2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)張偉平試卷一、選擇題（每小題5分，共60分）**已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|0<x<5,x\in\mathbb{N}})，則滿足條件(A\subseteqC\subseteqB)的集合(C)的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4解析：解方程(x^2-3x+2=0)得(A={1,2})，集合(B={1,2,3,4})。根據(jù)子集關(guān)系，(C)需包含(1,2)，且可從({3,4})中選擇元素添加，共有(2^2=4)種可能（即({1,2})、({1,2,3})、({1,2,4})、({1,2,3,4})）。答案：D**函數(shù)(y=\log_2(x^2-1))的定義域?yàn)椋ǎ〢.((-1,1))B.((-1,+\infty))C.((1,+\infty))D.((-\infty,-1)\cup(1,+\infty))解析：對數(shù)函數(shù)的真數(shù)需大于0，即(x^2-1>0)，解得(x<-1)或(x>1)。答案：D**已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan\alpha)的值為（）A.(\frac{3}{4})B.(-\frac{3}{4})C.(\frac{4}{3})D.(-\frac{4}{3})解析：由(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)得(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5})（(\alpha)在第二象限，余弦值為負(fù)），則(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4})。答案：B**若向量(\overrightarrow{a}=(1,2))，(\overrightarrow=(x,-4))，且(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow)，則(x)的值為（）A.2B.-2C.8D.-8解析：向量平行的充要條件是對應(yīng)坐標(biāo)成比例，即(\frac{1}{x}=\frac{2}{-4})，解得(x=-2)。答案：B**等差數(shù)列({a_n})中，(a_1+a_5=10)，(a_4=7)，則數(shù)列({a_n})的公差為（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差數(shù)列性質(zhì)(a_1+a_5=2a_3=10)，得(a_3=5)，則公差(d=a_4-a_3=7-5=2)。答案：B**已知直線(l_1:ax+3y-1=0)與直線(l_2:2x+(a-1)y+1=0)平行，則實(shí)數(shù)(a)的值為（）A.3B.-2C.3或-2D.不存在解析：兩直線平行則斜率相等且截距不等，即(\frac{-a}{3}=\frac{-2}{a-1})，解得(a=3)或(a=-2)。當(dāng)(a=-2)時，兩直線重合（均為(2x-3y+1=0)），故(a=3)。答案：A**圓(x^2+y^2-4x+6y=0)的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.((2,-3))，(\sqrt{13})B.((-2,3))，(\sqrt{13})C.((2,-3))，13D.((-2,3))，13解析：配方得((x-2)^2+(y+3)^2=13)，圓心為((2,-3))，半徑(r=\sqrt{13})。答案：A**若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的漸近線方程為(y=\pm\frac{3}{4}x)，則雙曲線的離心率為（）A.(\frac{5}{4})B.(\frac{5}{3})C.(\frac{4}{3})D.(\frac{\sqrt{7}}{4})解析：漸近線斜率(\frac{a}=\frac{3}{4})，離心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{a})^2}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4})。答案：A**函數(shù)(f(x)=x^3-6x^2+9x)的極值點(diǎn)個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3解析：求導(dǎo)得(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3))，令(f'(x)=0)得(x=1)或(x=3)。當(dāng)(x<1)時(f'(x)>0)，(1<x<3)時(f'(x)<0)，(x>3)時(f'(x)>0)，故(x=1)（極大值點(diǎn)）和(x=3)（極小值點(diǎn)）為極值點(diǎn)，共2個。答案：C**已知(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，當(dāng)(x\geq0)時，(f(x)=2^x+m)（(m)為常數(shù)），則(f(-\log_23))的值為（）A.-1B.1C.-2D.2解析：奇函數(shù)滿足(f(0)=0)，即(2^0+m=0)，得(m=-1)。當(dāng)(x\geq0)時，(f(x)=2^x-1)，則(f(\log_23)=2^{\log_23}-1=3-1=2)，故(f(-\log_23)=-f(\log_23)=-2)。答案：C**在(\triangleABC)中，(\angleA=45^\circ)，(\angleB=60^\circ)，(BC=2)，則(AC)的長為（）A.(\sqrt{6})B.(\sqrt{3})C.(\frac{\sqrt{6}}{2})D.(\frac{\sqrt{3}}{2})解析：由正弦定理(\frac{AC}{\sinB}=\frac{BC}{\sinA})，得(AC=\frac{BC\cdot\sinB}{\sinA}=\frac{2\cdot\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=\frac{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6})。答案：A**函數(shù)(f(x)=2x^3-3x^2+4)在區(qū)間([-1,2])上的最大值為（）A.4B.6C.8D.10解析：求導(dǎo)得(f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1))，極值點(diǎn)為(x=0)（極大值(f(0)=4)）和(x=1)（極小值(f(1)=3)）。