1、第二講 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,【主干知識(shí)】 1.必記定理 (1)線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理:,(2)面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理:,2.重要轉(zhuǎn)化 (1)三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 (2)三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化,3.易錯(cuò)提醒 (1)忽視線面平行判定定理的條件:證明線面平行時(shí),忽視“直線在平面外”“直線在平面內(nèi)”的條件. (2)忽視線面垂直判定定理的條件:證明線面垂直時(shí),忽視“平面內(nèi)兩條相交直線”這一條件. (3)關(guān)注面面垂直的性質(zhì)定理的條件:當(dāng)題目涉及面面垂直的條件時(shí),一般用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直,應(yīng)用時(shí)注意在面面垂直的前提下,過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn),垂直于兩平面交線的直線應(yīng)在其中一個(gè)平面內(nèi).,【

2、考題回顧】 1.(2014嘉興模擬)如圖,梯形ABCD中, ADBC,ABC=90,ADBCAB=2 34,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),將四邊 形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折.給出下列結(jié)論: DFBC;BDFC;平面DBF平面BFC;平面DCF平面BFC.在翻折過(guò)程中,可能成立的結(jié)論是() A. B. C. D.,【解析】選B.考慮:因?yàn)锽CAD, AD與DF相交不垂直,所以BC與DF不 垂直,則不成立; 考慮:設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為 點(diǎn)P,當(dāng)BPCF時(shí)就有BDFC, 而ADBCAB=234可使條件滿足,所以正確; 考慮:當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí),DP平面BDF,從而平面BDF平面BCF,所以

3、正確. 考慮:因?yàn)辄c(diǎn)D的射影不可能在FC上,所以不成立.,2.(2014紹興模擬)已知m,n為兩條不同的直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是() A.若m,則m B.若m,則m C.若m,則m D.若m,m,則 【解析】選B.選項(xiàng)A中m,則m,相交或m;選項(xiàng)C中若m,則m或m;選項(xiàng)D中若m,m,則或相交,故選B.,3.(2014遼寧高考)已知m,n表示兩條不同的直線,表示平面,下列說(shuō)法正確的是() A.若m,n,則mnB.若m,n,則mn C.若m,mn,則nD.若m,mn,則n 【解題提示】否定一個(gè)結(jié)論,只需舉一個(gè)反例即可.,【解析】選B.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中, 直

4、線AA1,AB1分別與平面CC1D1D平行,但是直 線AA1,AB1相交,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤; 根據(jù)線面垂直的定義,一條直線垂直于一個(gè) 平面,則該直線垂直于平面內(nèi)的任一條直線,可見(jiàn)選項(xiàng)B正確; 直線AA1平面ABCD,AA1BC,但直線BC平面ABCD,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;直線AA1平面CC1D1D,AA1CD,但直線CD平面CC1D1D,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.,4.(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知m,n為異面直線,m平面,n平面.直線l滿足lm,ln,l,l,則() A.且l B.且l C.與相交,且交線垂直于l D.與相交,且交線平行于l,【解析】選D.根據(jù)所給的已知條件作圖,如圖所示.由圖可知與相交,且交線平行

5、于l,故選D.,熱點(diǎn)考向一 與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的判斷 【考情快報(bào)】,【典題1】(1)(2014紹興模擬)已知空間兩條不同的直線m,n和兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是() A.若m,n,則mn B.若=m,mn,則n C.若m,n,則mn D.若m,m,=n,則mn,(2)(2014長(zhǎng)春模擬)給出下列關(guān)于互不相同的直線m,l,n和平面,的命題: 若m,l=A,點(diǎn)Am,則l與m不共面; 若m,l是異面直線,l,m,且nl,nm,則n; 若l,m,則lm; 若l,m,lm=A.l,m,則. 其中為假命題的是() A. B.C. D.,【信息聯(lián)想】(1)看到線線平行或線面垂直,想到_

