1、牙齒章節(jié)重點(diǎn)討論根軌跡定義、根軌跡方程、大小條件和角度條件。繪制普通根軌跡利用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。牙齒章節(jié)的困難，1 .定性地分析了根據(jù)根軌跡參數(shù)變化的系統(tǒng)性能規(guī)律。更改根軌跡以使系統(tǒng)達(dá)到所需性能的方法。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能主要由閉環(huán)極點(diǎn)(特性方程根)決定。比較精密的閉環(huán)控制系統(tǒng)的特性方程一般是高維的，用時(shí)域方法直接解決困難。1948年伊萬(wàn)斯提出了解閉環(huán)特征方程根的圖解法根軌跡法。根軌跡：當(dāng)系統(tǒng)中的某些參數(shù)變更時(shí)，特征方程式的根在s平面中移動(dòng)的軌跡稱為根軌跡?？紤]開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，可以根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)變化(例如放大系數(shù))繪制在S平面上移動(dòng)的軌跡(根軌跡)(如果開(kāi)環(huán)0，極分布已知)。用途：系統(tǒng)性能

2、分析；系統(tǒng)的適當(dāng)結(jié)構(gòu)，確定參數(shù)；進(jìn)行設(shè)計(jì)和綜合。41軌道的基本概念，根軌道圖1。定義：布線平面：在復(fù)平面(S平面)上顯示開(kāi)環(huán)0，極，并相應(yīng)地說(shuō)明閉環(huán)極的特性。牙齒復(fù)平面稱為管線平面。根軌跡：表示系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(通常為Kg(或K1)，根軌跡增益)的參數(shù)更改時(shí)閉環(huán)特征根通過(guò)根平面的軌跡。2 .分析方法使根軌跡(實(shí)例)示例1:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：1。時(shí)間常數(shù)表示主要用于頻率分析。0極表示主要用于管線軌跡分析。開(kāi)環(huán)有兩個(gè)極點(diǎn)。p1=0，p2=2開(kāi)環(huán)沒(méi)有0牙齒。如果Kg更改，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)也將連續(xù)更改。如果Kg更改為0，則直接繪制點(diǎn)以創(chuàng)建兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的更改軌跡。封閉環(huán)特征方程為D(s)=S2 2s Kg=

3、0，閉環(huán)特征根(即閉環(huán)極點(diǎn))，閉環(huán)傳遞函數(shù)：(1) KG=(2) 0Kg1中的S1，S2都是負(fù)實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)(3)如果Kg=1，則S1=S2=1，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)匹配。(4)1千克到S1，2=1，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)變?yōu)橐粚?duì)共軛復(fù)數(shù)極。S1，S2的實(shí)體部分與Kg保持不變，(1，0)位于通過(guò)點(diǎn)并平行于虛擬袖子的直線上。(5)在Kg中，如果S1=1 j，S2=1j，則S1，S2無(wú)限移動(dòng)。根據(jù)根軌跡形狀，可以評(píng)估系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)定性能。(1)根軌跡增益Kg為0到0時(shí)，根軌跡位于S平面的左半部分，系統(tǒng)在所有Kg值上保持穩(wěn)定。(2)在01中，閉環(huán)特征根是共軛復(fù)合根，系統(tǒng)不是阻尼狀態(tài)，相位響應(yīng)是衰減的振動(dòng)過(guò)程。

4、從上述分析過(guò)程中可以看出，系統(tǒng)根軌跡分析的意義是比較容易得到的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布，分析閉環(huán)極點(diǎn)的特性，分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)定性能。但是，試驗(yàn)方法不是繪制根軌跡的最佳方法，并且需要太多的時(shí)間。對(duì)于高級(jí)系統(tǒng)，使用牙齒分析方法繪制系統(tǒng)的根軌跡圖是件麻煩事。實(shí)際上，根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征根關(guān)系、已知開(kāi)環(huán)極和零點(diǎn)的根平面分布，根據(jù)特定規(guī)則繪制閉環(huán)系統(tǒng)的特征根軌跡。根軌跡方程式在開(kāi)放回路0極的S平面上尋找封閉回路特征根的位置繪制根軌跡的本質(zhì)。閉環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)特征方程，即M開(kāi)環(huán)0 N開(kāi)環(huán)極(根軌跡方程)Kg:根軌跡增益，S平面上滿足常識(shí)的所有點(diǎn)S1，S2，S是閉環(huán)特征根，即閉環(huán)極。0到Kg。4.2繪制根

