(biāo)為"，k）是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?普陀區(qū)三模）己知二次函數(shù)y=（尤-2）2+%的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么加=-4.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí).

【答案】-4.

【分析】將（0,0）代入解析式求解.

【解答】解：：二次函數(shù)丫=（尤-2）2+機(jī)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

；.0=（0-2）2+m,

解得m=-4,

故答案為：-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系.

13.（2025?閔行區(qū)三模）如果拋物線y=a,+Zzx+c（其中°、b、c是常數(shù)，且aWO）在對(duì)稱軸左側(cè)的部分

是下降的，那么?！?.（填或“＞”）

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】＞.

【分析】由拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的可得出拋物線開口向下，進(jìn)而即可得出此題得

解.

【解答】解：：拋物線y=ax2+bx+c在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的，

...拋物線開口向上，

故答案為：＞.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2024秋?青縣期末）如圖，以的速度將小球沿與水平地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行

路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：加）與飛行時(shí)間r（單位：s）

之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t-5t1.

（1）小球飛行的最大高度是20米；

（2）小球在高于15米（包括15米）的空中保持了2秒.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【答案】20,2.

【分析】（1）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；

（2）把力=15代入函數(shù)關(guān)系式可得方程尸-4/+3=0,解方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）,：h=20t-5t2=-5（r-4r）=-5（r-2）2+20,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,20）,

，小球飛行的最大高度是20米；

故答案為：20；

（2）當(dāng)/i=15時(shí)，20r-5?=15,

整理得產(chǎn)-4f+3=0,

解得九=1,加=3,

3-1=2（秒），

...小球在高于15米（包括15米）的空中保持了2秒.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.（2024秋?邯鄲期末）如圖，y=a）r+bx+c（aWO）的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程af+bx+c

=0的另一個(gè)解為x=-1.

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【答案】x=-1.

【分析】二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解，據(jù)此利用對(duì)稱性求出二次函數(shù)與

x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到答案.

【解答】解：；二次函數(shù)＞=。/+云+。（。#0）圖象的對(duì)稱軸為直線x=l且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,

0）,

...二次函數(shù)與無(wú)軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,

關(guān)于x的方程cve+bx+c—G的另一個(gè)解為x=-1,

故答案為：X=-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?黃島區(qū)校級(jí)三模）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，

則游戲成功.彈力球著地前后的運(yùn)動(dòng)路徑可近似看成形狀相同的兩條拋物線.在如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系xOy中，x（單位：m）是彈力球距拋出點(diǎn)的水平距離，y（單位；〃z）是彈力球距地面的高度.甲

站在原點(diǎn)處，從離地面L"的點(diǎn)A處拋出彈力球，彈力球在點(diǎn)B處著地后彈起.已知彈力球第一次著地

前拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x-2）2+1.8.

（1）求a的值及OB的長(zhǎng).

（2）若彈力球在點(diǎn)2處著地后彈起的最大高度比著地前拋物線的最大高度低

①求彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的函數(shù)解析式.

②如圖，如果在地面上擺放一個(gè)底面半徑為02”，高0.6根的圓柱形筐，此時(shí)筐的最左端與原點(diǎn)的水平

距離為所.若要使得游戲成功，則d的取值范圍是7.6<d<8.4.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】⑴a=-1,。2=5米；

（2）①y——5（%—7/+耳；②7.6<d<8.4.

【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式，即可求出。的值；

（2）①由（1）可得彈力球第一次著地前拋物線的解析式，再令y=0,解方程求出尤的值，即可得出

點(diǎn)8坐標(biāo)，再根據(jù)條拋物線形狀相同，且彈力球在2處著地后彈起的最大高度為著地前拋物線最大高

度的一半以及點(diǎn)8坐標(biāo)，即可求出彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的表達(dá)式；②/把y=0.6

代入V=-1（%-7）2+1,解方程求出x的值與框的位置比較即可?

