高考專題突破二高考中的解三角形問(wèn)題

答題模板題型一利用正、余弦定理解三角形

例I（10分）（2020?新高考全國(guó)I）在①碇=小，②csinA=3,③人這三個(gè)條件中任選一個(gè),

補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求。的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在△A8C,它的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=，5sin-C=

7U?

不

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

規(guī)范解答

解方案一：選條件①.

由C=。和余弦定理得"一］=坐.［2分1

由sinA=y［3sinB及正弦定理得°=小氏

門3」+從一。2小

12小乂一？，［6分］

由此可得b=c.［7分］

由①次?=小，解得〃=小，力=。=1.［9分］

因此，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c=l.［10分］

方案二：選條件②.

由。蘭和余弦定理得史薩=坐

.[2分]

由sinA=-\［3s\nB及正弦定理得。=小氏

m31+/一。25

十足2小戶一2,[6分]

由此可得〃=c,A=y.[7

由②csinA=3,得c=b=2小,。=6.[9分]

因此，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)。=25.［10分］

方案三：選條件③.

TT-4--x>2R

由。蘭和余弦定理得加/」=竽［2分］

由sinA=，5sinB及正弦定理得a=y［3b.

2點(diǎn),［6分］

c,3〃+〃一c

于無(wú)2小〃

由此可得b=c.［7分］

由于③。=小兒與h=c矛盾.［9分］

因此，選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在.［10分］

答題模板

第一步：根據(jù)。及余弦定理得出“，b,C的關(guān)系；

第二步：根據(jù)條件sin4=\/^sin8得出4,。的關(guān)系，從而得出力，c的關(guān)系；

第三步：結(jié)合自然條件即可求出各邊長(zhǎng)；

第四步：下結(jié)論，判斷三角形解的情況.

［高考改編題］在①cos24—小sin4+2=0；②2氏osC=2〃-c；磅=第：；；三個(gè)條式中任

選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.

已知△A8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若，旦小沙，c成等差數(shù)列，

則△ABC是否為等邊三角形？若是，寫出證明：若不是，說(shuō)明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解選條件①.

因?yàn)閏os28=1—2sin2B,

所以2sin2b+小sin4—3=0,

即（2sinB一小）（sin￡?+?。?0,

解得sin8=一?。ㄉ崛ィ┗騭in8=坐.

因?yàn)?<B<n,所以或竽.

又因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，

所以2方=a+c,所以〃不是三角形中最大的邊,

即8=爭(zhēng)

由tr=cr-\-c2—2accosB,

得a2+c2—2ac=0,

即a=c,從而a=b=c,

故△ABC是等邊三角形.

選條件②.

由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA-sinC,

故2sinBcosC=2sin(B+C)—sinC,

整理得2cos8sinC-sinC=0.

因?yàn)?<C<H,所以sinOO,即cosB=g.

因?yàn)?<B<TC,所以B=j.

又因?yàn)椤?，瓦c成等差數(shù)列，所以2b=a+c.

由余弦定理h2=a2-\-c~—2E7CCOSB,

可得序+/—2ac=0,即a=c.

故△ABC是等邊三角形.

選條件③.

!-e/mSinBcos8+1

由正弦定理得;^7=巧.」

sinA^/3sinA

因?yàn)閟in4WO,所以由sin8—cos8=1,

即sin(fi_6)=2-

因?yàn)?<B<TI,所以一會(huì)8一會(huì)稱，

ooo

即"依，可得”爭(zhēng)

又因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，

所以2/?=a+c,

由余弦定理b2=cr+c2—2<7(COSR,

可得H+c2—2ac=0,即a=c.

故△ABC是等邊三角形.

跟蹤訓(xùn)練1(2019?全國(guó)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)這分別為a,b,c,設(shè)(sin"sinC)2

=sin%—sinBsinC.

⑴求A；

(2)若也a+/?=2c,求sinC.