5、軌跡的基本條件和基本規(guī)則，根軌跡的大小條件方程和相位角條件方程是復(fù)數(shù)的，所以根軌跡方程是向量方程。，相位角條件：振幅條件：相位角條件方程與kg無(wú)關(guān)。s平面上的任何一點(diǎn)，只要滿足拓?fù)浣菞l件方程，就必須滿足大小條件。牙齒點(diǎn)必須對(duì)應(yīng)于根軌跡，即對(duì)應(yīng)于其他kg的閉環(huán)極點(diǎn)。相位角條件是確定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分條件。(實(shí)際軸和虛擬軸選擇相同的比例尺刻度。)大小條件和角度條件適用。開(kāi)放回路從0指向S的向量是從開(kāi)放回路極指向S的向量，向量的強(qiáng)度是長(zhǎng)度，即S平面上兩點(diǎn)之間的距離。傾角是牙齒矢量指向方向和實(shí)際軸之間的角度，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。1.可以直接計(jì)算。2.或者在圖中直接測(cè)量，S是測(cè)試點(diǎn)。例如：

6、確定是否在已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳輸函數(shù)、根軌跡上。解決方案：不符合拓?fù)浣嵌葪l件，S1不在根軌跡上。符合拓?fù)浣嵌葪l件，S2在根軌跡上。(1)使用拓?fù)浣嵌葪l件查找根軌跡(測(cè)試方法)，(2)使用大小條件確定kg的值，求解：例如，在上例中，查找與根軌跡上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的Kg。還可以使用標(biāo)尺測(cè)量矢量長(zhǎng)度。摘要：相位各條件確定是否是閉環(huán)極點(diǎn)(根)大小條件，從而確定相應(yīng)的根軌跡增益圖。坐標(biāo)、比例、控制系統(tǒng)的根軌跡不能通過(guò)S平面上的所有點(diǎn)進(jìn)行繪制。因?yàn)樵跐M足根軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡的圖形有一定的規(guī)律。根據(jù)繪制軌跡圖的幾個(gè)茄子基本定律，可以草繪控制系統(tǒng)的根軌跡。系統(tǒng)的特性方程是代數(shù)方程。如果代數(shù)方程式的系數(shù)連續(xù)變更

7、，則代數(shù)方程式的根也會(huì)連續(xù)變更，因此特征方程式的根軌跡是連續(xù)的。特征方程式的根是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)(包括純虛擬根對(duì))，因此根軌跡必須在實(shí)際軸線上對(duì)稱。(1)連續(xù)性和對(duì)稱、繪制根軌跡的基本規(guī)則以及系統(tǒng)根軌跡的每個(gè)分支是連續(xù)的，與實(shí)際軸對(duì)稱。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)N階，因此開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為N，如果Kg從0變化，則N根在S平面上連續(xù)形成N根軌跡。一條根軌跡對(duì)應(yīng)于閉環(huán)極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于Kg的連續(xù)變化軌跡。根軌跡的分支數(shù)=系統(tǒng)的階數(shù)，(2)根軌跡的分支數(shù)，n次系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)為n。(3)根軌跡的開(kāi)始和結(jié)束，以大小條件開(kāi)始：僅當(dāng)Kg=0時(shí)，當(dāng)K1=0時(shí)，根軌跡的每個(gè)分支都從開(kāi)放循環(huán)極點(diǎn)開(kāi)始。在K1中，m個(gè)分支指向開(kāi)放

8、循環(huán)零點(diǎn)，而其他n-m個(gè)分支向無(wú)窮大移動(dòng)。因?yàn)闈M足常識(shí)，根軌跡每個(gè)分支的起點(diǎn)是每個(gè)開(kāi)放循環(huán)極。其他nm根軌跡在結(jié)束(相對(duì)角度可以是任意方向)。結(jié)論：根軌跡始于n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。m個(gè)開(kāi)放回路零點(diǎn)作為終點(diǎn)，其他nm個(gè)根軌跡在無(wú)窮大處結(jié)束。結(jié)束：kg=，方程式右側(cè)=0，nm，kg，S，成立，M個(gè)布線軌跡結(jié)束于M個(gè)開(kāi)放回路0。(4)實(shí)際軸的根軌跡，對(duì)稱于實(shí)際軸的兩個(gè)向量呈相同的角度大小，方向相反。由于是開(kāi)環(huán)復(fù)平面上的開(kāi)環(huán)0，極，共軛復(fù)數(shù)對(duì)，所以實(shí)軸上任意點(diǎn)S1的相位角度影響為零，對(duì)實(shí)軸的根軌跡判定沒(méi)有影響。判斷是否掉在S1牙齒根軌跡上，軛0，極點(diǎn)不予考慮。兩個(gè)向量也對(duì)稱于實(shí)際軸，結(jié)果是相對(duì)大小相同，方向相

