1、3.2立體幾何中的向量方法 第4課時空間向量與空間距離,【閱讀教材】 根據(jù)下面的知識結(jié)構(gòu)圖閱讀教材，初步認識空間距離的各種類型及相應(yīng)的求解方法,【知識鏈接】 1.平面直角坐標系內(nèi)向量的模：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 2.平面向量數(shù)量積的坐標公式：已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則ab=x1x2+y1y2,主題：空間向量與空間距離 【自主認知】 1.觀察棱長為a的正方體ABCD -ABCD. 建立以D為原點，以DA，DC，DD所在直線 為x,y,z軸的空間直角坐標系Dxyz.若向量 試確定P點的坐標，并探討如 何計算線段DP的長度.,提示：由圖形可得D(0,0,0),

2、D(0,0,a),B(a,a,0)， 設(shè)P(x,y,z),由 得(x,y,z-a)= 所以P點的坐標為 要求線段DP的長度，只需計算 且,2.如圖，直線l與平面交于點A，試求出點B到平面的距離. 【提示】n為平面的法向量，,根據(jù)以上探究過程，試寫出空間兩點的距離公式及點到平面的距 離公式： 1.空間兩點的距離 (1)定義：空間兩點間的距離，可以表示為以這兩點為起點和終點的 向量的_.,模,(2)公式：已知A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則 =_， =_. 2.點到平面的距離 (1)定義：一點到它在一個平面內(nèi)正射影的距離. (2)公式：設(shè)平面的法向量為n，B,A，則B點到平面的

3、距離,(x2-x1,y2-y1,z2-z1),【合作探究】 1.平面外一點A到平面的距離，就是點A到平面內(nèi)一點B所成向量 的長度嗎？ 提示：不一定.平面外一點A到平面的距離，應(yīng)該為點A到平面 的垂線段的長度，只有當AB時，結(jié)論才成立.,2.若平面平面，則兩平面，的距離可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)某條直線到平面的距離嗎？是否也可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)某點到平面的距離呢？ 提示：均可以.由面面平行的性質(zhì)知其中一平面內(nèi)的所有點到另一個平面的距離均相等.,【過關(guān)小練】 1.已知空間兩點A,B的坐標分別為(1,1,1),(2,2,2),則A,B兩點的距離為_. 【解析】|AB|= 答案：,2.已知直線AB平面,平面的法向量n=

4、(1,0,1),平面內(nèi)一點C的坐標為(0,0,1),直線AB上點A的坐標為(1,2,1),求直線AB到平面的距離. 【解析】由于直線與平面平行， 故直線AB到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點A到平面的距離， 又因為 =(1，2，0)， 所以點A到平面的距離為,【歸納總結(jié)】 1.空間距離的定義 (1)點到平面的距離：一點到它在一個平面內(nèi)正射影的距離，叫做點到這個平面的距離. (2)直線與其平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離，叫做直線與平面的距離.,(3)兩個平行平面的距離：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平行平面的公垂線.夾在平行平面間的部分，叫做兩個平行平面的公垂線段.兩平行平

5、面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面的距離.,2.向量法求空間距離的注意點 (1)數(shù)形結(jié)合：利用向量法求空間距離時，一定要注意結(jié)合圖形分析，再利用向量求解. (2)向量式的共同點：空間兩幾何元素(點、直線、平面)之間的距離，除兩點間距離及點線距外都具有相同的表達形式. 設(shè)平面的法向量為n(求異面直線間的距離時，取與兩異面直線都垂直的向量為n)，在求距離的兩幾何圖形上各取一點A，B，則距離,(3)特殊性：求距離還常采用等積變換法或歸結(jié)為解直角三角形.利用向量法實際取點時，要選取方便，容易計算的.,類型一：向量法求空間兩點的距離 【典例1】(1)空間內(nèi)有三點A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3

6、,7,0)，則點B到AC的中點P的距離為( ),(2)(2015秦皇島高二檢測)如圖，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CMBNa(0a2)則求MN的長.,【解題指南】(1)先根據(jù)中點坐標公式求出AC的中點P，再利用兩點間的距離公式求解. (2)先建立空間直角坐標系，確定點M，N的坐標，再利用向量的模求兩點間的距離.,【解析】(1)選C.由題意可得 所以 (2)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，C(0,0,1) 因為 且四邊形ABCD，ABEF為正方形， 所以,所以 所以,【延伸探究

7、】本例(2)中條件不變，試判斷a為何值時，MN的長最小？ 【解析】因為 所以，當 時， 即M,N分別移到AC,BF的中點時，MN的長最小，最小值為,【規(guī)律總結(jié)】求空間兩點間距離的兩種方法,【鞏固訓(xùn)練】已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，BAC=90，AB=AC =AA1=2，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，求M，N兩點間的距離. 【解題指南】建立空間直角坐標系確定點M，N的坐標求,【解析】如圖，以A為原點，AB，AC，AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(2，0，0)，C1(0，2，2)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)， 所以N(1，0，2)，M(1，1，1). 所