解(1)由巳知得sin2/y+sin2C'—sin24=sin8smC,

故由正弦定理得b2-l-c2—cr=bc,

由余弦定理得cosA=次4

因?yàn)??！?80。,所以A=60°.

⑵由(1)知B=120°-C,

由題設(shè)及正弦定理得近sinA+sin(120。-C)=2sinC,

(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.

(2)尋找各個(gè)三角形之間的我系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.

跟蹤訓(xùn)練2(2020.河南、河北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c,已知c=4,b=2,2ccosC=b,D,E均為線段8c上的點(diǎn)，且8O=CO,ZBAE=

ZCAE.

(1)求線段4。的長(zhǎng)；

(2)求△AOE的面積.

解(1)因?yàn)閏=4,b=2,2ccosC=bf

所以COS。=五=7

1人nqJE/ZI2拼|4161

由余弦正理得cosC=前c=元=/

所以。=4,即3c=4.

在△ACO中，CD=2,AC=2,

所以ADuAd+U-zACCQcosC=6,

所以人。=班.

(2)因?yàn)锳E是N84C的平分線，

^ABAEsinZBAE

S.,AHEAB

所以=2,

S"CE%CAEsinZCAEAC

rS&ABEBE.BE

又7---=萬(wàn)，所以萬(wàn)=2,

S^ACE"匕C

144?

所以CE=18C=?DE=DC—EC=2—^=y

又因?yàn)閏osc=；,所以sinC=\l1—cos2C=^^.

所以S^ADE=S^ACD~S^ACE

=^ACCDsinC—^AC-ECsinC

=^AC(CD—EC)s\nC

=^DEACsin即zMOE的面積為孌.

Zoo

/題型三解三角形中的最值與范圍問(wèn)題師生共研

例3（2020.湖北七市聯(lián)考）在銳角三角形"C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小〃，c,且幺器義

cosB2-\/3sinC

+b=3a.

（1）求角B的大??；

⑵若b=25求a+c的取值范圍.

解（1）由已知條件，得/xrosA+acos。=邛^加訪C.

由正弦定理，得sinBcos4+cosAsinA=~sinBsinC,

2-J3

即sin（A+B）=3sinBsinC.

又在AABC中，sin（A+B）=sinCWO,

所以sin8=坐.因?yàn)?是銳角，所以8=?

⑵由正弦定理，得看=薪=磊=需=4,

2

則a—4sinA,c—4sinC.

所以a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4sin（干一A

=6sinA+2A/5cosA=475sin（4+5）.

由0<A專0號(hào)一露<S<4,

所以抬+生印，所以乎<sin（A+/k1,

所以6<〃+。W4小.故a+c的取值范圍為（6,4小］.

思維升華本題涉及求邊的取值范圍，一般思路是

（1）利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出范圍或最值.

（2）利用正、余弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊，利用不等式求出范圍或最值.

跟蹤訓(xùn)練3給出兩個(gè)條件：①2c—木方=2“cos8：②（2力一小c）cos4=，5“COSC,從中選出

一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并以此為依據(jù)求解問(wèn)題.（選出一種可行的條件解答，若兩個(gè)

都選，則按第?個(gè)解答計(jì)分）

在aABC中，a,b,C分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊.

⑴求A；

（2）若。=小一1,求△ABC面積的最大值.

解（1）選①2c—小力=2acosB,

由正弦定理可得，2sinC—V3sinB=2s\nAcosB,

即2sin（A+8）—小sinB=2sinAcosB,

/.2cos/AsinB=-\[3sh}B,

V?E（0,n）,Asin8^=0,

:.2cosA=小，

即cosA=坐，

jr

又A￡（0,7C）,；?A=d

選②（28-Sc）cosA=SacosC,

由正弦定理可得，（2sin8—小sinC）cosA=，5sinAcosC,

A2sinBcosA=y[3s\n（A+C）=-\/3sinB,

VBe（0,兀）,Asin??.cosA=坐,

又A￡（0,兀），.,.A=^.

