§8.6雙曲線

【考試要求】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2通過(guò)圓

錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

主干梳理基礎(chǔ)落實(shí)__________

知識(shí)梳理

1.雙曲線的定義

(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Q,B的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于IBBI)的點(diǎn)的軌跡.

(2)符號(hào)表示:|明印一附同|=2〃(常數(shù))(0<20<|尸1尸2|).

(3)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)E,B.

(4)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離,表示為IBF4

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1_*=l(a>0,b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程^一$=1(4>0,/?>())

w

圖形聿

焦點(diǎn)尸|(一C,0),尸2(C,0)產(chǎn)i(0,—c),F?(0,c)

焦距尸［&l=2c

范圍xW一4或，y￡RyW一〃或)，2a,x￡R

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)41(一40),。2(&0)4(0,—a),4(O,a)

性質(zhì)

實(shí)軸：線段&及，長(zhǎng)：％;虛軸：線段小長(zhǎng)：2b,

軸

實(shí)半軸長(zhǎng)：a,虛半軸長(zhǎng)：b

離心率e=；三(1,+8)

漸近線產(chǎn)備產(chǎn)導(dǎo)

a,b,c的關(guān)系(r=(r-\-b1(c>?>0?c>b>0)

【微思考】

1.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)后，尸2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎？

為什么？

提示不一定.當(dāng)2〃=|F|F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線;

當(dāng)2a＞|FiBI時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在：

當(dāng)2〃=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段月匕的中垂線.

~V2

2.已知雙曲線方程為5一方=13＞。，方＞0），如何求其他具有共同漸近線的雙曲線方程?

j22

提示可設(shè)方程為5一方="掙0）.

/基礎(chǔ)自測(cè)

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正瓏（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

⑴方程\一3=

1（〃心0）表示焦點(diǎn)在“軸上的雙曲線.X)

22

（2）雙曲線聲一〃2=，/〃＞0，〃＞0，2W0）的漸近線方程是廣弋=。，（?）

（3）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于表.（V）

（4）若雙曲線今一方=1（。＞0,加＞0）與東一］=1（〃＞（）,加＞0）的離心率分別是e\＞/，則卜+2=

1.(J)

題組二教材改編

2.若雙曲線,一方=1（曲＞0,/?0）的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率

為（）

A.小B.5C.V2D.2

答案A

解析由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，雙曲線的漸近線方程為溢=0,Wbx±ay

=0,

，2（1=丁?’,=〃.又病+名二下,5a2=（r.

yja~+b-

2

.??/=3=5,；.e=鄧.

3.（2021?阜陽(yáng)模擬）已知雙曲線，一:=1（。＞0,〃＞0）的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（隹佝，則該雙

曲線的離心率為（）

A.2B4C.3D.小

答案A

解析雙曲線營(yíng)一￡=1（*0,比＞0）的一條漸近線為y=3過(guò)第一象限，所以點(diǎn)（小，水）在漸

近線上，可得加=0X，，所以、=小，

所以e=a=\[^=y!1+（92=VT+3=2-

4.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4,l）,且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為.

X2V2

答案75-75=1

解析設(shè)雙曲線的方程為5一'=±1（〃、。），

把點(diǎn)44,1）代入，得序=15（舍負(fù)），

故所求方程為f1Y=L

題組三易錯(cuò)自糾

5.（多選）（2020?遼寧六校協(xié)作體月考）若方程己+三所表示的曲線為C,則下面四個(gè)命

題中錯(cuò)誤的是（）

A.若。為橢圓，則1</<3

B.若。為雙曲線，則>3或f<1

C,曲線?？赡苁菆A

D.若。為橢圓，且長(zhǎng)軸在y軸上，則1</<2

答案AD

解析若>3,則方程可變形為吾一出=1,它表示焦點(diǎn)在），軸上的雙曲線；若，<1,則方

22

程可變形為含X一吉V=1,它表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線；

r2v2

若2y<3,則0<3—/<1-1,故方程有+占=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；若則Ou

-l<3-r,故方程盧;+7r7=1表示焦點(diǎn)在上軸上的橢圓；

t—1

若f=2,則方程廣+產(chǎn)7=1即為f+）2=l,它表示圓，綜上，選AD.

6.（2020?哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)臉中學(xué)模擬）雙曲線5一器=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)Q（—5,0）的距

離為7,則點(diǎn)夕到焦點(diǎn)B（5,0）的距離為.

