1、談二次函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想、圖象性質(zhì)的強化與完備安徽省安慶市宜秀區(qū)五橫初中 戴向陽郵編246051 電二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)重點中的“重點”。在北師大版數(shù)學(xué)教材中，二次函數(shù)學(xué)習(xí)是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的最后一站。在上?？萍及嬷校幢壤瘮?shù)也不過是函數(shù)學(xué)習(xí)的一個補充。學(xué)生的數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想方法以及對圖象“精、準(zhǔn)、靈活”的駕馭能力，都是在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中提高、強化和完備的。二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，涉及整個初中代數(shù)絕大多數(shù)內(nèi)容，它是建立在整式、函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)之上的，是一次函數(shù)、方程、不等式等諸內(nèi)容的延伸，同時也為高中函數(shù)的繼續(xù)學(xué)習(xí)儲備數(shù)學(xué)意識、思想方法、駕馭圖象的能力，并為高中后續(xù)

2、學(xué)習(xí)提供了探究方向和手段。 函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)意識的強化與完備 函數(shù)的學(xué)習(xí)一直是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中的難點。很多學(xué)生有“恐函癥”，尤其在二次函數(shù)學(xué)習(xí)中更為明顯。究其原因，其中之一是數(shù)學(xué)意識薄弱。數(shù)學(xué)意識是指，根據(jù)文字或圖形信息自發(fā)映射出相關(guān)知識的“聯(lián)想”和相應(yīng)的“數(shù)學(xué)行為”。數(shù)學(xué)意識，它獨立并高于具體的數(shù)學(xué)技能，是對信息的宏觀、常規(guī)把握。因此它也不同于具體的解題思路。解題思路是思維綜合分析的產(chǎn)物，是有意識思維活動的結(jié)果。數(shù)學(xué)意識，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)驗、體會的積累，并在以后的學(xué)習(xí)中通過條件反射的形式，出現(xiàn)在解題思路里。在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)加大、加強數(shù)學(xué)意識的滲透，樹立以下數(shù)學(xué)意識，完

3、善學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)中的代數(shù)意識形態(tài)。 1、已知自變量（或點的橫坐標(biāo)）x的值，代入函數(shù)解析式可求函數(shù)（或點縱坐標(biāo)）y的值。2、已知函數(shù)（或點的縱坐標(biāo)）y的值，通過解相應(yīng)方程可求自變量（或點橫坐標(biāo)）x的值。3、已知點的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入函數(shù)解析式尋求問題的解答思路。4、求交點坐標(biāo)，想到解兩個圖象的聯(lián)立方程組。5、已知交點坐標(biāo)，可分別將交點坐標(biāo)代入兩個圖象所代表的解析式中，探求問題的出路。6、函數(shù)圖象與y軸交點縱坐標(biāo)即是函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)解析式中的常數(shù)項。7、求與y軸交點，想到令自變量x=0，代入解析式計算y值。8、求圖象與x軸交點，想到令函數(shù)y=0，解函數(shù)解析式=0的方程。9、函數(shù)解析式右邊>0的不等式的解

4、集，對應(yīng)于橫軸（x軸）上方圖象所對自變量的取值范圍。10、函數(shù)解析式右邊<0的不等式的解集，對應(yīng)于橫軸（x軸）下方圖象所對自變量的取值范圍。11、函數(shù)圖象是把滿足函數(shù)解析式的一對x、y值作為點，通過在坐標(biāo)系中描繪這一系列點得到的。12、研究圖象上升或下降的走勢，總是從左往右看的。13、函數(shù)最小值，在圖象最低點取得；函數(shù)最大值，在圖象最高點取得。上述函數(shù)的數(shù)學(xué)意識，適用于任意函數(shù)。二次函數(shù)學(xué)習(xí)，除關(guān)注上述數(shù)學(xué)意識的深化外，還應(yīng)強調(diào)其獨特的意識。參數(shù)的幾何意識。a>0，開口向上；a<0，開口向下；a決定拋物線的開口大小，a越大開口越?。籥、b決定對稱軸；c為拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)

5、；a、b、c共同影響頂點縱坐標(biāo)。拋物線與x軸交點個數(shù)，同一元二次方程的聯(lián)系；一元二次方程的兩根關(guān)于對稱軸對稱，若對稱軸x=k，一元二次方程的兩根為m、n，則m+ n=2k 。拋物線平移、翻拆等變換，不改變二次項系數(shù)；尋求變換后的頂點，謀取變換后的拋物線解析式。拋物線的增減性，必須先明確其對稱軸，然后結(jié)合開口方向討論；比較幾個點縱坐標(biāo)的大小，考慮點橫坐標(biāo)離對稱軸遠(yuǎn)近標(biāo)出點的近似位置，根據(jù)點的高矮判斷大小。拋物線頂點有三種求法：其一、運用頂點公式，其二、配方把解析式化成頂點式，再次、求出頂點橫坐標(biāo)，代入解析式求頂點縱坐標(biāo)。拋物線解析式有三種設(shè)法：已知頂點設(shè)頂點式，已知一元二次方程兩根設(shè)兩根式，其它