6、_. (2)看到命題,想到_; 看到命題,想到_; 看到命題,想到_; 看到命題,想到_.,線面平行或,垂直的判定與性質(zhì),空間兩條直線的位置關(guān)系,線面平行的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理,線面平行與面面平行的性質(zhì)定理,線面平行的性質(zhì)定理與面面平行的判定定理,【規(guī)范解答】(1)選D.選項(xiàng)A中,m與n也可能異面;選項(xiàng)B中,n與 的關(guān)系不確定;選項(xiàng)C中,m與n可能平行,也可能相交或異面; 選項(xiàng)D由線面平行的性質(zhì)可以確定是正確的. (2)選D.對(duì)于命題,假設(shè)l與m共面,則直線l與m平行或相交,由 于A,Am,則點(diǎn)A和直線m確定平面,又直線l與m共面,則直 線l與m確定平面,則直線m為平面與平面的交線,由

7、于Al 而l,所以A,可知,Am,這與Am矛盾,故假設(shè)不成立, 故l與m不共面,命題為真命題;對(duì)于命題,因?yàn)閙,則在,平面內(nèi)存在直線m1,使得mm1,同理,在平面內(nèi)存在直線l1, 使得ll1,由于直線m與直線l為異面直線,則m1與l1相交,因?yàn)閚 l且nm,所以nm1且nl1,由于m1l1 ,所以n,命題 為真命題;對(duì)于命題,如l,m,當(dāng)時(shí),l,m ,但是直線l與m無(wú)交點(diǎn),則直線l與m平行或異面,故命題為假 命題;對(duì)于命題,由面面平行的判定定理可知命題正確,故 選D.,【規(guī)律方法】判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的兩大方法 (1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定

8、理進(jìn)行判斷. (2)借助空間幾何模型,如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理,進(jìn)行肯定或否定.,【變式訓(xùn)練】m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,有下列命題: 若mn,n,則m; 若mn,m,n,則n; 若,m,n,則mn; 若m,n是異面直線,m,n,m,則n. 其中正確的命題有() A. B. C. D.,【解析】選B.如圖所示的正方體中,設(shè)ABCD為平面,m為AD, n為BC,雖然mn,n,但m和不平行,錯(cuò);若mn,m, n則n和內(nèi)的某條直線平行,故n,正確;若, m,n,則m和n必垂直,正確;設(shè)ABCD為平面,DCCD 為平面,m為AB,n為DC,則m,n

9、是異面直線,m,n, m,但n和相交,故錯(cuò),選B.,【加固訓(xùn)練】設(shè)l是直線,是兩個(gè)不同的平面() A.若l,l,則B.若l,l,則 C.若,l,則lD.若,l,則l 【解析】選B.對(duì)于A:若l,l,則,可能相交,故A錯(cuò);對(duì)于B:若l,則平面內(nèi)必存在一條直線m與l平行,則m,又m,故,從而B正確.對(duì)于C:若,l,則l可能在平面內(nèi),也可能與平面平行,故C錯(cuò).對(duì)于D:若, l,則l可能與平行或l或l與相交,故D錯(cuò).,熱點(diǎn)考向二 證明平行關(guān)系 【考情快報(bào)】,【典題2】已知直三棱柱ABC-ABC,AA平面ABC, BAC=90,AB=AC,點(diǎn)M,N分別為AB和BC的中點(diǎn). 證明:MN平面AACC.,【信

10、息聯(lián)想】看到證明MN平面AACC,想到_ _ _ _.,利用線面平,行的判定定理去證明MN和平面AACC中一直線平行,或利,用面面平行的性質(zhì),過(guò)直線MN作一平面,證明該平面與平面,AACC平行,【規(guī)范解答】方法一:如圖,連接AB, AC.由已知BAC=90,AB=AC,三棱 柱ABC-ABC為直三棱柱, 點(diǎn)M為AB的中點(diǎn). 又因?yàn)辄c(diǎn)N為BC的中點(diǎn), 所以MNAC.又因?yàn)镸N平面AACC,AC平面AACC, 所以MN平面AACC.,方法二:取AB的中點(diǎn)P,連接MP,NP. 因?yàn)镸,N分別為AB和BC的中點(diǎn), 所以MPAA,PNAC, 所以MP平面AACC,PN平面AACC. 又MPNP=P,所以

