1、題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座 a.曲線的軌跡方程的求法 高考要求求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其 轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和 運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn) 重難點(diǎn)歸納求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法(1)直接法直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程(2)定義法 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義

2、(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求1(3)相關(guān)點(diǎn)法根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(4)參數(shù)法 若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化， 我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性,要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念 典型題例示范講解例1如圖所示，已知 P(4, 0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一 點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足/ APB=90 ,求矩形 APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.命題意圖5本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求 曲線的軌跡方程知識(shí)依托:利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的 距

3、離公式建立線段 AB中點(diǎn)的軌跡方程,錯(cuò)解分析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方 程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題技巧與方法：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個(gè)較 易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān) 點(diǎn)，求得軌跡方程解工 設(shè)AB的中點(diǎn)為R,坐標(biāo)為(x,y),則在RtAABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理3在RtAOAR中，|AR2=|AO|2 一|OR|2=36 (x2+y2)又|AR|=|PR|= . (x 4)2 y2所以有(x-4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y2-4x- 10=0因此

4、點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng) R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡 上運(yùn)動(dòng)設(shè)Q(x,y), R(xi,yi),因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以 刀=)，0_y_0 ,22代入方程x2+y2-4x- 10=0，得(瀘弓)2 41 10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.例2設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知 OAXOB, OMXAB,求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線”命題意圖；本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程 ,知識(shí)依托3直線與拋物線的位置關(guān)系.錯(cuò)解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi,yi),(x2,y2)時(shí)，注意對(duì)xi=x2” 的討論技巧與方法。將

5、動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消 掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系，解法一：設(shè) A(xi,yi),B(x2,y2),M(x,y) (xW 0)直線AB的方程為x=my+a由 OMLAB,得 m= yx所以 yiy2= 4pa, xix2=(yy2)2(4p)2所以，由OAOB,得xix2 = 一yiy2由 y2=4px 及 x= my+ a,消去 x,得 y24Pmy 4pa=0所以 a2 4pa a 4p故 x=my+4p,用 m= 丫 代入，得 x2+y24Px=0(xw 0)x故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24Px=0(xw 0),它表示以(2p,0)為圓心, 以2P

6、為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法二：設(shè)OA的方程為y kx,代入y2=4px得人(22，個(gè))i2則OB的萬程為y - x ,代入y2=4px得B(2 pk , 2 pk) kk：AB的萬程為y 2(x 2p),過定點(diǎn)N(2p,0),1 k2由OMAB,得M在以O(shè)N為直徑的圓上(。點(diǎn)除外)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24Px=0(xw 0),它表示以(2p,0)為圓心， 以2P為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法三；設(shè)M(x,y) (xW0), OA的方程為y kx ,代入y2=4px得A(穹,空)k k1 2則OB的萬程為y x ,代入y2=4px得B(2 pk2, 2 pk) k由OMAB,得M既在以O(shè)

7、A為直徑的圓器x2 y2 2Px 2Py 0上，k2 k又在以O(shè)B為直徑的圓,x2 y2 2pk2x 2pky 0上(。點(diǎn)除外)， k2+ 彳導(dǎo) x2+y24Px=0(x0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24Px=0(xw 0),它表示以(2p,0)為圓心，以2P為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)例3某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為 3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同 號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？命題意圖本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn) 化為數(shù)學(xué)問題的能力知識(shí)依托；圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn)(錯(cuò)解分析：正

8、確理解題意及正確地將此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順 利解答此題的關(guān)鍵技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動(dòng)圓圓 心的軌跡方程解；設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為 O、A、B,問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓 P、Q,使它們與。相內(nèi)切，與。A、OB相外切，建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)。P的半徑為r,則|PA|+|PO|=(1 + r)+(1 5-r)=2. 5點(diǎn)P在以A、。為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2. 5的橢圓上， 其方程為1 216(x / 2y253同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2的橢圓上，其方程為(x 1 )2+ -y2=123由、可解得P(9,12),Q(9, 12),(9)2, 1414

9、 1414 143r=2故所求圓柱的直徑為 6 cm7例4已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M到A與到B的距離比為常數(shù) 入，求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線解；建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則 A（a,0） ,B（a,0）設(shè)M（x,y）是軌跡上任意一點(diǎn)（則由題設(shè)，得iMA-1 =入，坐標(biāo)代入|MB |三二z=入化簡(jiǎn)得（x a）2y2（1 入 2）x2+（1 入 2）y2+2a（1+ 入 2）x+（1 入 2）a2=0（1）當(dāng)入=1時(shí)，即|MA|二|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是 x=0,點(diǎn)M的軌跡 是直線（y軸）（2）當(dāng)入w 1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是2 2 2a(12)2x2+y2+5- x+