答案13

92

解析在雙曲線百■一氣=1中，4=3,由題意得|PF||=7,

由雙曲線的定義可得||PQ|-|PBI|=2a=6,

即|7一|PBII=6,

,:PFVPF2=0,/.PFI±PF2,

，在△QPB中，有|PFIF+|PBF=|FE|2,

即|PB『+|P尸2|2=16,.?.|PFI|.|PF2|=4,

：?S&RPF,=^|PF1|.|PF2|=2.

思維升華在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合IIPFiLIP后||=2a,運(yùn)用

平方的方法，建立與|尸川?|PBI的聯(lián)系.

2

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2020?廣東普寧華僑中學(xué)模擬)過(guò)雙曲線/一亍=1的左焦點(diǎn)人作一條直線/交

雙曲線左支于P,Q兩點(diǎn),若伊。|=10,B是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PB。的周長(zhǎng)是.

答案24

解析由題意，得|PB|—|PFi|=2,IQF2I-IQFil=2.

???|PQ|+|QH|=|PQ|=10,

，「尸2I+I。尸2|—10=4,???|P尸2|+|。尸2|=14.

:.△PF2Q的周長(zhǎng)是|PBI+IQBI+1尸QI=14+10=24.

⑵已知圓G：。+3)2+9=1和圓G：J—3)2+)，2=9,動(dòng)圓“同時(shí)與圓G及圓C2相外切,

則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.

答案A2-'

解析如圖所示，設(shè)動(dòng)圓.M與圓G及圓。2分別外切于A和8.

根據(jù)兩圓外切的條件,

得|MC|-|AG|=|MA|,

|MC21TBe2|=|M3|,

因?yàn)閨M川=|“用,

所以|MG|一|4G|=|MC21TBed，

即IMCR-|MGI="C2I—|AGI=2,

所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)Q,Ci的距離的差是常數(shù)且小于|GC2|=6.

又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與G的距離小),

其中a=l,c=3,則/=8.

故點(diǎn)M的軌跡方程為f一?=l(xW—1).

O

,題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程自主演練

1.（多選）已知雙曲線的漸近線方程為,，=與，實(shí)軸長(zhǎng)為4,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

C-4-；8=1D抬=1

答案AB

解析設(shè)雙曲線方程為點(diǎn);一著=1（mWO）,

又2a=4,：?H=4,

當(dāng)〃?>0時(shí)，2〃?=4,"?=2；

當(dāng)〃?<0時(shí)，一加=4,in=—4.

故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

2.過(guò)雙曲線C：，一方=的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若

以C的右焦點(diǎn)尸為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)4,。兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)

方程為（）

,9

.三Vl_,B.5g=1

D"

答案A

解析因?yàn)闈u近線與直線交于點(diǎn)A（a,b）yc=4且，（4一「產(chǎn)+廿=%解得『=4,

力2=12,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為會(huì)一言=1.

3.已知雙曲線E與雙曲線苧一號(hào)=1共漸近線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,3?。瑒t雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

2,

答案卷一益=1（。，6），（0，-6）

解析根據(jù)題意，設(shè)所求雙曲線的方程為，一號(hào)=3#0）,又由雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)打2,3?。?，得（

一群九即4一4,所以雙曲線的方程為3—*=-4,其標(biāo)準(zhǔn)方程為第一差=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)

為（06）,（0,-6）.

r2v2l

4.已知雙曲線系一方=1（心0,b、0）的左、右焦點(diǎn)分別為B，F(xiàn)2,點(diǎn)尸（2,班）在雙曲線上，

且IPFil，IF1F2I，I尸Bl成等差數(shù)列，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案『一)2=1

解析V|PFi|,|F|F2|,伊冏成等差數(shù)列,

???|PFI|+|PF2|=4C.

???點(diǎn)。位于第一象限，??.|PQ|—|PBI=2a,

，|PB|=2c+a,\PF2\=2c-a,

??.cos〃后尸產(chǎn)生出紜誓半1^=戶，又點(diǎn)尸(2,9)在雙曲線上，

4c(2c—。)2c—a

**?sin,?*Q一〃>+：\?=1,化簡(jiǎn)得(c—2a)2+3=(2c—a)?,即c2—a2

NCciaJCl)

43

=b2=1,又六一系=1,，『=i,，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f—.Fn.

思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，由雙由線定義，確定2a25或2g從而求

出排，p,寫出雙曲線方程.

