1、全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一入學(xué)考試數(shù)學(xué)公式大全三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)導(dǎo)數(shù)公式:三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)(arctg 打=(arccosc)'= 一11+x2(tgM = sec2 x (ctgM，= _csc?x (secx)r = secxtgx (cscx) =-cscx ctgx (ax)f = ax In a(arcsinx)1 =Vl-x2三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)(logx)' =1xlna(aicctgM = _11+x2三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)三角函數(shù)

2、的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)基本積分表：j tgxdx= - ln|cosx| + C j ctgxdx= ln|sin x|+C secxdx= ln|secx+tgx| + Cesc xdx= In esc x-+ Cdx 1 x =-arctg-+C a + x- adx 1 f =r = _ In x- - a- 2adx 1 f a + x _-=In+ Ca - - x- 2a a - x dx x=arcsill + CaI = sec2 xdx= tgx+ CJ cos" x J f =I esc2 xdx= -ctgx+ C -siir x | secx tgxri

3、x= secx+ CI cscx ctgxdx=-cscx+C| slixdx= chx+ CI chxdx= shx+ C/ “$ = ln(x+ vx3 ± a2) + CVx2±a2三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)n-Jsinn xdx=cosn xdx= -_-0n2Jx2* a'dx= 7x2 + a2 + ln(x+ y/x2 + a2) + CJ 2 2| Va2-x2dx= j Va2 - x2+ arcsin+C2a三角函數(shù)的有理式積分:第1頁(yè)共25頁(yè)sinx =2u1 + u2cosx =dx=2 du1

4、+ u2第3頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)兩個(gè)萱要極限:雙曲正弦:shx=2ex + e"x雙曲余弦:chx=2雙曲正切:thx= =:chx e + esinx=1lim(l +丄)J e = 2.71828182829045.XT8 X一些初等函數(shù):第#頁(yè)共25頁(yè)arshx= ln(x+ vx3 +1) archx= ±ln(x+ vx-1) arthx= ln- 21- x三角函數(shù)公式: 誘導(dǎo)公式：第#頁(yè)共25頁(yè)、數(shù)角Asincostgctg-a-sinacosatga-ctga90°-acosasinactgatga90°+acosa-sinactga

5、-tga180°-asina-cosatga-ctga180°+a-sina-cosatgactga2705-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tgactga360°+asinacosatgactga和差角公式:和差化積公式：第#頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)sin(a± p) = sinacos/?± cosa sin p cos(a± 0) = cosa cos/J + sin a sin p.= Q+0&-0sin «

6、+ sin p = 2 sincos2 2tg(a±0) =tga 士 tg/?1 干 tgatg0sin a-sin 0 = 2cossinCtg(°±0)=叱空空ctg/7 ± ctgacosa+ cos0 = 2cosa+ p2a-p2cosa- cos/? = 2 sinsin第4頁(yè)共25頁(yè)倍角公式:sin 3a = 3sina-4sin3asin2<z = lanacosacosla = 2 cos2 a-l = l-2sin2a = cos2 a-sin2 a第5頁(yè)共25頁(yè)ctg2a =ctg2a-l2ctgatg2a =2tgal-t

7、g2acos3a = 4 cos3 Q - 3 cosa3tga-tgztg3a =?l 3tgs第#頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)半角公式:.a 1-cosaa 1-cosa 1-cosasin atg = ± I=2V1 + cosa sin a 1+ cosa正弦定理：= = =2R sin A sin B sin C反三角函數(shù)性質(zhì)：aicsin x= - accos x2高階導(dǎo)數(shù)公式一萊布尼茲(Leibniz)公式:aCOSy =a /1+ cosa 1 + cosa sin a ctg= ± J=2 一 cosa sin a 1-cosa余56理：c2 = a2 + b

8、2-2abcosCarctgx =arcctgx第#頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)(u(n) = fc>(n-k)v(k)k=D(n)(n-i) n(n -1) (n-2)卯11(11 -1) (n - k +1) (n-k)(i)3=ir ;v+ mr P+ if + + if 7 + + uv '2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗口中值定理:f(b)- f(a)= f ()(b-a)柯西中值定理蘭口亠學(xué)F(b)-F(a)F'©當(dāng)F(x) = x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗口中值定理曲率：弧微分公式：ds= J1+ y'd%其中y' = tg&

