1、第四節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu),一 線性方程組解的性質(zhì),三 應(yīng)用舉例,二 基礎(chǔ)解系及其求法,四 小結(jié),2,高斯消元法（復(fù)習(xí)）,設(shè)一般線性方程組為,則稱矩陣,為方程組(1)的系數(shù)矩陣。,3,稱矩陣,為方程組(1)的增廣矩陣。,稱為方程組（1）的導(dǎo)出組， 或稱為（1）對應(yīng)的齊次線性方程組。,4,定義：線性方程組的初等變換,（1） 用一非零的數(shù)乘某一方程,（2） 把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程,（3） 互換兩個方程的位置,可以證明一個線性方程組經(jīng)過若干次初等變換， 所得到的新的線性方程組與原方程組同解,對一個方程組進行初等變換，實際上就是對它的增廣矩陣 做初等行變換,初等行變換,5,化為行階 梯形矩陣,

2、6,則以矩陣（3）為增廣矩陣的方程組與方程組（1）同解。,化為行最 簡形矩陣,7,由矩陣（3）可討論方程組（1）的解的情況,1) 若 ，則方程組無解。,特別地，方程組(1)的導(dǎo)出組，即對應(yīng)的齊次線性方程組 一定有解。,8,舉例說明消元法具體步驟：,例1：解線性方程組,解：,最后一行有,可知方程組無解。,9,例2：解線性方程組,解：,10,對應(yīng)的方程組為,即,11,二. 齊次線性方程組,1. 齊次線性方程組（2）有解的條件,定理1：齊次線性方程組 有非零解,定理2：齊次線性方程組 只有零解,有解的條件 解的性質(zhì) 基礎(chǔ)解系 解的結(jié)構(gòu),12,二. 解的性質(zhì),（可推廣至有限多個解）,解向量：每一組解都

3、構(gòu)成一個向量,性質(zhì)：若 是（2）的解，,則 仍然是（2）的解。,13,3. 基礎(chǔ)解系,線性無關(guān)；,14,證明分三步:,1. 以某種方法找 個解。,注：,(2) 證明過程提供了一種求解空間基（基礎(chǔ) 解系）的方法。,(3) 基（基礎(chǔ)解系）不是唯一的。,稱為通解。,4. 解的結(jié)構(gòu),的通解是,15,例4 : 求下列齊次方程組的通解。,解：,初等行變換,16,行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為,法1：先求通解，再求基礎(chǔ)解系,即,是自由 未知量。,令,則,即,為任意常數(shù)。,17,法2：先求基礎(chǔ)解系，再求通解。,由,則通解為,為任意常數(shù)）,18,解：,初等行變換,所以只有零解。,19,三. 非齊次性線性方程組,1. 有解的條件,定理3：非齊次線性方程組,有解,2. 解的性質(zhì),性質(zhì)：,20,分析:,3. 解的結(jié)構(gòu),是（1）對應(yīng)的齊次線性方程組 的通解。,21,例5 : 求解非齊次方程組,解：,22,令,則,為任意常數(shù)）,法1：,23,法2：,令,得,又原方程組對應(yīng)的齊次方程組的通解是,令,得基礎(chǔ)解系,所以原方程組的通解是,為任意常數(shù)）,24,例7：,k取何值時有唯一解, 無窮多解或無解， 有無窮多解時求出通解.,解：,法1：,25,26,法2：利用Cramer法則,有無窮多解，,即,當 時，,當 時，即 且 時，方程