(2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在X軸上還是)，軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定標(biāo)，戶的值，

72

即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為5—，=/1(/1=0),再

根據(jù)條件求人的值.

e題型三雙曲線的幾何性質(zhì)多維探究

命題點(diǎn)1漸近線和離心率

例2(1)(2020?廣州模擬)設(shè)例尸2是雙曲線&=go,比>0)的左、右焦點(diǎn),P是雙曲

線C右支上一點(diǎn)，若|PQ|+WBI=4a,且NQPP2=60。，則雙曲線C的漸近線方程是()

A.，lr±y=0B.2H幣y=0

C.y{3x±2y=0D.2x±43y=()

答案C

解析VFi,B是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，，由雙曲線的定義可得|PQ|

-\PF2\=2af又知|PQ|+|P6|=4f,???|PFi|=3a,仍尸2|=。.在^P尸匹中,由余弦定理的推論

一內(nèi)|PFI|2+|PF2|2-|FIF2|2(3o)2+a2-4r,,，口門，，

A3a=

可得cos600=------2\PF}\-\PFI\-------，即5=2X3aXa，即4廠=7。~，

又知/+〃2=3??。4???雙曲線C的漸近線方程為尸白殳，即小壯2y=0,故選C.

2

(2)(2019?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，若雙曲線/一本=130)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則該雙曲線

的漸近線方程是.

答案y=±Vlv

解析因?yàn)殡p曲線/一方=1(比>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),

所以9—番=1,得〃=隹

所以該雙曲線的漸近線方程是y=±V1r.

⑶設(shè)雙曲線C：，如1320)的兩條漸近線的夾角為a,且cos則。的離心率為

答案坐

解析???e/?0,???漸近線)，=%的斜率小于1,

???兩條漸近線的夾角為a,cosa=J.

J

.2「ala1

..cos2=y>sin工=g,tan72=2>

2

.b_\_.(r-cr1.2_3.—亞

??〃2-2，??.2-2，?-2，??e-?

命題點(diǎn)2雙曲線的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3(1)(2020?長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)已知雙曲線，一m=1(〃>0,〃>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Q,尸2,

在雙曲線上存在點(diǎn)。滿足2|而d碓陣|反肉，則此雙曲級(jí)的離心率。的取值范圍是()

A.(I,2JB.[2,4-oo)

C.(I,@D.樞4-co)

答案B

解析當(dāng)「不是雙曲線與X軸的交點(diǎn)時(shí)，連接0P,因?yàn)?P為尸2的邊上的中線，

所以歷戶六+兩)；當(dāng)。是雙曲線與工軸的交點(diǎn)時(shí)，同樣滿足上述等式.因?yàn)殡p曲線上

存在點(diǎn)尸滿足2|丙十際2|W|萬(wàn)益所以4|日)|W2c,由|歷|?a,可知WW2c,則e>2,選B.

y2

(2)(2020?濰坊模擬)己知Fi，尸2是雙曲線，一方=13>0,〃>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)Fi的直線I

與雙曲線的左支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)4,若依川=2小NBA22=T，則等于()

$△.明

A.1B.TC.zD.T

2JJ

答案B

解析如圖所示，由雙曲淺定義可知|AB|一|4Fil=2a

又|人臼|=%,所以|4&|=4〃.

=%尸1HAF2卜sinZF\AF2=9X2?XX2y[3a2.

所以$4Ag

由雙曲線定義可知|BFi|-|BF2|=2a,

所以|BB|=2a+|8尸2I，又知|8Fi|=2a+|84|,

2

所以|84|=|8尸2I，又/?小杉=?心

所以△B4&為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4〃，

所以=乎|4用2=9'（4〃）2=4#42,

所以紅皿=今第=；故選B.

S△ABF17°

思維升華（I）求雙曲線的漸近線或離心率的方法

①求出a,b,c直接求離心率，寫漸近線方程.

②列出出b,c的各次方程（或不等式），然后解方程或不等式.

（2）雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用要充分注意與平面幾何知識(shí)的球系，善于發(fā)現(xiàn)條件中的相等或不等

關(guān)系.

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知拋物線），2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/.若/與雙曲線\一務(wù)=13>0,加0）的

兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|A8|=4|OF|（O為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（

ASB.V3C.2D.小

答案D

由題意，可得尸（1,0）,直線/的方程為X=-1,雙曲線的漸近線方程為），=4工

解析

將x=-I代入得），=3,

所以點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均為今

22

由|A8|=4|OQ可得二=4,即Z?=2a,b=4at

故雙曲線的離心率6=。=寸嚀?=小.

(2)設(shè)雙曲線5一的=1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為E過(guò)點(diǎn)尸且平行于雙曲線的一條漸近線的直

線與雙曲線交于點(diǎn)8,則的面積為.

答案B

解析。2=9,從=16,故c=5.

4

."(3,0),尸(5,0),不妨設(shè)直線8尸的方程為y=§(x-5),

代入雙曲線方程解得般，-y|).