9、平均曲率衣彳譬卜Q：從M點(diǎn)至IJM'點(diǎn)，切線斜率的傾角變匕量：As： MM弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率:ArzdalimA$tOAsds直線：K = 0;定積分的近似計(jì)算: 矩形法彳 f(x)« -(y0 + Yi + + y)ab _梯形法* f(x)« -(y0 + %)+% + + Yn-lQ拋物線法f（x）«金即読+y+"y?+y。+ 丫心）+縱+3+yj】定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W=F s水壓力：F = p-A引力:F=k巴羋,k為引力系數(shù) 廠函數(shù)的平均值力丄jf（x）dx b-a ;均方根厲jfdt空間解析幾何和向代數(shù)：空間2點(diǎn)的距離：d 二 |

10、MM2|= J(x? 丘)'+ (y? - yj? + (z? - zj，Pi 人佰 i + a2) = Pr j 需 + Prja2a- b = |a| - b cos8= axbx + ayby + azb2,是一個(gè)數(shù)量?jī)上蛄恐g的夾角cose =匸一：備亠JaJ + aJ + aJJbJ + byd + b；i j k c = a xb = ax ay az,c| = a b sinft例：線速度:v = wxf.4 by b2_ax ay az_向量的混合積苗6可=(斤x6)C= bx by b2 =礦x6卡|cosa,a7j銳角時(shí),cx Cy c2代表平行六面體的體積平面的方

11、程：1、點(diǎn)法式：A(x-Xq) + B(y- y0) + C(z- Zq) =其 +n = AB,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D = O3、截距世方程芒+ f 1a b c平面外任童一點(diǎn)到該TW的距離：dJ + Byo + CZp + Dlva2 + b2 + c2X= Xq + lilt空間直線的方程；X = y y° = z ' = t，其屮g = m,n, p;參數(shù)方程：y= y0 + nt 11111pz=Zo+ pt 二次曲面：1、橢球面茫+卓車1a- lr c-2、拋物而二+Yl=z,(p,q同號(hào))2p 2q3、雙曲而：Jr r單葉

12、雙曲面塵+賽_=1獷 lr c*>*>*>雙葉雙曲面巴一 £+4=1(馬鞍面)a- lr c"多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz= dx+dydu= dx+ dy+ dzchc dydx. dy dz內(nèi)一d + 空慶al一比 尹=s 氐亦業(yè)一&z= fu (兀 y),v(x,y)全微分的近似計(jì)算：Az« dz= fx(x,y)Ax+ fy(x,y)Ay 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 z= fu(t),v(t)乎= at當(dāng)u = u(x,y), v=v(x,y)時(shí),第7頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)du=sdx+ldy皿空dx+空dy dx dy第#頁(yè)共2

13、5頁(yè)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:dy =Fxd'yH)+1( -dxdxrdx Fv dy Fv dxdzFxdzFydx.9Fz隱函數(shù)F(x,y) = O隱函數(shù)F(x,y, z) = 0>OFjF(x,y,u,v) = 0O(F,G)_aTFu FUV(G(x,y,u,v) = 0_ (u,v)-空G GUVdi隱函數(shù)方程組Ai1d(F,G)dv10(F,G)OxJ0(NV)JO(u,x)Ai,10(F,G)dv1O(F,G)3J0(yM6Jogy)微分法在幾何上的應(yīng)用；X十t)空間曲姒y“)在點(diǎn)叫"處的切線方程就Z= 69(t)在點(diǎn)M處的法平面方程：0(t(x-觀)+ (to

14、)(y- y0) + (t0)(z-Zo)= O，則切向吩G:鑼:噩冷若空間曲線方程為4F(x,y,z) = 0G(x.y,z) = 0曲ffiF(x,y,z) = O±M(x0,yo,z0)> 則:1、過(guò)此點(diǎn)的法向量:n = Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),F2(x0,y0,z0)2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程 Fx(Xo，yo,Zo)(x- Xo)+y0)+ Fz(x0,y0,z0)(z- Zq) = 0x-Xq _ y-y0 _ z_Zq3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程.兀鉉必金)F/Xqo.Zo)尺,。,)方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù)z = f(x,y)在一點(diǎn)p(x, y)沿任

