20252026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期同步培優(yōu)講義【精英班課程】專題24.2比例線段知識(shí)點(diǎn)1、比例與比例線段2．成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.3.比例中項(xiàng)：若a:b=b:c，則=ac，b稱為a、c的比例中項(xiàng).線段的比例中項(xiàng)是b為正數(shù)的情況.知識(shí)點(diǎn)二．比例的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)3．分割（1）分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB分割，點(diǎn)C叫做線段AB的分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的分割點(diǎn)有兩個(gè)．（2）三角形：三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為比值．三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為比：；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為比：．（3）矩形：矩形的寬與長(zhǎng)之比確切值為．知識(shí)點(diǎn)4.比例線段的幾何應(yīng)用題型01：比例與比例線段【例1】（202425閔行區(qū)校級(jí)期中）下列給出長(zhǎng)度的四條線段中，是成比例線段的是（

）A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7【例3】（2023?青浦區(qū)一模）已知三個(gè)數(shù)1、3、4，如果再添上一個(gè)數(shù)，使它們能組成一個(gè)比例式，那么這個(gè)數(shù)可以是（）A．6 B．8 C．10 D．12題型02：比例的性質(zhì)【例4】（2024秋?浦東新區(qū)期中）已知3x＝5y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【例8】（2324九年級(jí)·山東泰安·期中）若ab=cA．a(chǎn)d=bc B．a(chǎn)C．a(chǎn)db2=題型03：根據(jù)比例的性質(zhì)求值【例14】（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）已知，求的值．【例15】（2324九年級(jí)·河南鄭州·期末）已知2ab+c=2ba+c=A．1 B．±1 C．1或?2 D．2【例16】（2324九年級(jí)·四川樂(lè)山·期末）已知a、b、c滿足a?12=b+13=題型04：比例性質(zhì)的綜合辨析【例20】（202425進(jìn)華中學(xué)九年級(jí)期中）下列結(jié)論不一定成立的是（

）題型05：比例中項(xiàng)【例21】（2023秋?黃浦區(qū)期末）4和9的比例中項(xiàng)是（）A．6 B．±6 C． D．【例23】（2024秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中項(xiàng)，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4題型06：比例尺及其應(yīng)用【例24】（2022秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在比例尺為1:5000的地圖上，如果A、B兩地的距離是10厘米，那么這兩地的實(shí)際距離是（A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米【例26】（2025·上海金山·一模）第七屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)（簡(jiǎn)稱“進(jìn)博會(huì)”）于2024年11月5日至10日在國(guó)家會(huì)展中心（上海）隆重舉辦．以“新時(shí)代、共享未來(lái)”為主題，是世界上首個(gè)以進(jìn)口為主題的國(guó)家級(jí)博覽會(huì)．小海在地圖上（如圖1）測(cè)量他家與國(guó)家會(huì)展中心（上海）的距離為厘米，那么請(qǐng)幫小海計(jì)算出他家與國(guó)家會(huì)展中心（上海）的實(shí)際距離為千米．題型07：比例線段的幾何應(yīng)用題型08：由分割求值【例31】（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知點(diǎn)P、點(diǎn)Q是線段AB的兩個(gè)分割點(diǎn)，且AB＝10，那么PQ的長(zhǎng)為（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）【例32】（2324九年級(jí)·河北保定·期末）如圖，已知點(diǎn)C，D都是線段AB的分割點(diǎn)，如果CD=4，那么AB的長(zhǎng)度是（）A．25?2 B．6?25 C．8+4題型09：分割的綜合應(yīng)用【例34】（2022秋·上海松江·九年級(jí)?？计谥校┮阎c(diǎn)C是線段上的一個(gè)點(diǎn)，且是和的比例中項(xiàng)，則下列式子成立的是（）【例35】（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知P是線段AB的分割點(diǎn)，且AP＞BP，那么的值為（）A． B． C． D．【例36】（2023春·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB的分割點(diǎn)，且AC<BC，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．BCAB≈0.618 C．BC2=AB?AC【例37】（2019秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，線段AB＝2，BD⊥AB于點(diǎn)B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求證：點(diǎn)C是線段AB的分割點(diǎn)．【例38】（2324九年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）鸚鵡螺是一類古老的軟體動(dòng)物．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的分割點(diǎn)（AP>BP），若線段AB的長(zhǎng)為10cm，則BP的長(zhǎng)為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）