11、平面MPN平面AACC. 而MN平面MPN,所以MN平面AACC.,【規(guī)律方法】 1.證明線線平行的常用方法 (1)利用三角形中位線定理證明:即遇到中點(diǎn)時(shí),常找中位線,利用該定理證明. (2)利用平行四邊形對(duì)邊平行證明:即要證兩線平行,以兩線為對(duì)邊構(gòu)造平行四邊形證明. (3)利用平行公理證明:即要證兩線平行,找第三線并證明其分別與要證兩線平行即可.,2.證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的判定定理,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)利用面面平行的性質(zhì)定理,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行. 3.證明面面平行的方法 證明面面平行,依據(jù)判定定理,只要找到一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一

12、個(gè)平面平行即可,從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行,再轉(zhuǎn)化為證明線線平行.,【變式訓(xùn)練】1.如圖,在三棱錐S-ABC中,ABBC,AS=AB,過(guò)點(diǎn)A作AFSB,垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).求證:平面EFG平面ABC.,【證明】因?yàn)锳S=AB,AFSB, 所以F是SB的中點(diǎn). 因?yàn)镋,F分別是SA,SB的中點(diǎn),所以EFAB, 又因?yàn)镋F平面ABC,AB平面ABC, 所以EF平面ABC,同理:FG平面ABC, 又因?yàn)镋FFG=F,EF,FG平面EFG, 所以平面EFG平面ABC.,2.(2014安徽高考)如圖,四棱錐P-ABCD 的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形,四條側(cè)棱長(zhǎng) 均為2 .

13、點(diǎn)G,E,F,H分別是棱PB,AB, CD,PC上共面的四點(diǎn),平面GEFH平面 ABCD,BC平面GEFH. (1)證明:GHEF. (2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積.,【解題提示】(1)由線面平行得出BC平行于直線EF,GH. (2)設(shè)BD交EF于點(diǎn)K,則點(diǎn)K為OB的中點(diǎn),由面面垂直得出GK EF,再由梯形面積公式S= 計(jì)算求解.,【解析】(1)因?yàn)锽C平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH, 所以GHBC,同理可證EFBC,因此GHEF. (2)連接AC,BD交于點(diǎn)O,BD交EF于點(diǎn)K,連接OP,GK, 因?yàn)镻A=PC,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn), 所以POAC, 同理

14、可得POBD, 又BDAC=O,且AC,BD都在底面內(nèi),所以PO底面ABCD, 又因?yàn)槠矫鍳EFH平面ABCD,且PO平面GEFH, 所以PO平面GEFH, 因?yàn)槠矫鍼BD平面GEFH=GK, 所以POGK,且GK底面ABCD,從而GKEF, 所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,從而KB= DB= OB,即點(diǎn)K是OB的中點(diǎn). 再由POGK得GK= PO，即點(diǎn)G是PB的中點(diǎn)， 且GH= BC=4，由已知可得OB=4 ，PO= 所以GK=3，故四邊形GEFH的面積S=,【加固訓(xùn)練】在如圖所示的多面體ABCDE中,AB平面ACD,DE平面ACD,且AC=AD=

15、CD=DE=2,AB=1. (1)請(qǐng)?jiān)诰€段CE上找到點(diǎn)F的位置,使得恰有直線BF平面ACD,并證明. (2)求多面體ABCDE的體積.,【解析】(1)由已知AB平面ACD,DE平面ACD, 所以ABED, 設(shè)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn),點(diǎn)H是線段CD的中點(diǎn), 連接FH,AH,則FH ED, 所以FH AB, 所以四邊形ABFH是平行四邊形,所以BFAH, 又因?yàn)锽F平面ACD,AH平面ACD, 所以BF平面ACD.,(2)取AD中點(diǎn)G,連接CG. 因?yàn)锳B平面ACD,所以CGAB, 又CGAD,ABAD=A,所以CG平面ABED,即CG為四棱錐C-ABED 的高,求得CG= ,所以VC-ABED=,