15、一方I訕的方向?qū)?shù)為色=cos(p+ sin cp cl 5xdy其中泌JX軸到方向的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z= f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y) = 各j ox dy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是一=grad f (x, y)h其中 = cos©i + sin 0 j為1方向上的 a單位向量。.£是gradf(x,y)在1上的投影。 a多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)心(觀'旳)=©(觀，旳)=0，令：匚(心,)=£, f/XoyoXClAO,(XQ,yo)為極小值則X AC-B2 <0時(shí)，無(wú)極fiAC_B=0吋，不確定直積分及其應(yīng)用:I

16、f (x,y)dxdy= J| f (i cos&,r sin&)rdrd&DD曲而z= f(x,y)的面積A=dxdy第9頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)fJ(X,y)dcrJJyp(x,y)db平面薄片的重心：壬=也=.M J|p(x,y)dcrM JJp(x,y)dcrDD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)丁*x軸Ix = JjVp(x,y)d6對(duì)丁y軸Iy = JJxp(x,y)d(7DDH P(x,y)xdc d (x2 + y3 + a 予平面薄片(位于xo汁面)對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)皿(0,0,町,點(diǎn)>0)的引力：F=Fx,Fy,F2,其中:Fy = fjj y)y3, F2 =

17、 -fan zrJ、百u (x + y- + a-)-F = f 口 p(x,y)xckrD (x2 + y2 + a2)x= r cos®柱面坐標(biāo)* y = r sin 0,z= z柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：j| | f (x,y,z)dxdydz= |j F (r,z)rdrd6Uz, Qa其中：F(t,Q、z)= f(rcos,rsin6.z)x = r sin(pcosO球面 坐標(biāo)*y=r sin0sin®dv= rdr sin>- d- dr = r2sin (pdrdqxiOz=rcos02<<T(00)II f (x,y,z)dxdydz= |j|

18、 F(r,>,)r2sindrdd= j d| d(p j F(r,)r2 sindrQQ000重心咖V,y=”Jy°dv, 2=制”咖轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix = ffJ(y2 + z2)pciv Iy = fJJ(x2 + z2)txiv Iz = JJj(x3 + y2)pdv曲線積分:第#頁(yè)共25頁(yè)第一類曲線枳分(對(duì)長(zhǎng)的曲線積分)：第10頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為卩=必)ly=vz(ty第#頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)特殊情+t)J f(x,y)ds = j F從t),沁)“0"t) + /(t)dt (a<p) La 第二類曲線

19、積分(對(duì)粥的曲線積分)：設(shè)訥參數(shù)方程#"噴則：；y=(0Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy訂P%(t),p(t)爐(t) + Q9(t),y/(t)“(t)<itLa兩類曲線積分之間的5：jPdx+Qdy= (Pcosa +Qcos0止 其中c和0分別為L(zhǎng)LL上積分起止點(diǎn)處切向鋼方向角。格林公式 ( - ) dxdy= f P dx+ Q d 弗林公式打(-)dxdy= f P dx+ Q dy dx. dylD (3x i?yl當(dāng)P = -y,Q = x,即:冬-空=2時(shí)，得到D的面積：A= jjdxdy= iJxdy-ydxdx dyY2 £平面上曲線積分與路銃

20、關(guān)的條件：L G是一個(gè)單連通區(qū)域：2、P(x,y), Q(x,y)住G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且里=嬰。注意奇點(diǎn)，奴0,0),應(yīng) ax dy減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積在冬.=空時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)b(x,y)的全微分，其中：dx. dy(xj)u(x,y)= jP(x,y)dx+ Q(x,y)dy 通常設(shè)Xq = % = 0。(Z)曲面積分:對(duì)面積的曲面積分f| F(x,y,z)ds=H fx,y,z(x,y)沖 + 云(x,y) + g(x,y)dxdy z%對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 J| P (x, y, z) dydz+ Q (x, y, z) dzdx+ R(