【解答】解：（1）:點(diǎn)A（0,1）是拋物線的起點(diǎn),

：.l=aX(0-2)2+1.8,

解得a=

則、=—久久一2)2+1.8,

1

當(dāng)y=0時(shí)，一耳(％—2)2+1.8=0,

解得X1=5,X2=-1<0(不合，舍去)，

???點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為5；

：.OB=5；

(2)①由(1)知，點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為5；

由條件可知1.8-1=0.8,

設(shè)彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線解析式為y=-1(x-h)2+1,

將點(diǎn)B(5,0)代入該解析式，得0=—95—/1)2+言，

解得力1=3,%2=7,

V/zi=3<5,

，力1=3不合,舍去,

:.h=7,

4

彈力球第一次著地后的彈起降落形成拋物線解析式為y=-1(x-7)2+-

5

14

2

-+-=o

②令①中y=0.55

解得％3=9,X4=5,

VX4=5<7,

：.X4=5不合，舍去，

???彈力球第二次落地點(diǎn)距離原點(diǎn)9米，

14

當(dāng)y=0.6代入y=一耳(%—7產(chǎn)+引

14

得0.6=一耳(d—7)+引

解得％=6或工=8,

,.,5VxV7時(shí)，y隨x的增大而增大，7Vx<9時(shí)，y隨x的增大而減小,

由題意可知d<8<d+0.4,

解得：7.6<x<8.4

要使得游戲成功，則d的取值范圍是7.6<d<8.4.

故答案為：7.6<d<8.4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，二次

函數(shù)與一元二次方程，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式是解題的關(guān)鍵.

17.(2025?武漢模擬)我們常見(jiàn)的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過(guò)鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組

合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”，鍋口直徑為6力w,鍋深3dm,鍋蓋高1力"(鍋口直徑與鍋蓋

直徑視為相同)，建立直角坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為G,把鍋蓋縱斷面的拋物

線記為C2.

實(shí)物圖

圖①

(1)求Ci和C2的解析式;

(2)如果炒菜時(shí)鍋的水位高度是1dm,求此時(shí)水面的直徑(結(jié)果保留根號(hào))；

(3)如果將一個(gè)底面直徑為2力〃，高度為3.6d機(jī)的圓柱形器皿豎直放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正

常蓋上？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力.

2

【答案】⑴Cr：y=-3(-3<x<3),C2：y--^x+1(-3<x<3)；

(2)2V3dm；

(3)鍋蓋不能正常蓋上，理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)已知A、B、C、。四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式；

(2)炒菜鍋里的水位高度為1而7,即y=-2,列方程求得x的值即可得答案；

(3)底面直徑為2%小高度為3.6d機(jī)圓柱形器皿能否放入鍋內(nèi)，需判斷當(dāng)尤=1時(shí)，Ci、C2中的y值

的差與3.6比較大小，從而可得答案.

【解答】解：(1)拋物線過(guò)點(diǎn)A(-3,0)、B(3,0),

設(shè)Ci、C2的解析式為：y=ai(x-3)(x+3),y—ai(x-3)(x+3)；

拋物線。還經(jīng)過(guò)。(0,-3),

貝府-3=m(0-3)(0+3),

??a1=N，

2

C1：y=^x—3(-3<x<3)；

拋物線C2還經(jīng)過(guò)C(0,1),

則有：1=42(0-3)(0+3),

(2.2=—Q?

2

C2：y=-Q%+1(-3<%<3)；

1

(2)當(dāng)炒菜鍋里的水位高度為1dm時(shí)，y=-2,即5/Q-3=-2,

x=+V3,

，此時(shí)水面的直徑為2百dm；

(3)鍋蓋不能正常蓋上，

18

2

y--X13---

當(dāng)x=l時(shí)，拋物線G：33

2

C2：y=-QX1+1=

.8882432

而一一(―一)=一十二3.5<3.6,

913，999

???鍋蓋不能正常蓋上.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出二次函數(shù)解析式.

18.(2025春?玄武區(qū)校級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為

整點(diǎn).設(shè)函數(shù)y=(4a+2)/+(9-6a)尤-4a+4(實(shí)數(shù)。為常數(shù))的圖象為圖象T.

