1、北京市西城區(qū) 2013 年高三一模試卷 高三數(shù)學(xué)（文科） 2013.4 第卷第卷（選擇題 共 40 分） 一、選擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，共40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng) 1已知全集U xZ Z| x|5，集合A2,1,3,4，B 0,2,4，那么AI UB （A）2,1,4 2復(fù)數(shù) （B）2,1,3（C）0,2（D）2,1,3,4 1i i （B）1i（C）1i（D）1i（A）1i 3執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出y 3，則輸入 角 （A） 6 （B） 6 （C） 3 （D） 3 4設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，且a 1 0若S 2 2a 3

2、 ，則q的取值范圍是 1 2 1 （C）(,1)U ( ,) 2 （A）(1,0)U (0, )（B）(,0) U (0,1) （D）(,)U (1,) 1 2 1 2 5某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主） 視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，該正三棱柱的表 面積是 （A）6 3 （B）12 3 （C）122 3（D）242 3 x1 0, 6設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件x y1 0,則y4x的最大值是 x y 2 0, （A）4 7已知函數(shù)f (x) x bxc，則“c0”是“x0R R，使f (x0) 0”的 （A）充分而不必要條件 （C）充分必要條件 8如圖，正方體ABCD A 1B1C1D1 中，E

3、是棱B 1C1 的 中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)，且PA 1 A 1E ，則 點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)形成的圖形是 （A）線段 （C）橢圓的一部分 （B）圓弧 （D）拋物線的一部分 （B）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件 2 （B） 1 2 （C）4（D）7 第卷第卷 （非選擇題共 110 分） 二、填空題：本大題共6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9已知向量i i (1,0)，j j (0,1)若向量i i j j與i i j j垂直，則實(shí)數(shù) _ log 2 x, x 0, 1 10已知函數(shù)f (x) x 則f ( ) f (2) _ 4x 0, 2 , 11拋物線y 2x的準(zhǔn)線方程是_；

4、該拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(x0, y0)在此拋物線上，且 2 MF 5 ，則x0_ 2 12某廠對(duì)一批元件進(jìn)行抽樣檢測(cè)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批元件 的長(zhǎng)度數(shù)據(jù) (單位：mm)全部介于93至105之間 將長(zhǎng)度數(shù)據(jù)以2為組距分成以下6組：93， 95)， 95， 97)，97， 99)，99， 101)，101， 103)， 103,105，得到如圖所示的頻率分布直方圖若長(zhǎng) 度在97,103)內(nèi)的元件為合格品，根據(jù)頻率分布直 方圖，估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率是_ 13在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且 則ABC的面積是_ cos Ab3 若c 10， cosBa4 a n ,a n是偶數(shù),na

5、 S 14 已知數(shù)列 n 的各項(xiàng)均為正整數(shù)， 其前項(xiàng)和為 n 若a n1 2 且S3 29， 3an 1, a n是奇數(shù), 則a 1 _；S 3n _. 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 15 （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù)f (x) sin xacosx的一個(gè)零點(diǎn)是 （）求實(shí)數(shù)a的值； （）設(shè)g(x) f (x) 2sin x，求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間 22 3 4 16 （本小題滿分 14 分） 在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB/CD， AC 3，AB2BC 2，AC FB （）求證：AC 平面

6、FBC； （）求四面體FBCD的體積； （）線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA/平面FDM？ 證明你的結(jié)論 17 （本小題滿分 13 分） 某商區(qū)停車場(chǎng)臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車一次停車不超過(guò)1小時(shí)收費(fèi)6元， 超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算） 現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨 時(shí)停車，兩人停車都不超過(guò)4小時(shí) （）若甲停車1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率為 停車付費(fèi)恰為6元的概率； （）若每人停車的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費(fèi)之和為36元的概 率 15 ，停車付費(fèi)多于14元的概率為，求甲 312 18 （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù)f (x)