21、x, y, z)dxdy 其中: z|R(x, y, z)dxdy= ± JJrx, y, z(x, y) Jdxdy 取曲面的上側(cè)時(shí)取碼；2 %| P(x,y,z)dydz= ± |jpx(y,z),y,zdydz 取曲面的前側(cè)時(shí)取礙：|Q(x,y,z)dzdx=± | Qx,y(z,x),zdzdx 取曲面的右側(cè)時(shí)取US。ZDm兩類曲面積分/間的興系寸PdydzF Qdzdx+ Rdxdy Jj(Pcos(z + Qcos/7+ Rcos/)ds zz高斯公式:JJJ ( + + _)dv=#Pdydz + Qdzdx+Rdxdy = g(P cosa 4-

22、Q cos p 4- Rcosy)ds 高斯公式的物理意義通量與散度： 散度：div$ +孚+響，即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)酗流體質(zhì)量，若HivXO,則為消失.dx dy dz通量:JJ A-nds = Jj As = Jj(P cosa 4-Q cosp4-Rcos/)ds,ZXX因此，高斯公式又可可対JJ divAdv=甘Aidsnz斯托克斯公式一曲拔積分與曲面積分的關(guān)系：f ( - ) dydz+ ( - ) dzdx+ ( - ) dxdy= P dx+ Qdy+ Rdzdy dz.dz dx.dx dyJdydz dzdx dxd、kdddL ffdx,dydzHJPQRl上式左端乂可寫成u

23、EddKpcosofeR os/70 一內(nèi) Q空間曲線積分與路徑嫌的條件:=, , = dy dz dz Ox. dx. dy旋度：rotA=一 一 一dx dy dzP Q R向最場(chǎng)A沿有向閉曲纟JT的環(huán)流最qPdx+Qdy+ Rdz= | A fds rr常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列 1+ q+ q? + + qn_1 = 1i-q等差數(shù)列1 + 2 + 3 +1”業(yè)也2調(diào)和級(jí)數(shù)1+丄+丄是發(fā)散的23 n級(jí)數(shù)審飲法：1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂根植審斂法(柯西光別法)：fp<l時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 設(shè)：p = liin 則”1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 p = l時(shí)，不確定2、比值市斂法：pvl時(shí)，級(jí)數(shù)收斂第12頁(yè)共25頁(yè)

24、設(shè):則S>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散第#頁(yè)共25頁(yè)0=1時(shí)，不確定3>定義法:sn =Uj +u2+ -+un;limsn存在,則收斂：否則發(fā)散。n->co交錯(cuò)級(jí)數(shù)U -也+口3 -W +(或-5 +U2-U3+ - .Un >0)的審斂法萊布尼茲定理:f un > un41如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿驗(yàn)訴囂，那么級(jí)數(shù)收斂且其毗5,其余項(xiàng)幾的絕對(duì)値|rg£。 ln->» U絕對(duì)收斂與條件收斂：(1) u1+u2+-+un+-,其中比為任意實(shí)數(shù)：(2) 怙| +山| +碼+聞+如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕対攵斂級(jí)數(shù)：如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱為

25、條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)藝寸發(fā)散，m込字收斂；級(jí)數(shù)藝4收斂；p級(jí)數(shù):工丄嚴(yán)】時(shí)發(fā)散 np pl時(shí)收斂祁級(jí)數(shù)：.3 n/岡<1時(shí)，收斂于丄1+X+X7X + X + (1- X恥1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3“。+ a】x+ a2x2 + + anxn + ,如果它不是僅在原點(diǎn)攵斂，也不是在全/|xj < RHJ-收斂數(shù)軸上都收斂，則必右在R，使(|x|>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。岡=RHd不定p * 0時(shí)，R= a/"求收斂半徑的方法：設(shè)im也其中a., a.*是的系數(shù)，則"0吋，R=+s 28 an p- +s時(shí),R= 0函數(shù)展開(kāi)成格級(jí)數(shù):11!函數(shù)展開(kāi)成泰勒