9、反。S1右側(cè)的實(shí)數(shù)0，極數(shù)：每個(gè)0，極數(shù)提供180的攤銷。結(jié)論：S1右側(cè)的實(shí)數(shù)為0，極(開(kāi)環(huán))數(shù)的總和為奇數(shù)，S1位于根軌跡上。判斷是否掉到，S1牙齒根軌跡上，S1左側(cè)的0，極點(diǎn)未考慮。S1左側(cè)的實(shí)數(shù)0，極：矢量引起的攤銷為零，規(guī)則：S平面實(shí)際軸的段上存在根軌跡，這些段右側(cè)的開(kāi)放回路0和開(kāi)放回路極數(shù)之和為奇數(shù)。-2，-1，0，2解決方案：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零為0.5根據(jù)實(shí)軸根軌跡的判別條件，間隙4，1.5右側(cè)的開(kāi)放環(huán)0數(shù)和極數(shù)之和為5，間隔1，0.5右側(cè)的開(kāi)放環(huán)0數(shù)和極數(shù)之和為3，均為奇數(shù)，因此實(shí)軸的根軌跡顯示在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)。(5)根軌跡的漸近，根軌跡中的(n-m)條指向無(wú)限分支的漸近攤銷，延伸至無(wú)

10、限根軌跡的漸近線與實(shí)際軸相交的點(diǎn)，坐標(biāo)，nm，Kg為0到(nm)，與實(shí)際軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：僅當(dāng)S足夠大時(shí)，根軌跡才位于漸近線，一般直接拿180。例如，在已知控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳輸函數(shù)下，確定S平面上根軌跡的漸近方向。求解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：開(kāi)環(huán)零：三個(gè)確定無(wú)限、角度、截距、-2、-1，0、端點(diǎn)無(wú)限時(shí)漸近線和實(shí)際軸的交點(diǎn)和漸近線的傾斜角度。n=3導(dǎo)致有三個(gè)根軌跡。起點(diǎn)分別為m=0，開(kāi)放循環(huán)傳遞函數(shù)中沒(méi)有有限值0牙齒，因此三個(gè)根軌跡的終點(diǎn)位于無(wú)窮大。其漸近線與實(shí)際軸的交點(diǎn)和傾斜角度為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。根軌跡的起點(diǎn)和三條漸近線如圖所示。分析：1)實(shí)際軸的根軌跡，如圖所示。兩個(gè)根軌跡分別從-p1和-p2出發(fā)，隨著kg的增

11、大，在A點(diǎn)相遇，再次分裂，離開(kāi)主軸進(jìn)入復(fù)平面，再次回到主軸，在B點(diǎn)再次離開(kāi)，一個(gè)以-z1結(jié)束，另一個(gè)趨向負(fù)無(wú)窮大。(6)根軌跡的分隔點(diǎn)和連接點(diǎn)，如果兩個(gè)根軌跡在復(fù)平面上的某個(gè)點(diǎn)相遇后分離，則該點(diǎn)稱為根軌跡的分隔點(diǎn)或連接點(diǎn)。牙齒點(diǎn)對(duì)應(yīng)于雙根(實(shí)際根和共軛多根)。一般更多地出現(xiàn)在實(shí)際軸上。，2)定律：如果與實(shí)軸相鄰的兩個(gè)開(kāi)放回路極之間有根軌跡，那么它們之間必須有一個(gè)分隔點(diǎn)。如果在與實(shí)際軸相鄰的開(kāi)環(huán)零(一個(gè)可以視為無(wú)窮大)之間有根軌跡，則它們之間必須有會(huì)合點(diǎn)。如果主軸上有開(kāi)放回路零點(diǎn)和極之間的根軌跡，則它們之間可能有分隔點(diǎn)和匯合點(diǎn)，也可能沒(méi)有。3)查找分離角度(分離角度):分離點(diǎn)(分離點(diǎn))處根軌跡切