（2）由余弦定理得，a2=b2+c2—2/?（rosA=b2~ic1—yf?>bc,

又從+d22bc,當(dāng)且僅當(dāng)“b=c”時(shí)取“=”，

.,?后2（2一?。゜e,即（小一1>2（2一?。゜e,:.bc&2、

S^ABC=^bcsin

???△48。的面積的最大值為去

課時(shí)精練

過(guò)基礎(chǔ)保分練

1.（2020?蘭州模擬）已知在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且“sinB+加os4

=0.

⑴求角4的大??；

（2）若a=2小，b=2,求邊c的長(zhǎng).

解（1）因?yàn)閍sin8+AcosA=0,

所以sinAsin5+sinBcos4=0,

即sin〃（sinA+cos4）=0,

由于B為三角形的內(nèi)角，

所以sinA+cosA=0,

所以gsin（A+；）=0,

3IT

而A為三角形的內(nèi)角，所以從=學(xué)

（2）在△ABC中，a2=c2+b1—2chcosA,

即20=，+4-4（-乎），

解得c=一4啦（舍去）或c=272.

2.（2020?全國(guó)II）在△A3C中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

⑴求A：

（2）若BC=3,求△A8C周長(zhǎng)的最大值.

解（1）由正弦定理和已知條件得

8C2-4C2-八B2=ACAB.①

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-24cA&0S4.②

由①②得cosA=一

因?yàn)?<A<n,所以4=掌

Q）由正弦定理及⑴得普=梟=黯=24,

從而AC=2小sinB,

A^=2^/3sin（7t—A—B）=3cos4一巾sinB.

故BC+4C+AB=3+小sinB+3cosB

=3+2小sin（B+§.

又Ovg,

所以當(dāng)Bq時(shí)，/XABC的周長(zhǎng)取得最大值，為3+2小.

3.在①'；（2）2/>sinA=alanB；③（a—c）sinA+csin（A+8）=/?sin8這三個(gè)條小中任

a\3sinA

選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

己知的內(nèi)角4.C所對(duì)的邊分別是〃.h,r,若.

⑴求角B；

(2)若。+c=4,求△A8C周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)△43C的面枳.

解⑴選①，由正弦定理得照=篇￡，

Vsin.,.^/3sinB—cosB=1,

即sin(B_§=J,

??(X54,???-%5-德,

,?□

m

選②，V2/jsinA=atanB,2bs\nA=\R,

COSJD

,r>

；?由正弦定理可得，

2sinBsinA=sinvOoD

VsinA^0,且sinBHO,

**?cosB=],

VBe(0,冗),：.B=j.

選③，Vsin(A+B)=sin(Jt—C)=sinC,

由已知結(jié)合正弦定理可得，(a—。4+/=護(hù),

.a2-ic2—b2ac1

a2+c2^b2=ac,?抻"=-2^~=京=》

VBE(0,n),

⑵?"2=a2+c2—2accos8=(〃+c)2—3〃c=16—3ac,即3ac=16一

???16—廬W3(守),解得力22,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào)，

???bmin=2,△ABC周長(zhǎng)的最小值為6,此時(shí)△48C的面積S=%csin8=，l

B技能提升練

4.(2021?濰坊模擬)如圖，在△A8C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且力cosNBAC

一asin3=0.

c

AD

⑴求/孫。：

(2)若A8_LA。，AC=2，LCD=小,求A。的長(zhǎng).

解(1)在△ABC中，

由正弦定理得sinBcosN84C—sinN84CsinB=0,

VsinB^O,/.tanZBAC=l,

VZBAC€(O,it),：.ZBAC=J.

jr

(2)VAB1AD,且NBAC=x，

兀

NC4Q=不

在△AC。中，AC=2?CD=y[5,NG4O寸

由余弦定理得CZ^MACZ+AOZ-ZACAO.COS/CAO,

2

即5=8+AD~2X2y[2XADX^t

解得AQ=1或AQ=3.

???