【例39】（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，在如圖所示的正五角星中，以A、B、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，其余各點(diǎn)都是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列4個(gè)結(jié)論：①∠A=36°，②PB=5?12PE，③請(qǐng)?zhí)顚懩阏J(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)：．題型10：綜合提升【例40】（2023春·重慶大渡口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）材料：思考的同學(xué)小斌在解決連比等式問(wèn)題：“已知正數(shù)x，y，z滿足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x?y?z的值”時(shí)，采用了引入?yún)?shù)法解；設(shè)y+zxy+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，將以上三個(gè)等式相加，得2x+k+z∵x，y，z都為正數(shù)，∴k=2，即y+zx∴2x?y?z=0.仔細(xì)閱讀上述材料，解決下面的問(wèn)題：（1）若正數(shù)x，y，z滿足x2y+z=y（2）已知a+ba?b=b+c2b?c=c+a3c?a一、選擇題2.（2022秋·上海青浦·九年級(jí)校考期中）已知x+y:y=5:2，那么x:y等于（

A．3:5 B．5:3 C．2:3 D．3:23.（2022秋·上海金山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在比例尺是1:200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實(shí)際距離為（

A．1.2km B．12km C．120km 5.（2023春·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若ab=cd=A．13 B．1 C．1.5 6.（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我們把寬與長(zhǎng)的比等于5?12的矩形稱為矩形．如圖，在矩形ABCD（AB<BC）的邊BC上取一點(diǎn)E，使得CE=AB，連接AE，則BEABA．22 B．5?12 C．3?填空題10．若x與2、5、6這三個(gè)數(shù)可以組成比例式，則x可能是．12.（2324九年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期末）在某市建設(shè)規(guī)劃圖上，城區(qū)南北長(zhǎng)為120cm，該市城區(qū)南北實(shí)際長(zhǎng)為36km，則該規(guī)劃圖的比例尺是12.（2023春·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┮阎猘，b，c均為非零的實(shí)數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+cb=13.（2023春·四川成都·九年級(jí)成都七中?？计谥校┮阎獃+zx=x+zy14.（2023春·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB=1，點(diǎn)C是線段AB的分割點(diǎn)AC>BC，C1是線段AC的分割點(diǎn)C1AC1>C1C15.（2324九年級(jí)·河南許昌·期末）如圖，已知線段AB=2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12AB，連接AD，在AD上截取DE=BD；在AB上截取AC=AE，則16.（2324九年級(jí)·山東青島·期末）射影中有一種拍攝手法叫分割構(gòu)圖法，其原理是：如圖，將正方形ABCD的邊BC取中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，線段OD為半徑作圓，其與邊BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABEF，若CE=4，則AB=．三、解答題17．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代數(shù)式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．18．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．18.已知：線段a、b、c，且a3（1）求a+2b3c（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．19.（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)?？计谀?）若x3=y（2）若a+23=b4=（2）若比大2，求的長(zhǎng)．21.（2324九年級(jí)·重慶大渡口·期末）材料：思考的同學(xué)小斌在解決連比等式問(wèn)題：“已知正數(shù)x，y，z滿足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x?y?z的值”時(shí)，采用了引入?yún)?shù)法解；設(shè)y+zxy+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，將以上三個(gè)等式相加，得2x+k+z∵x，y，z都為正數(shù)，∴k=2，即y+zx∴2x?y?z=0.仔細(xì)閱讀上述材料，解決下面的問(wèn)題：（1）若正數(shù)x，y，z滿足x2y+z=y（2）已知a+ba?b=b+c2b?c=c+a3c?a23.（2023春·山西太原·九年級(jí)太原五中?？茧A段練習(xí)）【新概念定義】若有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為“共邊三角形”．如圖（1）△ABC與△ABD是以AB為公共邊的“共邊三