16、熱點(diǎn)考向三 證明垂直關(guān)系 【考情快報(bào)】,高頻考向 多維探究,命題角度一 利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直 【典題3】(2014北京模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1,DB的中點(diǎn). (1)求證:EF平面ABC1D1. (2)求證:EFB1C.,【現(xiàn)場(chǎng)答案】,【糾錯(cuò)析因】找出以上現(xiàn)場(chǎng)答案的錯(cuò)誤之處,分析錯(cuò)因,并給出正確答案. 提示:以上解題過(guò)程中有兩處錯(cuò)誤:一是在第(1)問(wèn)中證明線面平行時(shí),由EFD1B,就直接得出EF平面ABC1D1,造成推理論證不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腻e(cuò)誤;二是第(2)問(wèn)中在用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直時(shí),關(guān)鍵點(diǎn)遺漏,導(dǎo)致推理不嚴(yán)密.,【規(guī)范解答】(1)連接BD

17、1,如圖所示,在DD1B中,點(diǎn)E,F分別為DD1,DB的中點(diǎn), 則EFD1B, 因?yàn)镈1B平面ABC1D1,EF平面ABC1D1, 所以EF平面ABC1D1. (2)因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體, 所以AB平面BCC1B1,所以B1CAB. 又因?yàn)锽1CBC1,AB平面ABC1D1,BC1平面ABC1D1,且ABBC1=B,所以B1C平面ABC1D1. 又因?yàn)锽D1平面ABC1D1,所以B1CBD1. 又因?yàn)镋FBD1,所以EFB1C.,命題角度二 證明線面垂直、面面垂直 【典題4】如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,ABCD,AD

18、C=90, AB=AD=PD=1,CD=2. 求證:平面PBC平面PBD.,【信息聯(lián)想】看到側(cè)面PCD底面ABCD,想到_ _;看到求證平面PBC平面PBD,想到_.,面面垂直的性質(zhì),定理,面面垂直的判定定理,【規(guī)范解答】在梯形ABCD中,過(guò)點(diǎn)B作BHCD于H. 在BCH中,BH=CH=1,所以BCH=45. 又在DAB中,AD=AB=1, 所以ADB=45, 所以BDC=45,所以DBC=90, 所以BCBD,因?yàn)槠矫鍼CD平面ABCD,平面PCD 平面ABCD=CD,PDCD,PD平面PCD, 所以PD平面ABCD, 所以PDBC,BDPD=D,BD平面PBD, PD平面PBD, 所以BC

19、平面PBD,BC平面PBC. 所以平面PBC平面PBD.,【互動(dòng)探究】在本例的條件下,若E為PC的中點(diǎn),試證明BE平面PAD. 【解析】如圖,取PD的中點(diǎn)F,連接EF,AF,因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為PCD邊PC,PD的中點(diǎn), 所以EF CD,所以EF AB, 所以四邊形FABE為平行四邊形, 所以BEAF,AF平面PAD, BE平面PAD,所以BE平面PAD.,【規(guī)律方法】 1.證明線線垂直的常用方法 (1)利用特殊平面圖形的性質(zhì),如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直. (2)利用勾股定理逆定理. (3)利用線面垂直的性質(zhì),即要證明線線垂直,只需證明一線垂直于另一線所在平面即可.,

20、2.證明線面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直的判定定理,把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (2)利用面面垂直的性質(zhì)定理,把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直. (3)利用常見(jiàn)結(jié)論,如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面等.,3.證明面面垂直的方法 證明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,一般先從現(xiàn)有直線中尋找,若圖中不存在這樣的直線,則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決.,【變式訓(xùn)練】(2014寧波模擬)如圖,四面體ABCD中,點(diǎn)O,E分 別是BD,BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= . (1

21、)求證:AO平面BCD. (2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值. (3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.,【解析】(1)因?yàn)锽O=DO,AB=AD,所以AOBD. 因?yàn)锽O=DO,BC=CD,所以COBD. 在AOC中,由已知可得AO=1,CO= . 而AC=2,所以AO2+CO2=AC2, 所以AOC=90,即AOOC. 因?yàn)锽DOC=O, 所以AO平面BCD.,（2）取AC的中點(diǎn)M，連接OM， ME，OE，由點(diǎn)O，E分別是BD， BC的中點(diǎn)知MEAB，OEDC. 所以直線OE與EM所成的銳角 就是異面直線AB與CD所成的角. 在OME中， 因?yàn)镺M是RtAOC斜邊AC上的中線，所以O(shè)M= A