7、 e ax，g(x) axln x，其中a0 （）求f (x)的極值； （）若存在區(qū)間M，使f (x)和g(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求a的取值范圍 19 （本小題滿分 14 分） x x2y2 1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中 如圖，已知橢圓 43 點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn) （）若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為 1 ，求直線AB的斜率； 4 （）記GFD的面積為S1，OED（O為原點(diǎn)）的面 積為S2試問(wèn)：是否存在直線AB，使得S1 S2？說(shuō)明理由 20 （本小題滿分 13 分） 已知集合S n X | X (x 1,x2 ,L ,x n ), x

8、i N N*,i 1,2,L ,n(n 2) uuu r 對(duì)于A (a 1,a2 ,L ,a n )，B (b 1,b2 ,L ,b n )S n ，定義AB (b 1 a 1,b2 a 2 ,L ,b n a n )； (a 1,a2 ,L ,a n ) (a 1, a 2 ,L ,a n ) (R R)；A與B之間的距離為d(A,B) |a i b i | i1 n （）當(dāng)n5時(shí)，設(shè)A (1,2,1,2,5)，B (2,4,2,1,3)，求d(A,B)； uuu ruuu r （）證明：若A,B,CSn，且 0，使ABBC，則d(A,B)d(B,C) d(A,C)； （） 記I (1,1,

9、 L ,1)S20若A，BS20，且d(I,A) d(I,B) 13，求d(A,B)的最大值 北京市西城區(qū) 2013 年高三一模試卷 高三數(shù)學(xué)（文科）（文科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2013.42013.4 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 8 8 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1 B；2A；3D；4B；5C；6C；7A；8B 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 90；10 71 ；11x ，2； 42 1280%；1324；145，7n22 注：注：1111、141

10、4 題第一問(wèn)題第一問(wèn) 2 2 分，第二問(wèn)分，第二問(wèn) 3 3 分分. . 三、三、解答題：解答題：本大題共本大題共 6 6 小題，小題，共共 8080 分分. .若考生的解法與本解答不同，若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. . 15 （本小題滿分 13 分） （）解：依題意，得f ( 3 ) 0，1 分 4 即sin 3322a acos 0， 3 分 4422 解得 a 1 5 分 （）解：由（）得 f (x) sin xcosx 6 分 g(x) f (x)22sin2x (sin xcosx)22sin2x sin2xcos2x 8 分 2sin(

11、2x)10 分 4 由2k 2x 2k， 242 3 得k x k，kZ Z12 分 88 3 所以 g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k ,k ，kZ Z 13 分 88 16 （本小題滿分 14 分） （）證明：在ABC中， 因?yàn)?AC 3，AB 2，BC 1， 所以 AC BC 2 分 又因?yàn)?AC FB， 所以 AC 平面FBC 4 分 （）解：因?yàn)锳C 平面FBC，所以AC FC 因?yàn)镃D FC，所以FC平面ABCD6 分 在等腰梯形ABCD中可得 CB DC 1，所以FC 1 所以BCD的面積為S 3 7 分 4 13 S FC 9 分 312 所以四面體FBCD的體積為：VFBCD （）解

12、：線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA/ 平面FDM，證明如下： 10 分 連結(jié)CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN 因?yàn)?CDEF為正方形，所以N為CE中點(diǎn) 11 分 所以EA/MN12 分 因?yàn)?MN 平面FDM，EA平面FDM， 13 分 所以EA/平面FDM 所以線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA/平面FDM成立14 分 17 （本小題滿分 13 分） （）解：設(shè)“甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為6元”為事件A，1 分 則P(A) 1( 151 ) 3124 1 4 4 所以甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為6元的概率是 分 （）解：設(shè)甲停車付費(fèi)a元，乙停車付費(fèi)b元，其中a,b 6,14,22,306 分 則甲、乙二人

13、的停車費(fèi)用構(gòu)成的基本事件空間為： (6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30) ，共16種情形10 分 其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)這4種情形符合題意12 分 故“甲、乙二人停車付費(fèi)之和為36元”的概率為P 18.（本小題滿分 13 分） （）解：f (x)的定義域?yàn)镽 R， 且 f (x) e a 2 分 當(dāng)a 0時(shí)，f (x) e，故f (x)在R R上單調(diào)遞增