26、級(jí)數(shù):f(x)= fgHx-矯+蘭3儀-觀)2 +竺繆(x-心廣+2!+竺型宀 n!余項(xiàng)：“寫(5嚴(yán),心)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)航要條件豎輕=。Xq = 0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)= f(0)+ f'(0)x+丄譽(yù)x' + 2!一些函數(shù)展開(kāi)成格級(jí)數(shù)：、xn .111(111-1) rlll(m-l) - (111-11 + 1) n(1+ x)m = l+mx+ x + + x +2!y5 +(_1嚴(yán)5!(211-1)!X3sinx= x+3!2n-l11!(-co < X<+CQ)第13頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)歐拉公式:e氏-嚴(yán)sin x =°三角級(jí)數(shù):

27、8a8f (t)=州 + 工 4 sin(n/ + %)=專 + 工(an cosiix+ bn sin nx)n=l2其中，a0 = a2%,an = siii%,bn =cos%,= x0正交性I,siiix,cosx,sin2x,cos2x - sniix,cosiix -任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘稅£r,;r 上的積分=0。傅立葉級(jí)數(shù)：f (x) = +(a n c o snx + bn sin nx),周期=2療2n=4an = J f(x)cosnxdx (n= 0J2)(n = 123 )bn = J f (x)siimxdx,11X32 5-8111滬 + + + = 一22

28、 42 6-241111+ T- H + Z- + 22 3-4-.111、223242P(相減)正弦級(jí)數(shù)： = 0, bn = J f(x)siniixdx 余弦級(jí)數(shù)：叱 一 0, an-J f(x)cosnxdxn = 123 f (x)=工 b“ sin nxli 奇函數(shù)n-02f(x) - - + an cosnx/ifffl 函數(shù)第#頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):第#頁(yè)共25頁(yè)nx . cos+ b sin1 nf(x) =(n = 0X2-)(11 = 1,23-)微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：y = f(x,y) 或 P(x,y)dx+ Q(x,y

29、)dy= 0可分離變星的微分方程一階微分方程可以化為g(y)dy= f(x)dx的形式，解法： Jg(y)dy=J f(x)dx 得：G(y) = F(x) + C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分滋£可以寫成色二f(x,y) = <Ax：y),即寫成工的函數(shù)，解法：dxx設(shè)U = Y，則色Lu+x豈，11 +竺=沁1),.空分離變量，積分后將代替II, x dxdx dxx 典 i) - ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程:1、一階線性微分方程理+P(x)y=Q(x)dx/當(dāng)Q(x)=0時(shí)，為齊次方程，y=Ce_JP<x)dx當(dāng)Q(x)hO時(shí)，為非齊次方程，y= (j

30、Q(x)e- P(x)dxdx+ C)e-P(x)dx2、貝努力方程徑 + P(x)y = Q(x)yn,(nOJL)全微分方程：in>UP(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0中左端是某函數(shù)的全方程，即： du(x,y) = P(x,y)dx+ Q(x,y)dy= 0,其中：=P(x,y), = Q(x,y) oxdy.-.u(x,y) = C應(yīng)該是該全微分方程的3解。二階微分方程：等+ P(x)栗+ Q(x)y=f(x),f(x)三011寸為齊次 f(x)#0Bt為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)y"+py'+qy=o,其中p,q為常數(shù)：求解步驟

31、：1、寫出特征方程(A)r3+pr + q = o,其MV, r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好罐水垃屮y",y',y的系數(shù):2、求出()式的兩個(gè)根sd3、根據(jù)的不同情況，按下表目H廣成的通解:rP “的形式0)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p2-4q>0)y=c1enx + c2eI2X兩個(gè)相等實(shí)根(p2-4q = 0)y= (q + c2x)enx一對(duì)共轆復(fù)根(p2-4q<0) q = a + i0, r2 = a-ip P, J4q-p?2 2y=產(chǎn)© cosQc+ c2 sin /k)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y"+py'+qy= f(x),