22、C=1， 所以cosOEM= .,（3）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h. 因?yàn)閂E-ACD=VA-CDE， 所以 hSACD= AOSCDE. 在ACD中，CA=CD=2，AD= ， 所以SACD= 而AO=1，SCDE=,【加固訓(xùn)練】(2014韶關(guān)模擬)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn). (1)求三棱錐D1-DCE的體積. (2)求證D1EA1D.,【解析】(1)由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得,DD1平面DCE,所以DD1是三 棱錐D1-DCE的高,又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD=AA1=1,AB=2,所以DE= CE= , DE2+EC2=CD2,所以DEC

23、=90, 三棱錐D1-DCE的體積V=,(2)連接AD1,因?yàn)锳1ADD1是正方形,所以AD1A1D.,又因?yàn)锳E平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1, 所以AEA1D, 又因?yàn)锳D1AE=A,所以A1D平面AD1E, D1E平面AD1E,所以D1EA1D.,【備選考向】平面圖形的“折疊”與“翻折”問(wèn)題 【典題】(2014珠海模擬)如圖(1),在等腰梯形CDEF中,CB, DA是梯形的高,AE=BF=2,AB=2 ,現(xiàn)將梯形沿CB,DA折起,使 EFAB且EF=2AB,得一簡(jiǎn)單幾何體ABCDEF(如圖(2),已知M, N,P分別為AF,BD,EF的中點(diǎn).,(1)求證:MN平面BCF. (2

24、)求證:APDE.,【證明】(1)連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,N為BD中點(diǎn), 所以N為AC中點(diǎn), 在ACF中,M為AF中點(diǎn),故MNCF. 因?yàn)镃F平面BCF,MN平面BCF, 所以MN平面BCF.,(2)依題意知DAAB,DAAE,且ABAE=A, 所以AD平面ABFE, 因?yàn)锳P平面ABFE,所以APAD, 因?yàn)镻為EF中點(diǎn), 所以FP=AB=2 , 結(jié)合ABEF,知四邊形ABFP是平行四邊形,所以APBF,AP=BF=2, 而AE=2,PE=2 ,所以AP2+AE2=PE2, 所以EAP=90,即APAE, 又因?yàn)锳DAE=A,所以AP平面ADE, 因?yàn)镈E平面ADE,所以APDE

25、.,【規(guī)律方法】解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn) (1)搞清翻折前后哪些量改變、哪些量不變,抓住翻折前后不變的量,充分利用原平面圖形的信息是解決問(wèn)題的突破口. (2)把平面圖形翻折后,經(jīng)過(guò)恰當(dāng)連線就能得到三棱錐、四棱錐,從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中解決.,【加固訓(xùn)練】如圖1,在RtABC中,C=90,點(diǎn)D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如圖2.,(1)求證:DE平面A1CB. (2)求證:A1FBE. (3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C平面DEQ?說(shuō)明理由.,【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別是AC,AB的中點(diǎn), 所以DEBC,

26、 又因?yàn)镈E平面A1CB,BC平面A1CB, 所以DE平面A1CB.,(2)因?yàn)镈EBC,ACBC, 所以DEAC, 所以DEA1D,DECD. 因?yàn)锳1DCD=D, 所以DE平面A1DC. 因?yàn)锳1F平面A1DC, 所以DEA1F. 又因?yàn)锳1FCD,CDDE=D, 所以A1F平面BCDE, 因?yàn)锽E平面BCDE,所以A1FBE.,(3)存在.取A1B的中點(diǎn)Q,A1C的中點(diǎn)P, 連接DP,PQ,QE.,則PQBC,所以PQDE. 由(2)知DE平面A1DC, 所以DEA1C,所以PQA1C. 因?yàn)锳1D=DC, 所以A1DC是等腰三角形. 又因?yàn)辄c(diǎn)P為A1C的中點(diǎn),所以A1CPD. 因?yàn)镻DPQ=P, 所以A1C平面PQED, 即A1C平面DEQ.,轉(zhuǎn)化與化歸思想 解決立體幾何中的探索性問(wèn)題 【思想詮釋】 求解立體幾何中的探索性問(wèn)題應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型: 1.探索平行或垂直關(guān)系:求解時(shí),常假設(shè)其存在,在這個(gè)假設(shè)下根據(jù)題