14、 從而f (x)沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值4 分 當(dāng)a0時(shí)，令f (x) 0，得x ln(a) x x 41 13 分 164 f (x)和f (x)的情況如下： x(, ln(a)ln(a)(ln(a),) f (x) f (x) 0 故f (x)的單調(diào)減區(qū)間為(,ln(a)；單調(diào)增區(qū)間為(ln(a),) 從而f (x)的極小值為f (ln(a) aaln(a)；沒(méi)有極大值6 分 （）解：g(x)的定義域?yàn)?0,)，且g(x) a 1ax1 8 分 xx 當(dāng)a 0時(shí)，f (x)在R R上單調(diào)遞增，g(x)在(0, )上單調(diào)遞減，不合題意 9 分 當(dāng)a0時(shí)，g(x) 0，g(x)在(0, )上單

15、調(diào)遞減 當(dāng)1 a 0時(shí)，ln(a) 0， 此時(shí)f (x)在(ln(a), )上單調(diào)遞增， 由于g(x)在(0, ) 上單調(diào)遞減，不合題意11 分 當(dāng)a1時(shí)，ln(a) 0，此時(shí)f (x)在(,ln(a)上單調(diào)遞減，由于f (x)在(0, )上 單調(diào)遞減，符合題意 綜上，a的取值范圍是(,1)13 分 19 （本小題滿分 14 分） （）解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y k(x1)1 分 x2y2 1，整理得(4k23)x28k2x4k212 0 3 分將其代入 43 8k2 設(shè)A(x 1, y1) ，B(x2, y2)，所以 x 1 x 2 4 分 4k23 x 1 x 2 4k2

16、 2 故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為 24k 3 4k21 ，6 分依題意，得 24k 34 解得k 1 7 分 2 （）解：假設(shè)存在直線AB，使得 S 1 S 2 ，顯然直線AB不能與x, y軸垂直 4k23k , 2 ) 8 分由（）可得 G( 24k 3 4k 3 因?yàn)?DG AB， 3k 24k 3 k 1，所以 4k2 x D 24k 3 k2k2 ,0) 10 分解得 x D ， 即 D( 224k 34k 3 因?yàn)?GFDOED， 所以 S 1 S 2 |GD|OD| 11 分 所以 k24k2 2 3k 2 k2 ( 2 ) ( 2 ) ，12 分 4k 34k234k 34k23 2 整理

17、得 8k 9 0 13 分 因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解， 所以不存在直線AB，使得 S 1 S 2 14 分 20 （本小題滿分 13 分） （）解：當(dāng)n5時(shí)，由d(A,B) |a b |， ii i1 5 得 d(A,B) |12|24|12|21| |53| 7， 所以 d(A,B) 7 3 分 （）證明：設(shè)A (a 1,a2 ,L ,a n )，B (b 1,b2 ,L ,b n )，C (c 1,c2 ,L ,c n ) uuu ruuu r 因?yàn)?0，使ABBC， 所以 0，使得(b 1 a 1,b2 a 2 ,L ,b n a n ) (c 1 b 1,c2 b 2 ,L ,c n b n )

18、， 所以 0，使得b i a i (c i b i )，其中i 1,2,L ,n 所以 b i a i 與cib i (i 1,2,L ,n)同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù) 6 分 所以d(A,B)d(B,C) |a b | |b c | iiii i1i1 nn (|b i a i |c i b i |) i1 n n |c i a i | d(A,C) 8 分 i1 （）解法一：d(A,B) |b a | ii i1 20 設(shè)b i a i (i 1,2,L ,20) 中 有m (m 20)項(xiàng) 為 非 負(fù) 數(shù) ，20m項(xiàng) 為 負(fù) 數(shù) 不 妨 設(shè) i 1,2,L ,m時(shí)b i a i 0；i m1,m2,L ,20時(shí)，b i a i 0 所以 d(A,B) |b a | ii i1 20 (b 1 b 2 L b m )(a 1 a 2 L a m )(a m1 a m2 L a 20 )(b m1 b m2 L b 20 ) 因?yàn)?d(I, A) d(I,B) 13， 所以 (a 1)(b 1)， 整理得 a b iiii i1i1i1i1 20202020 所以 d(A,B) |b a | 2b b ii1 i1 20 2 L b m (a 1