113232

.,.SA4FB=9I^/7|-|>'BI=2X2X—=—

課時(shí)精練

幽基礎(chǔ)保分練

1.已知雙曲線'一品=1(/〃>0)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

2222

AJJR工—￡=1

A.2廠1B.4廠1

C./_《=]D.y—1

答案D

解析由題意，得2赤=5而，解得利=2,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為9一?=1.

乙O

2.已知方程一土—一—=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則〃的取值

"「十〃3nr—n

范圍是()

A.(—1,3)B.(—1?4)

C.(0,3)D.(0,5)

答案A

解析???方程苫一一丁口=1表示雙曲線，

十〃3rrr-n

(?n2+/z)-(3w2—n)>0,解得一小2<〃<3〃尸，由雙曲線性質(zhì)，知(72=(62+〃)+(3〃?2-〃)=4雨2(其

中C是半焦距)，

...焦距2c=2X2制=4,解得依|=1,

—K/z<3,故選A.

3.（2020.天津）設(shè)雙曲線C的方程為5一方=13>0,b>0）,過(guò)拋物線V=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)（0,

份的宜線為/.若C的一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，則雙曲線C的方程為（）

D./=1

答案D

解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1.0）,

卜一（\K

???直線/的斜率由=西=一/X一7解得

又■??￡?（—b）=—1,=d=1,

???雙曲線C的方程為（一產(chǎn)=1.

4.已知R,B為雙曲線Cx2一產(chǎn)=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PR|=2|P&|,則cosNF1PF2

334

B-c-D-

545

答案C

解析由丁一）2=2,知a=b=小,c=2.由雙曲線定義知，|PB|—|PB|=2a=2啦，又|PQ|

=2"|,

???山尸||=4蜴|P尸2|=2鎮(zhèn),

在△尸月尸2中，|QBI=2c=4,由余弦定理，得

/…IPQ」+IPBF-IB&F3

cosNF|P尸2-2|P*HP「2l-4-

5.（2019?全國(guó)川）已知尸是雙曲線C：，一[=1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在。上，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若

\OP\=\OF],則△。尸產(chǎn)的面積為（）

3579

A-B-c-D-

2222

答案B

解析由F是雙曲線，一,=1的一個(gè)焦點(diǎn)，

知|。網(wǎng)=3,所以|OP|=|OH=3.

不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，P（xo，卯）,A（）>0,）?>0,

“詔+）%=3,

典卜城解得

彳一§=1,

所以SAOPF=||OFl-yo=1x3X|=|.

6.（2021?山南模擬）已知A,B,C是雙曲線方一%=13>0,力>0）上的三個(gè)點(diǎn)，AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,

AC經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)尸，若8F_AC且2|AF|=|Cf],則該雙曲線的高心率是（

A-3B.乎C.fD.|

答案B

解析設(shè)左焦點(diǎn)為「'，|"H=，〃，連接，CF',BF'

則|FC|=2〃?，|4/|=2。+〃?，

因?yàn)锽/JLAC,且AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,

所以四邊形以F'8為矩形.

在RtZ\A尸C中，|AF'F+|Aq2=|尸。2,

代入得（2。+〃?）2+（3/〃）2=（2。+2m）\

化簡(jiǎn)得加=與,

所以在RtAAF'尸中，|AF'F+HQ2=|F'砰，

代入得Q+韻+圖2=（2C）2,

化簡(jiǎn)得§=￥，即6=^

7.（多選）（2020?新高考全國(guó)I）已知曲線C："謂+”2=].（）

A.若則C是橢圓，其焦點(diǎn)在），軸上

B.若加=〃>0,則C是圓，其半徑為由

C.若小〃<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為丫=6艮x

D.若機(jī)=0,〃>0,則C是兩條直線

答案ACD

解析對(duì)于A,當(dāng)心〃>0時(shí)，有為%。，方程化為十+千=1,表示焦點(diǎn)在），軸上的橢圓，故

mn

A正確.

對(duì)于B,當(dāng)〃?=〃>0時(shí)，方程化為/+），=1,表示半徑為的圓，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,當(dāng)心0,〃<0時(shí)，方程化為:一七=1,表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，其中

mn

b=yp-^,漸近線方程為y=±yj—^x；當(dāng)陽(yáng)v0,心0時(shí)，方程化為〒-Hp=l,表示焦點(diǎn)

nm

在），軸上的雙曲線，其中〃=,漸近線方程為），=V,故C正確.

對(duì)于D,當(dāng)〃?=0,〃>0時(shí)，方程化為y=9\l^,表示兩條平行于x軸的直線，故D正確.

