1、,常見曲線的參數(shù)方程,1 旋輪線 2 旋輪線也叫擺線 3 旋輪線是最速降線 4 心形線 5 星形線 6 圓的漸伸線 7 笛卡兒葉形線 8 雙紐線 9 阿基米德螺線 10 雙曲螺線,主 目 錄（110 ）,a,曲線,是一條極其迷人的曲線，在生活中應(yīng)用廣泛。,1. 旋輪線,一圓沿直線無滑動地滾動，圓上任一點所畫出的,來看動點的慢動作,.,2a,2a,a,x = a (t sint) y = a (1 cost),t 的幾何意義如圖示,t,a,當(dāng) t 從 0 2，x從 0 2a,即曲線走了一拱,a,.,參數(shù)方程,這就是旋輪線的參數(shù)方程。,將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板,2. 旋輪線也叫擺線（單

2、擺）,.,兩個旋輪線形狀的擋板, 使擺動周期與擺幅完全無關(guān)。 在17世紀，旋輪線即以此性質(zhì)出名，所以旋輪線又稱擺線。,B,A,答案是：當(dāng)這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。,最速降線問題: 質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A滑到固定點B， 當(dāng)曲線是什么形狀時所需要的時間最短？,3. 旋輪線是最速降線,生活中見過這條曲線嗎？,B,A,B,A,B,A,滑板的軌道就是這條曲線,.,a,a,一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。,4. 心形線(圓外旋輪線),a,來看動點的慢動作,.,a,a,a,2a,來看動點的慢動作,.,2a,P,r,.,r = a (1+cos),參數(shù)方程,a, a,一圓

3、沿另一圓內(nèi)緣無滑動地 滾動，動圓圓周上任一點 所畫出的曲線。,5.星形線(圓內(nèi)旋輪線),a, a,來看動點的慢動作,.,a, a,來看動點的慢動作,.,a, a,0 2,極坐標方程為,.,P,.,直角坐標方程為：,.,一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動） 直線上一個定點的軌跡,6. 圓的漸伸線,a,參數(shù)方程為,.,a,再看一遍,.,a,.,a,a,0,x,M,t,t,a,at,(x,y),試由這些關(guān)系推出曲線的方程,.,參數(shù)方程為,1. 曲線關(guān)于 y= x 對稱,2. 曲線有漸進線 x+y+a = 0,分析,3. 令 y = t x, 得參數(shù)式,故在原點，曲線自身相交.,7.狄卡兒葉形線,4.,x+y+

4、a = 0,曲線關(guān)于 y= x 對稱,曲線有漸近線 x+y+a=0,.,P,r,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,曲線在極點自己相交，與此對應(yīng)的角度為 =,.,.,.,.,.,距離之積為a2的點的軌跡,直角系方程,8.雙紐線,.,所圍面積,.,.,.,由對稱性,.,例1 求雙紐線,0,r,r =a,曲線可以看作這種點的軌跡：,動點在射線上作等速運動,同時此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動,從極點射出半射線,9. 阿基米德螺線,0,r,.,0,r,再看一遍,請問：動點的軌跡什么樣？,.,0,r,.,0,r,.,0,r,r =a,.,阿基米德螺線,r,這里 從 0 +,8,r =a,0,2a,每兩個螺形卷間沿射線的距離是定數(shù),.,阿基米德螺線,0,r,8,當(dāng) 從 0 ,r =a,.,阿基米德螺線,r,0,.,這里 從 0 +,8,.,.,10 雙曲螺線,r,0,.,當(dāng) 從 0 ,8,.,雙曲螺線,例2,2,.,.,S =, =1+cos,3,r =3cos,由 3cos =1+cos,得交點的坐標,S,2,.,.,.,.,.,.,.,例3.,1,令 cos2 = 0,由 sin 0,聯(lián)立后得交點坐標,.,.,.,S = 2,.,例4,1,s1,s2,.,.,.,.,.,.,