(1)求證：無(wú)論。取什么實(shí)數(shù)，圖象T與x軸總有公共點(diǎn)；

(2)是否存在整數(shù)a,使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【答案】a=-2或a=-1或a=0或a=l.

【分析】當(dāng)a=-±時(shí)，原函數(shù)與一次函數(shù)，求出y=0時(shí)，x的值，再判斷即可；當(dāng)aw—寺時(shí)，原函數(shù)

1A4a—4

為二次函數(shù)，求出y=0時(shí)，x=—或或比=2-高，則當(dāng)2“+1是6的因數(shù)時(shí)，蘢期是整數(shù)，據(jù)此求

解即可.

【解答】解：當(dāng)。=—拊，函數(shù)表達(dá)式為y=12x+6,令y=0,得尤=―奈不符合題意,

當(dāng)a力時(shí)，在y=(4a+2)/+(9-6a)尤-4a+4中，令y=0,得0=(4。+2)/+(9-6a)x-4a+4,

解得x=-*或x=2a+l'

磊=2-高,“是整數(shù),

4a—4

當(dāng)人是6的因數(shù)時(shí)，罰是整數(shù),

2a+l=-6或2〃+1=-3或2。+1=-2或2〃+1=-1或2〃+1=1或2。+1=2或2〃+1=3或2〃+1=6,

解得a=-＜或a=-2或a=-稱或a=-1或a=0或a=|?或〃=1或a=

..?。是整數(shù),

??CI-2或a—-1或〃=0或a=l.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握以上性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

19.（2024秋?息縣期末）某班級(jí)在一次課外活動(dòng)中設(shè)計(jì)了一個(gè)彈珠投箱子的游戲（長(zhǎng)方體無(wú)蓋箱子放在水

平地面上）.同學(xué)們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（%軸

經(jīng)過(guò)箱子底面中心，并與其一組對(duì)邊平行，矩形。EFG為箱子的截面示意圖），某同學(xué)將彈珠從A（1,

0）處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線L；y=a/+6x+^（單位長(zhǎng)度為l〃z）的一部分，且當(dāng)彈珠的高

3

度為5m時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)位置的水平距離為2m.已知OE=1根，EF=0.6m,DA=4Jm.

（1）求拋物線乙的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該同學(xué)拋出的彈珠能否投入箱子.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【答案】(1)y=—一%+矛(-1,2)；

(2)能投入箱子，理由見(jiàn)解析.

【分析】⑴把點(diǎn)A(1,0),(-2,3)代入L；y=a/+6x+4,再把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，可

得點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；

111

(2)根據(jù)題意求出點(diǎn)E(-2.7,0),F(—2.7,1),G(-3.7,分，再由當(dāng)y=押，可得與=一舊一1,

%2=V3-1,即可判斷球的落點(diǎn).

【解答】解：(1)由拋物線L；y=a/+。乂+1可知，當(dāng)彳=0時(shí)，y=,，

又當(dāng)彈珠的高度為5血時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)位置的水平距離為2處由圖可知另一點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1),

(3

DDd++7T—0

把點(diǎn)A(1,0),(—2,5)代入y=a%?+b%+5得：,22，

4a-26+5=5

解得：fa=-l

[b=-1

拋物線L的解析式為y=—#—%+9,

Vy=—2—%+2=—2(%2+2%+1—1)+2=—(x+l)2+2,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)；

(2)VA(1,0),

.u.0A=lm,

???￡H=4.7m,

：.DO=3Jm,即點(diǎn)。(-3.7,0),

1

VDE=\m,EF=《Tn,

OE=2Jm,

ii

.,.點(diǎn)E(—2.7,0),尸(一2.7,2),G(—3.7,力，

當(dāng)y=2時(shí)，_2，_尤+2=2，

=

解得：xt=—V3-1,%2V3-1,

V-3.7<-V3-K-2.7,

該同學(xué)拋出的彈珠能投入箱子；

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.(2024秋?安次區(qū)期末)己知二次函數(shù)y=-W+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,4)和N(2,3).

(1)求此二次函數(shù)的解析式.