6、時設(shè)一般式。頂點、對稱軸公式是在一般式情況下套用的。關(guān)于參數(shù)a、b、c的線性代數(shù)式，看看能否視為特殊x下的函數(shù)值。 數(shù)學(xué)意識，為函數(shù)問題預(yù)期解答，指出了方向。數(shù)學(xué)意識，有助于數(shù)學(xué)解題思路的形成。 例1如圖所示，下列結(jié)論中正確的有_ 。 2 -2 -1 1 A abc>0 B 4a-2b+c<0 C 2a-b<0 D b2+8a>4ac E b24ac<0 分析：由意識，知E不正確。因C項與a、b有關(guān)，由意識可知，該問題應(yīng)根據(jù)對稱軸來尋求思路。由圖象知- b/2a >-1，a<0，易得C正確。根據(jù)意識，4a-2b+c是x=-2時對應(yīng)的函數(shù)值，觀察圖象顯然

7、有4a-2b+c<0 。A選項關(guān)鍵是判斷a、b、c的符號，由意識不難判斷A選項正確。D選項與a、b、c有關(guān)，且具有4ac、b2、4a成份，由意識自然聯(lián)想到頂點縱坐標(biāo)公式。經(jīng)整理D選項得（4ac-b2）/4a<2 ，這與圖象所示矛盾，從而D項不正確。重視數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)、運用、強化二次函數(shù)作為初中教材的特殊地位，還表現(xiàn)在它包含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，它擔(dān)負(fù)著對這些思想方法進行系統(tǒng)介紹、傳授、滲透與強化的重任，進而完備學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。其主要有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想。、轉(zhuǎn)化思想，就是當(dāng)某個問題不易直接獲解時，可試著轉(zhuǎn)化為另一形式或類型的問題，使問題獲得簡便的解法。利用轉(zhuǎn)化數(shù)

8、學(xué)思想，可把一些代數(shù)或幾何問題化為直觀的二次函數(shù)來解答。例2 m為何值時，關(guān)于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0有兩個不相等的實根，且一根大于，另一根小于。解：構(gòu)造二次函數(shù)y=x2+（m+1）x+m+4 。 因a=1>0，所以函數(shù)圖象是開口向上的拋物線。 于是，關(guān)于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0有兩 個不相等的實根，且一根大于，另一根小于， 2 這相當(dāng)于拋物線與x軸有兩個交點，且一點在點 （2，0）的左邊，另一點在點（2，0）的右邊，如圖2， 即相當(dāng)于x=2時，y<0 。因22+（m+1）×2+ m+4 <0 ， 圖2 所以m <-10/3 、數(shù)形

9、結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合是指把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述結(jié)合起來，使代數(shù)問題幾何化或幾何問題代數(shù)化，從而將抽象的思維與形象思維結(jié)合的一種思想方法。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的典型內(nèi)容，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)能直觀地反映數(shù)學(xué)問題中“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系。正所謂“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。二次函數(shù)學(xué)習(xí)是樹立“數(shù)形結(jié)合思想”觀念的最佳時期、關(guān)鍵時期。數(shù)形的辯證統(tǒng)一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和詣美、統(tǒng)一美。例3 求使得不等式x2+px+q2當(dāng)x時恒成立的實數(shù)對（p，q）。解：對于函數(shù)yx2，當(dāng)x的值連續(xù)增加時，要使函數(shù)值的變化幅度不大于，只能使x從-變到2（如圖3所示

10、）。令y=x2+px+q ，因它與y= x2的圖象形狀相同，位置不同，所以由平移可知，當(dāng)x時，要使x2+px+q2恒成立，y=x2+px+q的圖象只能如圖4 所示，此時拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，-2）。-p/2=3，32+3p+q=-2 。解得p=-6，q=7 。故所求的實數(shù)對只有（-6，7）。 4. 2 2. 1 3 5 -2 -2 2 圖3 圖4 、函數(shù)思想，是指從函數(shù)的視角審察問題，建立函數(shù)模型，解決方程、不等式、幾何問題、實際問題、方案設(shè)計與面積問題等。下面是一道中考題，大多考生是通過相似建立等量關(guān)系，再用二次函數(shù)求最值。解答比較復(fù)雜，但是用下面函數(shù)方法要簡潔、明了的多。 例5 已知邊長

11、為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖5所示），其中AF=2，BF=1。試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積。 E A F A M P B M P B D N C D N 圖5 圖6 解：如圖6所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形PNDM面積為S。因P點在線段AB上運動，令P（x，y），則y是x的一次函數(shù)。于是S=xy，顯然S是x的二次函數(shù)，不妨設(shè)S= ax2+bx+ c 。當(dāng)P點在A點（即x=2）時，S=2×4=8；當(dāng)P點在B點（即x=4）時，S=4×3=12；當(dāng)P點在AB的中點（即x=3）時，S=3×3.5=10.5 。從而有： 4a+2b+c=8