8、以|MN|= 故M，N兩點間的距離為,【補償訓(xùn)練】(2015沈陽高二檢測)如圖所示，在幾何體A-BCD中，AB平面BCD，BCCD，且AB=BC=1，CD=2，點E為CD中點，則AE的長為(),【解析】選B. 因為 且 又因為 所以 所以AE的長為,類型二：向量法求點直線的距離 【典例2】如圖，在空間直角坐標系中有棱長為 a的正方體ABCD-A1B1C1D1，點M是線段DC1上的動 點，試求點M到直線AD1距離的最小值. 【解題指南】設(shè)出點M的坐標，求出直線AD1的一個單位方向向量s， 利用 求解.,【解析】設(shè)M(0,m,m)(0ma)， =(a,0,a)，直線AD1的一個 單位方向向量 =(

9、0,m,am)，故點M到直線AD1的距離 根式內(nèi)的二次函數(shù)當 時取最小值， 此時 故d的最小值為 即點M到直線AD1距離的最小值為,【規(guī)律總結(jié)】向量法求點到直線距離的步驟 第一步：依據(jù)圖形先求出直線的單位方向向量s. 第二步：在直線上任取一點M(注可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量NM. 第三步：易知垂線段的長度可利用直角三角形中的勾股定理計算,【鞏固訓(xùn)練】直角ABC的兩條直角邊BC3，AC4，PC平面 ABC， 則點P到斜邊AB的距離是_.,【解析】以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 則A(4，0，0)，B(0，3，0)， 所以 所以AP在AB上的投影長為

10、所以P到AB的距離為 答案：3,【補償訓(xùn)練】已知向量n(1,0，1)與直線l垂直，且l經(jīng)過點A(2,3,1)，則點P(4,3,2)到l的距離為( ) 【解析】選B. (2,0，1)， 又因為n(1,0，1)與l垂直， 所以點P到l的距離為,類型三：向量法求點到面、線到面的距離 【典例3】如圖，正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，試求點O到平面ABC1D1的距離. 【解題指南】首先建立適當?shù)淖鴺讼担蟪銎矫鍭BC1D1的法向量，再利用點到平面的距離公式求解.,【解析】以D為原點，DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標系，,則A(1,0,

11、0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 設(shè)平面ABC1D1的法向量n=(x，y，z)， 由 令x=1，得n=(1,0,1)， 又 所以O(shè)到平面ABC1D1的距離 故點O到平面ABC1D1的距離為,【延伸探究】 1.(改變問法)本例條件不變，試求點B1到平面ABC1D1的距離. 【解析】由例題的解析知，平面ABC1D1的一個法向量為n=(1，0，1)， 又因為B1(1,1,1)， 故 所以點B1到平面ABC1D1的距離 故點B1到平面ABC1D1的距離為,2.(改變問法)本例條件不變，若結(jié)論改為“求直線A1B1到平面ABC1D1的距離”，則結(jié)果如何？ 【解析】由例題解析知，平面ABC1D1

12、的一個法向量為n=(1,0,1). 又 =(-1，0，0)，所以A1到平面ABC1D1的距離 又直線A1B1平面ABC1D1， 故直線A1B1到平面ABC1D1的距離為,【規(guī)律總結(jié)】 1.向量法求點到平面的距離的步驟 (1)求出該平面的一個法向量n. (2)找出以該點及平面內(nèi)的某點為端點的線段對應(yīng)的向量a. (3)利用公式 求點到平面的距離.,2.點到平面距離的求法 (1)垂線段法：如圖，BO平面，垂足為O，則點B到平面的距離 就是,(2)斜線段法：若AB是平面的任一斜線段，則在RtBOA中， (3)法向量法：如果平面的法向量為n，則,【鞏固訓(xùn)練】如圖，在長方體ABCD-ABCD中，AB=2，

13、AD=1，AA=1，證明直線BC平行于平面DAC，并求直線BC到平面DAC的距離.,【解題指南】求直線BC到平面DAC的距離.將其轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，首先建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，證明直線BC與平面DAC平行，然后利用點到平面的向量公式求解.,【解析】如圖,建立空間直角坐標系,可得相關(guān)點的坐標為A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0). 則,設(shè)平面DAC的法向量為n=(x,y,z)，則 即 解得x=2y，z=-2y， 取y=1，得平面DAC的一個法向量為n=(2，1，-2). 因為 所以 所以,又因為BC不在平面DAC內(nèi), 所以直線BC與平面DAC平行. 由 =(1，0，0)得點B到平面DAC的距離為 所以直線BC到平面DAC的距離為,【補償訓(xùn)練】在三棱錐S-ABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面 SAC平面ABC，S