端點(diǎn)值(f(-1)=-2-3+4=-1)，(f(2)=16-12+4=8)，故最大值為8。答案：C二、填空題（每小題5分，共20分）**等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，公比(q=3)，則前4項(xiàng)和(S_4=)________。解析：(S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1})，代入得(S_4=2\times\frac{3^4-1}{3-1}=2\times\frac{81-1}{2}=80)。答案：80**函數(shù)(y=\log_2(x^2-4x+5))的最小值為________。解析：令(t=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\geq1)，則(y=\log_2t\geq\log_21=0)，當(dāng)(x=2)時取最小值0。答案：0**在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(P(3,4))關(guān)于直線(y=x)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為________。解析：關(guān)于直線(y=x)對稱的點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)互換，即((4,3))。答案：(4,3)**若二項(xiàng)式((x+\frac{2}{x})^n)的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)為240，則(n=)________。解析：第3項(xiàng)為(T_3=C_n^2x^{n-2}(\frac{2}{x})^2=4C_n^2x^{n-4})，系數(shù)(4C_n^2=240)，即(C_n^2=60)，解得(n(n-1)=120)，(n=11)（(n=-10)舍去）。答案：11三、解答題（共70分）17.（10分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-4x+3)。（1）求(f(x))的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求(f(x))在區(qū)間([0,3])上的最大值和最小值。解析：（1）配方得(f(x)=(x-2)^2-1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為((2,-1))。（2）函數(shù)開口向上，對稱軸為(x=2)。在區(qū)間([0,3])上，(f(0)=3)，(f(2)=-1)，(f(3)=0)，故最大值為3，最小值為-1。18.（12分）已知等差數(shù)列({a_n})的首項(xiàng)(a_1=2)，公差(d=3)，等比數(shù)列({b_n})的首項(xiàng)(b_1=4)，公比(q=2)。（1）求數(shù)列({a_n})的第10項(xiàng)和前10項(xiàng)和；（2）求數(shù)列({b_n})的第6項(xiàng)，并判斷(b_6)是否為({a_n})中的項(xiàng)。解析：（1）(a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1)，第10項(xiàng)(a_{10}=3\times10-1=29)；前10項(xiàng)和(S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=5\times(2+29)=155)。（2）(b_n=b_1q^{n-1}=4\times2^{n-1}=2^{n+1})，第6項(xiàng)(b_6=2^{7}=128)。令(3n-1=128)，解得(n=43)，故(b_6)是({a_n})的第43項(xiàng)。19.（12分）在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，已知(a=3)，(b=4)，(\cosC=-\frac{1}{4})。（1）求邊(c)的長；（2）求(\sinA)的值。解析：（1）由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=9+16-2\times3\times4\times(-\frac{1}{4})=25+6=31)，故(c=\sqrt{31})。（2）由(\cosC=-\frac{1}{4})得(\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}=\frac{\sqrt{15}}{4})。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC})，得(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{3\times\frac{\sqrt{15}}{4}}{\sqrt{31}}=\frac{3\sqrt{465}}{124})。20.（12分）已知圓(C)的方程為(x^2+y^2-2x+4y-4=0)，直線(l)過點(diǎn)((2,0))且與圓(C)相交于(A)，(B)兩點(diǎn)。（1）求圓(C)的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）若直線(l)的斜率為1，求弦(AB)的長。解析：（1）配方得((x-1)^2+(y+2)^2=9)，圓心(C(1,-2))，半徑(r=3)。（2）直線(l)的方程為(y=x-2)，即(x-y-2=0)。圓心到直線的距離(d=\frac{|1-(-2)-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}})，則弦長(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{9-\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{17}{2}}=\sqrt{34})。21.（12分）已知函數(shù)(f(x)=2x^3-3x^2+4)。（1）求(f(x))的導(dǎo)數(shù)(f'(x))；（2）求(f(x))的極值點(diǎn)和極值。解析：（1）(f'(x)=6x^2-6x)。（2）令(f'(x)=0)，解得(x=0)或(x=1)。當(dāng)(x<0)時(f'(x)>0)，(0<x<1)時(f'(x)<0)，(x>1)時(f'(x)>0)，故(x=0)為極大值點(diǎn)，極大值(f(0)=4)；(x=1)為極小值點(diǎn)，極小值(f(1)=3)。22.（12分）已知橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求橢圓的長軸長和短軸長。解析：（1）離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2