32、p,q為常數(shù) f(x) = e tePm(x)型，兄為常數(shù);f(x)= eteP1(x)cosax+ Pn(x)siii ax型第15頁(yè)共25頁(yè)線性代數(shù)部分仁行列式1. 行列式共有於個(gè)元素，展開(kāi)后有川項(xiàng).可分解為2”行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、舛和為的大小無(wú)關(guān)： 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0： 、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為|州：3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：4, =(-!/*>Vf,4.設(shè)行列式D：第16頁(yè)共25頁(yè)5.將D上、卜翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為2,則耳=(-1)廠D；(竺也A OC B 、范德蒙行列式：人指標(biāo)減小指標(biāo)的連

33、乘積: 、特征值；、拉普拉斯展開(kāi)式:將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，所得行列式為0,則D = (-l)，D； 將。主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為2,則D嚴(yán)D；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為0，則U = 行列式的重要公式： 、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘枳； 、副對(duì)角行列式：副対角元素的乘枳x(-l)廠； 、上、卜三角行列式(pl=ll):主對(duì)角元素的乘枳; 、|了|和|,|：副對(duì)角元素的乘枳x(-l)廠；A CO B對(duì)于階行列式"I，恒有：|也-內(nèi)=丫+工；(-1)竹"7 ,其中S*為比階主子式;A-17 證明|A| = 0的方法: 、|牛-|州； 、反證法； 、構(gòu)造齊

34、次方程組Ar = o,證明其有非零解： 、利用秩，證明r(A)</i； 、證明0是其特征值；2、矩陣1. A是階町逆矩陣:o|A|hO （是非奇異矩陣）：«r（A） = n （是滿秩矩陣）OA的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)； 0齊次方程組Av = O有非零解； oPbwR", Ax = b 總有唯一解： u> A與E等價(jià)：o A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積； u> A的特征值全不為0；OAU是正定矩陣；OA的行（列）向最組是斥的一組基; u> A是川中某兩組基的過(guò)渡矩陣：2.対于階矩陣A ： AA* = A'A = AE無(wú)條件恒成芷;3.(屮)“

35、尸(ABT = BrAT(屮)= (A")-1(")H(AB)-1 = B W第18頁(yè)共25頁(yè)4 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和; 5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：X、若“人.，則：I牛肉悶#;rv4-1£A"1t z:（主對(duì)角分塊）0toA"1:（副對(duì)角分塊）、rAC、B,B1:（拉普拉斯）、0、B:（拉普拉斯）第#頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)3、矩陣的初等變換與線性方程組第#頁(yè)共25頁(yè)第#頁(yè)共25頁(yè)1.一個(gè)以矩陣人，總町經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯-確定的：F =mx/f第#頁(yè)共25頁(yè)等價(jià)類：

36、所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集介，稱為一個(gè)等價(jià)類：標(biāo)準(zhǔn)形為英形狀最簡(jiǎn)單的矩陣； 對(duì)于同型矩陣 A、B . r(A) = r(B) <=> A B；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣： 、只能通過(guò)初等行變換獲得： 、每行首個(gè)非0元素必須為1； 、每行首個(gè)非0尤素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換) 、若(A.E) (E,X),則 A 可逆，且X = Q； 、對(duì)矩陣(4)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時(shí)，就變成即：(A,B)：(E,A*)： 、求解線形方程組：對(duì)于個(gè)未知數(shù)個(gè)方程Ax = b,如果GO)b(Ex),則A可逆，且x = Alb :4. 初等

37、矩陣和対角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位壹決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣：人、 、,左乘矩陣A,人乘A的各行元素；右乘，4乘A的各列元素：r i V< 1 、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)E(iJ),且,例如：1=1、 I1 1丿1、倍乘某行或某列，符號(hào)Eg),且E(訛滬= E(ig),例如:下 伙*0)： -k、倍加某行或某列.符號(hào))且尸二E©") 如:1伙工0)：1丿5. 矩陣秩的基本性質(zhì)： .0 < r(AmaM) < minOw./f): 、r(Ar) = r(A)； 、若AUB,則r(A) = r(B)； 、若P、0可逆，則r