12、線和正實(shí)際軸之間的角度，L是分離根軌跡分支的數(shù)目。4)分離點(diǎn)的口臭，特征方程：復(fù)平面上根軌跡的分離點(diǎn)必須滿足方程。s分隔點(diǎn)，可用，可用，如已知控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，在實(shí)際軸上試驗(yàn)根軌跡的分隔點(diǎn)。分析：-2，-1，0，-0.423，判斷，(7)根軌跡的入射角和入射角，入射角：開(kāi)放回路同樣，能得到的是26.6。(8)根軌跡與虛擬軸的交點(diǎn)，與Kg一起，根軌跡可以由S左半平面右半平面，系統(tǒng)在穩(wěn)定中不穩(wěn)定。根軌跡和虛擬軸的交點(diǎn)，即閉環(huán)特征方程表示純虛擬根，表示臨界穩(wěn)定性。解決方法(兩種茄子方法):laus判定：第一列有0元素(純虛擬根)，替代輔助方程。這里是增益臨界根軌跡增益Kgp。s=j給出閉環(huán)特征

13、方程A(s)=0，求回來(lái)，求交點(diǎn)坐標(biāo)和Kg。示例：查找已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、根軌跡和虛擬軸的交點(diǎn)、臨界根軌跡增益kgp。，解法：交叉座標(biāo)：取得：(舍去)，s=j指定時(shí)，S1列等于0，一對(duì)純虛擬根，輔助方程式，1 2 3 0，s3 S2 S1 s0，(9)閉環(huán)極點(diǎn)的總和，根與系數(shù)的關(guān)系，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的總和=閉環(huán)極點(diǎn)的總和=常數(shù)，表示隨著Kg增加閉環(huán)的某些特征根，其他特征根必須減小，保持代數(shù)和常數(shù)。也就是說(shuō)，如果向右移動(dòng)某些分支，則其他分支將向左移動(dòng)，以保持左右平衡。根據(jù)部分分支的方向，可以判斷其他分支的方向。對(duì)于Kg，如果閉環(huán)極點(diǎn)(n-1)牙齒已知，則可獲得最后一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。示例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳

14、遞函數(shù)，根軌跡和虛擬軸的交點(diǎn)嘗試其第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，交點(diǎn)的臨界根軌跡增益Kgp，解決方案：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)總和，閉環(huán)極點(diǎn)總和：-2，-1，0，摘要：根據(jù)9個(gè)規(guī)則，控制系統(tǒng)為Kg=根據(jù)真角條件，使用試驗(yàn)方法精確掌握幾個(gè)點(diǎn)的位置(尤其是虛擬軸附近或原點(diǎn)附近)的精確根軌跡。(根軌跡的重要部分，穩(wěn)定性不穩(wěn)定)，根軌跡的示例，例如，解決方案(1)開(kāi)環(huán)零，開(kāi)環(huán)極在實(shí)際軸上的根軌跡-3，0。4.3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制；(2)n-m=4，4個(gè)分支無(wú)限移動(dòng)。漸近角度和交點(diǎn)，(3)實(shí)際軸的分隔點(diǎn)，(4)起始角度(注射角度)，(5)與虛擬軸的交點(diǎn)，中心：開(kāi)環(huán)零半徑：閉環(huán)特征根更改為實(shí)際1時(shí)，相應(yīng)的解決方案：兩個(gè)開(kāi)放循環(huán)極：一個(gè)開(kāi)放循環(huán)零點(diǎn)：實(shí)際軸上根軌跡的間距：中心：(-1，j0)，半徑：典型根軌跡和開(kāi)放循環(huán)零點(diǎn)之間的關(guān)系根軌跡都是直線或在平滑分隔點(diǎn)離開(kāi)主軸，并在主軸(合并N-m2，左右平衡；分隔點(diǎn)：與實(shí)際軸線相鄰的開(kāi)放回路極之間存在布線軌跡接合點(diǎn)。與實(shí)際軸相鄰的開(kāi)放環(huán)零之間存在根軌跡。繪制順序：1。首先確定實(shí)際軸的根軌跡。2.根據(jù)n-m2的定律，近似確定剩余根軌跡的路徑。根據(jù)剩余n-m牙齒結(jié)束的根軌跡的漸近(截距、角度)、4.4控制系統(tǒng)的根軌跡分析、系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和閉環(huán)零根軌跡，在已知參數(shù)(通常為%，tS)下尋找主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)分析系統(tǒng)性能。分析可以包括：(1)閉環(huán)0，由指