(2)求此二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(3)求此二次函數(shù)與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求二次函

數(shù)解析式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【答案】(1)y=-x?+2x+3；

(2)對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)；

(3)與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)和(3,0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而利用函數(shù)性質(zhì)求解即可；

(3)分別將x=0、y=0代入函數(shù)解析式中求解即可.

【解答】解：(1):二次函數(shù)y=-：+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,4)和N(2,3),

???｛一上笊：=4解得尸：，

1—4+2b+c=39=3

...此二次函數(shù)的解析式為y=-/+2x+3；

(2)y=-f+2x+3=-(x-1)2+4,

此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)；

(3)當(dāng)尤=0時(shí)，y=3,

當(dāng)y=0時(shí)，由0=-/+2芯+3得xi=-1,彳2=3,

此二次函數(shù)與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)和(3,0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確求得二次函數(shù)的解析式是解

答的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=廬-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程a^+bx+c—Q(aWO)的根與△=/?2-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△>?時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△<?時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.

2.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：尤1,無(wú)2是方程/+px+q=O的兩根時(shí)，xi+x2=-p,x\xi=q,反過(guò)

來(lái)可得p=-(X1+X2),q=xix2,前者是己知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系

數(shù).

(2)若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：xi,尤2是一元二次方程辦(aWO)的兩根時(shí)，xi+x2=

—-,X1X2=反過(guò)來(lái)也成立，即—=—(X1+X2),—=X1X2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：

①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根.②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知

數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，X/+X22等等.④判斷兩根的符號(hào).⑤求作新方程.⑥由給出

的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考

慮aNO,△》()這兩個(gè)前提條件.

3.一次函數(shù)的圖象

(1)一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(0,b\0)或(1,k+b)作直線產(chǎn)fcc+b.

注意：①使用兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點(diǎn)，而要根據(jù)具體情況，所選取的點(diǎn)的橫、

縱坐標(biāo)盡量取整數(shù)，以便于描點(diǎn)準(zhǔn)確.②一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線(正比例函數(shù)是過(guò)

原點(diǎn)的直線)，但直線不一定是一次函數(shù)的圖象.如x=a,y=6分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是

一次函數(shù)的圖象.

(2)一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線y=fcc+%,可以看做由直線>="平移依個(gè)單位而得到.

當(dāng)6>0時(shí)，向上平移；6<0時(shí)，向下平移.

注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；

②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；

③兩條直線相交，其交點(diǎn)都適合這兩條直線.

4.二次函數(shù)的圖象

（1）二次函數(shù)（aWO）的圖象的畫法：

①列表：先取原點(diǎn)（0,0）,然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn).

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn).

④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取

三四個(gè)點(diǎn)即可.連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來(lái).畫拋

物線y=o?QW0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫

另一側(cè).

（2）二次函數(shù)丫=一+加什。（aWO）的圖象

二次函數(shù)丫=/+桁+。（aWO）的圖象看作由二次函數(shù)丫="2的圖象向右或向左平移|2|個(gè)單位，再向上或

2a

4QC—匕2

向下平移一I個(gè)單位得到的.

4a

5.二次函數(shù)的性質(zhì)

ch4ac—b2hc

二次函數(shù)丁=。/+灰+。（。/0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一而，一——）,對(duì)稱軸直線％=-而，二次函數(shù)yuaW+foi+c

（〃W0）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)〃>0時(shí)，拋物線尸蘇+加葉。（〃#0）的開口向上，xV—垓■時(shí)，y隨x的增大而減?。粁>—,

y隨x的增大而增大；1=-六時(shí)，y取得最小值4a：；1？,即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn).

②當(dāng)。<0時(shí)，拋物線尸小+加什。（〃#0）的開口向下，xV-*寸，y隨X的增大而增大；%>-垓~時(shí)，

乙Lv乙Cc

R4ac一匕2

y隨x的增大而減小；尤=-六時(shí)，y取得最大值一《。一，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).

③拋物線y=a/+6x+cQW0）的圖象可由拋物線尸小的圖象向右或向左平移|-右個(gè)單位，再向上或向

4QC—￡）2

下平移|「一I