38、(A) = r(PA)=r(A0 = r(P4(?)：(可逆矩陣不影響矩陣的秩) 、max(/(4"(B)SS/(>!)+/()：(探) 、r(A + B)<r(4)+r(B):(探) .r(4B) <mm(r(4),r(B):(探) 、如果A是mxn矩陣，是 xf矩陣，且AB = O,則：(探)I、的列向量全部是齊次方程組4X = 0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；II、r(A)+r(B) </ 、若八B均為階方陣，®Jr(AB)>r(A)+r(B)-n；6 三種特殊矩陣的方幕： 、秩為1的矩陣：一定町以分解為列矩陣（向童）x行矩陣（向童）的形式，再

39、采用結(jié)合律;f a c、 、型如0 1b的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式:<0 0 1；二項(xiàng)展開(kāi)式：（«+/»）* =CV + Cab1 +.+C；（rbm +C：Fbi+C：b” = 土C：（Tbfm-0注：【、（a+by展開(kāi)后有+1項(xiàng)：1 213mIII.組合的性質(zhì)：II、CJ = n(n_l)(n-m + 1) _ n!另Q =嚴(yán) rC$=nC$： r-07.、利用特征值和相似對(duì)角化: 伴隨矩陣：第20頁(yè)共25頁(yè)r(A) = n r(A) = w-1 : r(A) </-!n 、伴隨矩陣的秩：r（A*）= 10 、伴隨矩陣的特征值：（AX = AX.A* = AAl

40、 =>A X = y * 、A = |A|A-1 >» A*| = |/4|" 18.關(guān)于A矩陣秩的描述： 、r（,4） = n , A中有"階子式不為0, +1階子式全部為0；（兩句話） 、r（A） <n , A中有階子式全部為0： 、r（.4）w f A中有M階子式不為0：9.線性方程組：Ax = b.英中A為jhx/i矩陣，則： 、加與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組Ax = b有加個(gè)方程； 、與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同.方程組Ax"為元方程:10線性方程組Ax = b的求解： 、對(duì)増廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初尊行變換）； 、齊次解

41、為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得：11. ih/i個(gè)耒知數(shù)加個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程:詢+°閱+%乙二妨 < anxi+anx2 +%"=為.、他、也、% bu>Ax=（向屋方程A為mx/f矩陣，加個(gè)方程 “個(gè)未知數(shù)）z 、a a2 a“)£=0（全部按列分塊，其屮0二b2);X n / n / 、OiX1+a2x2+-+anxn = fi （線性表出） 、有解的充要條件：r（4） = r（A,）<n （為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1 m個(gè)"維列向量所組成的向量組A ：%,%構(gòu)成nxm '

42、P陣A = （%,%）:可加個(gè)維行向量所組成的向量組：貳屈.,戌構(gòu)成加"矩陣B=耳:含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)：2. 、向量組的線性相關(guān)、無(wú)關(guān)= 0有、無(wú)非零解；（齊次線性方程組） 、向量的線性表出<=>Ax = b是否有解：（線性方程組） 、向量組的相互線性表示<>AX = B是否有解：（矩陣方程）3. 矩陣去"與d“行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax = O和皿=0同解：（片°】例14）4. r（Ar4） = r（A） : （7>01 例 15）5. 維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、a線性相關(guān)<=>

43、; a= 0: 、a,0線性相關(guān) oa,0坐標(biāo)成比例或共線（平行）； 、a.p.y線性相關(guān) 0 a、B y共面；6 線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理：若心,a,線性相關(guān),則a,，a,+i必線性相關(guān):若。線性無(wú)關(guān)，則$.a-必線性無(wú)關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若/維向量組A的每個(gè)向量上添上-曠個(gè)分量，構(gòu)成維向量組：若A線性無(wú)關(guān)，則也線性無(wú)關(guān)：反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向最組的維數(shù)加加減減） 簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；7. 向屋組A （個(gè)數(shù)為/）能由向量組（個(gè)數(shù)為線性表示，I1A線性無(wú)關(guān)，則r<（-版罵4定理7）：向最組A能由向量組線性表示，則r（A）<r（