10、a2=012軌跡是以（a1工0）為圓心,122a2a 2為半徑的圓，|121學(xué)生鞏固練習(xí)1 已知橢圓的焦點(diǎn)是 F1、F2, P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|二|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（）A 圓B 橢圓 C 雙曲線的一支 D 拋物線22x y2 設(shè)A1、A2是橢圓 =1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A294的弦的端點(diǎn)，則直線22x yA A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為（）22xy/c 1943 ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn),2上 14B(-,0),C(-,0),且滿足條221件sinCsinB= sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡萬程為24,高為5 m和3 m的

11、兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m,如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(-5, 0)、B(5, 0),則地面觀測(cè)兩旗桿頂端EF ODABC仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是 5,已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6, 。0切直線l于點(diǎn)A,又過B、C作。O異于l的兩切線, 設(shè)這兩切線交于點(diǎn) P,求點(diǎn)P的軌跡方程.x2y2. . 一 6.雙曲線 二1的實(shí)軸為A1A2,點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),a b引AiQXAiP, A2QXA2P, A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q,求Q點(diǎn)的軌跡方程27已知雙曲線二 m2與=1(m0,n0)的頂點(diǎn)n為Ai、A2,與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn) P、 Q(1

12、)求直線AiP與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)mwn時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、 準(zhǔn)線方程和離心率228 已知橢圓 2 匕 =1(ab0),點(diǎn)P為其上a b一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2為橢圓的焦點(diǎn)，/ F1PF2的外角平分線為l, 點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q, F2Q交l于點(diǎn)R(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為 C,直線P y=k(x+*Qa)與曲 線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng) AOB的面積取得最大值時(shí)，求 k的值.參考答案1 解析。|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,，|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|FQ|=2a,.動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)

13、Fi的距離等于定長(zhǎng)2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓答案 A2 解析/ 設(shè)交點(diǎn) P(x,y) ,Ai( 3,O),A2(3,0),Pi(x0,yo),P2(x0, yo).Ai、Pi、P 共線,y VoxXoyx-3. A2、P2、P 共線,yyoxxo2222解得xo=9,yo 3X,代入得迎”1,即士上1 x x9494答案 C3 解析& 由 sinCsinB=lsinA,得 cb=1 a,22，應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長(zhǎng)為,故方程為216x22a16y2a-1(x -)3a2422答案416) 1(x a)a23a24534 解析：設(shè) P(x,y),依題息有.，化簡(jiǎn)得 P,(x 5)2y2(x 5)

14、2 y2點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y2 85x+ioo=o答案4x2+4y2 85x+ioo=o5 解 設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切。O于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于 點(diǎn) P, 由切線的性質(zhì)知：|BA|二|BD|, |PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|,故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立22坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程為 y-=1(ywo)81726 解：設(shè) P(xo,yo) (x

15、w a),Q(x,y)Ai(a,o),A2(a,o由條件yyox a xo ayy。x a xo a1 xo得yox(xoa)而點(diǎn) P(xo,yo)在雙曲線上，/. b2xo2 a2yo2=a2b222即 b2(-x2)-a2(- )2=a2b2y化簡(jiǎn)得Q點(diǎn)的軌跡方程為a2x2- b2y2=a4（xw 土 a）解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（Xi,yi）,則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(xi, yi),又有 Ai(一m,0）,A2（m,0）,則 AiP 的方程為：y= yi (xximm)A2Q的方程為& y=- -y(x xi mm)X得，y2=_ xi2Jx2mm2)又因點(diǎn)P在雙曲線上,2 xi -2 m2ti,即yi2

16、 n2n z 22 ( xim一2m ).2J2n此即為M的軌跡方程，2代入并整理得2萬m（2）當(dāng)mwn時(shí)，M的軌跡方程是橢圓,（i ）當(dāng)mn時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土 Jm2 n2 ,0）,準(zhǔn)線方程為x= 2m22-m n離心率22e=、m nm ，(ii)當(dāng)m n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0, Vm2n2 ）,準(zhǔn)線方程為y=2n22.n m離心率22.n me=n點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接PQ,，/F2PR=/QPR, |F2R|=|QR|, |PQ|=|PF2|Fi、P、Q在同一直線上，設(shè)存在又因?yàn)閘為/ FiPF2外角的平分線，故點(diǎn)R(xo,yo) ,Q(xi,yi),Fi(-c,0),F2(c,0).|FiQ|=|F2P|+|PQ|=|FiP|+|P