12、a= -0.5 16a+4b+c=12 解得 b=5 所以S=-0.5x2+5x（2x4）， 9 a+3 b+ c=10.5 c=0 此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5 。當(dāng)x5時，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對2x4來說，當(dāng)x=4時，S有最大值，S最大=（-1/2）×42+5×4=12 。 另解：如圖6所示建立直角坐標(biāo)系，則有A（2，4）、B（4，3），于是AB的解析式為y=-0.5x+5 ,故令DN=x時，DM=-0.5x+5 。若設(shè)矩形PNDM面積為S，于是S=x（-0.5x+5）=-0.5x2+5x（2x4），此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5 。當(dāng)x5

13、時，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對2x4來說，當(dāng)x=4時，S有最大值，S最大=（-1/2）×42+5×4=12 。教學(xué)中要強化并完備二次函數(shù)圖象的性質(zhì)全面系統(tǒng)的歸納拋物線性質(zhì)，理解并掌握圖象特點，達到靈活、巧妙地運用。使學(xué)生對二次函數(shù)圖象特點有個整體的全局的認(rèn)識，培養(yǎng)解題能力，提高解題技巧，贏得解題時間。 一、 利用增減性 例6 已知a<-1，點(a-1,y1)、(a，y2)、(a+1，y3)都在y=x2的圖象上，則（ ）A y1 < y2 < y3 B y1 < y3 < y2 C y3 < y2 < y1 D y2 < y

14、1 < y3 解：由解析式y(tǒng)=x2知，拋物線開口向上，對稱軸為y軸。又由a<-1知，a+1<0 。故a-1<a<a+1<0 ，所以給定三個點均在y軸左側(cè)，依據(jù)圖象性質(zhì)知y隨x的增大而減小知y1>y2>y3 ，因而選C。 二、利用對稱性 例7 已知二次函數(shù)y= ax2+bx+ c (a0)的頂點坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象。由圖象可知關(guān)于的一元二次方程ax2+bx+ c=0 的兩個根分別是x1=1.3和x 2= _ 。 -1 1 2 解：由頂點坐標(biāo)易知，拋物線的對稱軸為直線x = -1。又因為拋物線是軸對稱圖形，所以圖象與x軸的兩個交點關(guān)于x

15、= -1對稱 。根據(jù)題意已知一個交點（1.3，0），故其關(guān)于x = -1的對稱點是（-3.3，0）。想到拋物線與一元二次方程的聯(lián)系，得知方程另一根為x 2=-3.3。 例8 二次函數(shù)y= ax2+bx+ c 的不部分對應(yīng)值如下表：X-3 -2 0 1 3 5 y7 0 -8 -9 -5 7 二次函數(shù)y= ax2+bx+ c 圖象的對稱軸為x=_ ，x=2對應(yīng)的函數(shù)值y=_ 。 分析：拋物線是軸對稱圖形，拋物線上點關(guān)于其對稱軸對稱的充要條件是縱坐標(biāo)相等。由表格可知拋物線經(jīng)過（-3，7）、（5，7）點，從而對稱軸為x=1/2（-3+5）=1。根據(jù)表格易知圖象上（2，m）點關(guān)于x =1的對稱點是（0

16、，-8），所以m =-8，即x=2時，y=-8 。 三、利用增減性和對稱性 例9 已知二次函數(shù)y=3（x-1）2 +k的圖象上有三個點A（2 ，y1），B（2，y2）， C（-5 ，y3）則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）A y1>y2>y3 B y2 > y1 > y3 C y3 > y1 > y2 D y3 > y2 > y1 解：由解析式知拋物線對稱軸為x=1，C點關(guān)于x=1的對稱點D坐標(biāo)是（5+1，y3），由于1<2<2<5+1，顯然A、B、D點均在對稱軸右側(cè)且依次遠(yuǎn)離對稱軸。因a=3>0，拋物線開口向上，在對稱

17、軸右側(cè)函數(shù)的值是隨x的增大而增大，因此y1<y2<y3 ，所以D正確。 四、利用平移知識例10 已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+ c=3的一個根為x1=2，且二次函數(shù)y= a x2+b x+ c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標(biāo)為_。 解：令y1= ax2+bx+ c-3 ，據(jù)ax2+bx+ c=3的一個根為x1=2，即ax2+bx+ c-3=0的一個根為x1=2，換言之y1= ax2+bx+ c-3與x軸交點為（2，0）。又由解析式知函數(shù)y與y1的對稱軸相同，即y1的對稱軸是x=2，故y1的頂點為（2，0）。而y可看成，y1 保持對稱軸不變向上平移3個單位得到的，所以其頂點坐標(biāo)為（2，3）。 五、利用翻折知識。求拋物線關(guān)于y軸或x軸或其它直線翻折后的解析式，抓住頂點的變化，會使問題輕松、易解。 例11 如圖，已知拋物線C1、C2關(guān)于x軸對稱， C3 C1 拋物線C1、C3關(guān)于y軸對稱。如果拋物線C2 的解析式是y=（-3/4）（x-2）2+1，那么 拋物線C3的解析式是_。 C2 解：根據(jù)C2 的解析式知，C2的頂點為（2，1）。由于C1與C2關(guān)于x軸對稱，故C1的頂點為（2，-1）。又由C1與C3關(guān)于y