44、）:（甩定理3）向量組A能由向量組B線性表示<=>AX = B 存解：«r（A） = r（A,B）（滄定理 2）向量組A能由向量組等價(jià)or（A） = r（B） = r（A,B）（冬定理2推論）8. 方陣A可逆o存在有限個(gè)初等矩陣A.7V比，使A =比： 、矩陣行等價(jià)：ABPA = B （左乘，P可逆）u>Ar = O與& = 0同解 、矩陣列等價(jià)：ABAQ=B （右乘，0町逆）： 、矩陣等價(jià)：ABPAQ = B （P、0可逆）；9對(duì)于矩陣A“與B葉: 、若A與行等價(jià)，則A與B的行秩相等： 、若A與行等價(jià)，則加=0與血=0同解，且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組貝有

45、相同的線性相關(guān) 性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩：10 若 A“B,“=C“，則： 、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由的行向量組線性表示，"為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11齊次方程組& = 0的解-定是ABx = 0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無(wú)揺證明： 、ABx = 0只有零解=>Kr = 0只有零解： 、Bx = 0 有非零解nA& = 0 定存在非零解；12設(shè)向量組BS：b可由向量組心，4嗎,厲線性表示為：（許1（）題19結(jié)論），b" = （flZx心）K （ B-AK ）其中K

46、為sxr，且4線性無(wú)關(guān)，則組線性無(wú)關(guān)or（/f） = r；（與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：= "AK）"（K）/（K）","（K）h：充分性：反證法）注：當(dāng)/ = $時(shí)，K為方陣，可當(dāng)作定理使用：13、對(duì)矩陣A 存在幺，AQ = E <=>r（A） = m. 0的列向最線性無(wú)關(guān)；（鳥(niǎo)）、對(duì)距陣心”，存在出"，PA = E“ o/=、P的行向量線性無(wú)關(guān)；14. q,%,a,線性相關(guān)<=>存在一組不全為0的數(shù)kltk2,kt,使得klal+k2a2 + - +kta, = 0成立：（定義）0（%,a,）心=0有

47、非零解，即Ar = 0有非零解；o<$,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)：15設(shè)加xh的矩陣A的秩為/,則元齊次線性方程組Ar = 0的解集S的秩為：r（S） = /i-r；16若rf為Ax = b的一個(gè)解，鼻鼻,J為Ar = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則八鼻鼻，乩線性無(wú)關(guān)：（&】題33結(jié)論）5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣0人人=£或/17 = （定義），性質(zhì)： 、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即町“廣£:;(ij = l2): 、若A為正交矩陣，則A'1 = Ar也為正交陣，且|4| = ±1： 、若A、B正交陣，則也是正交陣；注意：求解正交

48、陣，萬(wàn)不要忘記施密特正交化和單位化：2. 施密特正交化：(嗎,心)= «1 !br平一鶴払一如屯-山bl; r ibM 1 bM 3【“y3. 對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)：對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4、A與等價(jià) u> A經(jīng)過(guò)初等變換得到B;oPAQ = B , P、Q 可逆； <=>r(A) = r(B) , A、同型； 、A與合同<=>CTAC = B,其中可逆：與*Bx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)： 、A 與 B 相似 <=> P lAP = B :5.相似一定合同、合同未必相似：若C為正交矩陣，則CrAC

49、 = B =>ACB,(介同、相似的約束條件不同，相似的更嚴(yán)格)；6 A為對(duì)稱陣，則4為二次型矩陣；7. 元二次型為正定：04的正慣性指數(shù)為；OA與E合同，即存在可逆矩陣C,使CrAC = £：04的所有特征值均為正數(shù)：的各階順序主子式均人于0：=>兔>0,|4| >0 ；(必要條件)第23頁(yè)共25頁(yè)AnQ= AAr0 = 0An (Au B) = AAB= AkjB71a=Ua1»1 !p(UA) = Sp(A)-工p(A3)+ f P(Ag)+(7 l£i< j<k<np(AA4) 3 .條件概率P(B|A)=P(AB)P(A)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分1.隨機(jī)爭(zhēng)件及其概率Akj Q = Q吸收律：AkJ0= AAu (AB) = AA-B= AB = A-(AB)反演律：AuB = ABUa=Aa1»1 1-1? 概率的定義及其計(jì)算P(A)=1-P(A)若 AcB n P(B一 Q = P(B) 一 P(刃對(duì)任意兩個(gè)爭(zhēng)件A B, U P(BA)