8.（多選）已知H,B分別是雙曲線C：y2—f=l的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一

點(diǎn)，且以線段尸產(chǎn)2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則（）

A.雙曲線。的漸近線方程為），=也

B.以FiB為直徑的圓的方程為*+丁=1

C點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為±1

D.的面積為吸

答案ACD

解析等轉(zhuǎn)雙曲線C:的漸近線方程為）=。，故A正確;

由雙曲線的方程可知|FIB|=24L

所以以Q3為直徑的圓的方程為『十爐=2,故B錯(cuò)誤；

點(diǎn)P（xo,刃）在圓f+產(chǎn)=2上，

不妨設(shè)點(diǎn)P（M）,和）在直線y=x±,

.屆+)3=2,

所以由,解得koi=1，

.)'0=松，

則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為±1,故c正確;

由上述分析可得△PF13的面積為gx2?xi=&,故D正確.

故選ACD.

9.（2020?北京）已知雙曲線C：則。的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；C的焦點(diǎn)到其漸

近線的距離是.

答案（3.0）V3

y2

解析由,一1=1,得從=9,

解得c=3,焦點(diǎn)在x軸上,

所以雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）.

雙曲線的一條漸近線方程為y=

即x—gy=0,

3

所以焦點(diǎn)（3,0）到漸近線的距離為d=小.

[1+(-6)2

o2

10.（2021?焦作模擬）已知左、右焦點(diǎn)分別為Q,乃的雙曲線。：5—卓=1（。＞0,加＞0）的一條

漸近線與直線/：x-2y=0互相垂直，點(diǎn)。在雙曲線C上，且|PA|一上匕|=3,則雙曲線C

的焦距為.

答案3小

解析雙曲線,C：^2=1（67^0,方＞0）的漸近線為尸

一條漸近線與直線/：x—2y=0相互垂直，可得￡=2,

即b=2a,由雙曲線的定義可得2?=|PF,|-|PF2|=3,

可得。=.，b=3,即有。=4/+62=、^+9=2^,

即焦距為2c=3小.

X2V2

11.如圖，為和分別是雙曲線U一笈=133方＞0）的萩個(gè)焦點(diǎn)，A和8是以。為圓心，以

|。向?yàn)榘霃降膱A與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且ABAB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為

答案小+1

解析設(shè)尸產(chǎn)2l=2c,連接4Q（圖略）,

???△凡48是等邊三角形，且凡凡是。。的直徑,

AZAF2FI=3O°,NFI4F2=90。，

|>4FI|=C,IAF2I=y[3c,2a=y[3c—c,

,."弋=啟=小+】?

12.（2021?廣安鄰水實(shí)險(xiǎn)中學(xué)模擬）已知雙曲線C：方一方〃乂））的左、右焦點(diǎn)分別為

R,F2,。為原點(diǎn)，若以吊后為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P,且向用=#|。2|,

則C的漸近線方程為.

答案y=±yj3x

解析根據(jù)雙曲線C：衿石〃＞。）的左、右焦點(diǎn)為R,尸2,。為原點(diǎn)，以尸內(nèi)為直

徑的圓與。的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P,如圖所示,

則mO\=\OP\=c.|FiP\=\[3\OP\=y[3c,

|。砰+|。~|2—伊川2_廿+。2—（小0）2

所以在△POE中，由余弦定理可得cosNPOQ=_1

2|OP|-|OFi|=2XcXc2,

所以/。。尸1=爭(zhēng)，則/尸0尸2=?

所以tanZPOF2=tan小,

則漸近線方程為），=地工

C技能提升練

92

13.（多選）（2021?百師聯(lián)盟模擬）雙曲線C：，一方=1（而。比＞0）的焦點(diǎn)在圓O：x2+r=13±,

圓。與雙曲線。的漸近線在第一、二象限分別交于點(diǎn)M.N,點(diǎn)、E（0,0滿足由+說(shuō)+曲=

0（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）

A.雙曲線C的一條漸近線方程為3x-2y=0

B.雙曲線C的離心率為季

C.\0E\=\

D.△OMN的面積為6

答案ABD

解析如圖，設(shè)雙曲線C的焦距為2c=2灰,加%與），軸交于點(diǎn)P,由題意可知|OM=c=行,

則P（0,b）,由訪+由+的=0得點(diǎn)E為△OMN的重心，可得|O￡1=,|OP|,即〃=）「=

雙曲線。的漸近線方程為3壯2），=0,|麗=2,M的坐標(biāo)為（2,3）,SM）MN=6,

故選ABD.

r2V2

14.（2020?臨川一中模擬）已知雙曲線了一次=