1、第1章 效用理論與保險,1.1引言,例：我們有這樣的二種選擇： A：0.1%的機會得到10000元錢，99.9%的機會什么也得不到。 B：100%的機會得到10元。 選擇A？或B？,喜好風險,例：我們有這樣的二種選擇： A：0.1%的失去得到10000元錢，99.9%的機會不損失。 B：100%的機會夫去10元。 選擇A？或B？,厭惡風險,例：我們有這樣的二種選擇： A：0.1%的失去得到10000元錢，99.9%的機會不損失。 B：100%的機會夫去20元。 選擇A？或B？,1.2 期望效用模型,假設一個個體面臨損失額為B ，發(fā)生概率0.01 的風險，他可以將損失進行投保，并愿意為這份保單支

2、付保費P，B 和P之間有何種關系？,如果B 非常小，那么P幾乎不會大于0.01B； 如果B略微大一點，如500，那么P就可能比5 稍大一些； 如果B 非常大，那么P 就會比0.01B大很多。 因為這么大的損失一但發(fā)生可以導致破產。 結論：可以付出比期望值高的費用為風險投保。,為比較X 和Y，效用函數(shù)與其線性變換是等價的，即無論選擇哪個效用函數(shù)會得出相同的決策。,當且僅當,效用函數(shù)的確定,效用函數(shù)是存在的。但很難給出一個明確的解析式。 可以向決策都提出大量的問題，通過他對這些問題的回答來決定該決策都的效用函數(shù)。 如“為了避免以概率q損失1個單位貨幣，你愿意支付多少保費這P？”,當b = 1 時，

3、他選擇A； 當b =4 時，他選擇B； 當b =2 時，兩者等價,這既不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)。,有重大的決策時，決策者往往在風險厭惡者。 被保險人是風險厭惡者。 風險厭惡者的效用函數(shù)的特點：,定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一個凸函數(shù)，Y 是一個隨機變量，則,其中等號成立當且僅當在Y 的支撐集上是線性的或Var (Y)=0，由此不等式可以得到，對于一個凹的效用函數(shù)，有,被保險人方面：,保險人方面：,買賣成功！,實際風險是中性的，即對于任意的風險X，有期望保費EX就夠了。 由大數(shù)定律可知：,在后面式子的兩邊同時取期望，得到,因此，風險X 的最大保費近似為,于是風險X 的最大保費

4、近似為,注意到 用替換時，并沒有改變從（1.18) ，我們可以看到風險厭惡系數(shù)真正反映了風險厭惡的程度：對風險厭惡程度越高，準備支付的保費也越大,.效用函數(shù)族,-,把 代入均衡方程（1.11）得,其中 是X 的矩母函數(shù),假設損失X 服從 分布，其中 表示參數(shù)為 的指數(shù)分布令 0.01 ，則EX=100,如果被保險人的效用函數(shù)是參數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，,因此被保險人愿意在純保費 之上附加相當數(shù)量的額外保費,138.6100,由例1.2.4中近似式(1.18)得,顯然，近似表達式(1.22)隨 遞增，如果X 是方差有限的非負隨機變量，則(1.20)所決定的保費也是遞增的，具體證明如下。令,由Jen

5、sen 不等式知,取 則 且,對任意 有,由方程(1.10)發(fā)生損失X 之后的期望效用為,以及支付保費P之后的效用為,近似的最大保費：,例1.3.3（不可保的風險） 某決策者使用風險厭惡系數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，他想對分布為 的風險進行投保，其中 表示參數(shù)為a, b的伽瑪分布確定 并證明 ，何時 此時說明了什么？,因為 , 我們有 .因而 所以，計算出的保費大于純保費如果 ，則 ，這表明決策者愿意支付任何有限的保費按照效用理論，如果風險厭惡系數(shù)為 .那么承保該風險的保險人對于任何有限的保費P，都會遭受損失，因為 對于這些保險人來說，這種風險是不可保的,1.4 停止損失再保險的最優(yōu)性,再保險合同通

6、常只承保保險人的一部分風險停止損失(再）保險承保損失超出指定免賠額的超額部分 它的定義如下：如果發(fā)生的損失為X(我們假設 ) . 則理賠支付為,對于停止損失保險合同，其純保費 稱為停止損失保費，記為,在離散情形， 為階梯函數(shù)，其在x 處的跳為 ；在連續(xù)情形， 有導函數(shù) 兩種情形下的停止損失保費都可由下式給出,為什么？,定理1.4.l （停止損失再保險的最優(yōu)性）用 記當損失為 時，某再保險合同約定的理賠支付假設 對于任意 成立,則,證明,因為 ，所以只需證明,上式成立的一個充分條件是 以概率1 成立 當 時， 顯然成立； 當 時, 我們有 ，有,停止損失保費不僅使自留風險的方差達到最小，而且還使被保險人的期望效用達