1、文科高考數(shù)學(xué)立體幾何大題求各類體積方法1. 【 2011 新課標(biāo)全國(guó)理，18】 如圖，四棱錐P ABCD DAB 60 ， AB 2AD ， PD 底面 ABCD ( ) 證明： PA BD ；( ) 若 PD AD ，求二面角A PB C 的余弦值PDCAB2. 【 2011 新課標(biāo)全國(guó)文，18】 如圖，四棱錐P ABCD 中，底面ABCD 為平行四邊形 DAB 60 ,AB 2AD, PD 底面 ABCD ( ) 證明： PA BD ；( ) 設(shè) PD AD 1 ，求棱錐D PBC 的高D PBC 的高為 3 2P-ABCD的底面為等腰梯根據(jù) DE PB PD BD ，得3 即棱錐DE 2

2、3. 【 2010 新課標(biāo)全國(guó)理，18】 如圖，已知四棱錐形， AB CD,AC BD，垂足為H， PH 是四棱錐的高， E為 AD 中點(diǎn) .1 ) 證明： PE BC2 ) 若 APB= ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值命題意圖：本題主要考查空間幾何體中的位置關(guān)系、線面所成的角等知識(shí)，考查空間想象能力以及利用向量法研究空間的位置關(guān)系以及線面角問(wèn)題的能力AB 6 , APB ADB 60° , 求四棱錐 P ABCD 的體積。4. 【 2010 新課標(biāo)全國(guó)文，18】 如圖，已知四棱錐P ABCD 的底面為等腰梯形，AB CD , AC BD , 垂足為

3、H ， PH 是四棱錐的高。PAC 平面 PBD ;5.【 2012 新課標(biāo)全國(guó)理】（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，ABC A1B1C1AC BC 1 AA12D 是棱 AA1 的中點(diǎn)，DC1 BD1 ）證明：DC1 BC2）求二面角A BD C 的大小。6. 【 2012 新課標(biāo)全國(guó)文】（本小題滿分12 分）1如圖， 三棱柱ABC A1B1C1 中，側(cè)棱垂直底面， ACB=9°0， AC=BC=2AA1， D 是棱 AA1的中點(diǎn)（ ） 證明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1 分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比?！久}意圖猜想】1. 縱觀 2011 年和 2010 年高

4、考對(duì)本熱點(diǎn)的考查，均以四棱錐為背景，并且建立空間直角坐標(biāo)系較為容易，在第一問(wèn)中均考查線線垂直的證明，這種位置關(guān)系的證明已經(jīng)連續(xù)三年進(jìn)行了考查 . 理科考查了線面角和二面角，這兩種角的考查有隔年考查的規(guī)律. 兩年的文科試題考查了體積問(wèn)題. 在 2012 年以三棱柱為背景，考查垂直關(guān)系的證明和二面角的求解，文科考查了面面垂直的證明和幾何體的體積求解. 猜想 2013 年很可能以棱錐或者球相關(guān)的組合體為背景，在建坐標(biāo)系上不會(huì)太直觀，考查線面平行位置關(guān)系，理科第二問(wèn)可能給出某個(gè)角，考查點(diǎn)的位置或設(shè)置一問(wèn)探索性問(wèn)題，而文科第二問(wèn)仍以求體積或表面積為主.2. 從近幾年的高考試題來(lái)看，直線與平面平行的判定，

5、以及平面與平面平行的判定是高考的熱點(diǎn)， 題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度為中等偏低；主要考查線面平行的判定，考查線線?線面 ?面面的轉(zhuǎn)化思想，并且考查學(xué)生的空間想象能力以及邏輯推理能力預(yù)測(cè)2013 年仍將以線面平行的判定為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力3. 從近幾年的高考試題來(lái)看，線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角(理)等是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時(shí)還考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力預(yù)測(cè)20

6、13 年高考仍將以線面垂直、面面垂直、線面角為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力以及邏輯推理能力4. 從近幾年的理科高考試題來(lái)看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點(diǎn)，題型主要為解答題，難度屬于中等，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問(wèn)題等，同時(shí)注重考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力預(yù)測(cè)2013 年高考仍將以用向量證明平行與垂直，以及利用向量求空間角為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查向量的數(shù)量積及學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力等【最新考綱解讀】1 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(1) 理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理(

7、2) 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定(3) 能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題2空間向量及其運(yùn)算(理)（1） 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示（2） 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示（3） 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直（4） 理解直線的方向向量與平面的法向量定義（5） 能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系（6） 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系

8、的一些定理（ 包括三垂線定理） （7） 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用【回歸課本整合】1. 直線與平面平行的判定和性質(zhì)（ 1 ）判定：判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行.（ 2）性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.注意： 在遇到線面平行時(shí)，常需作出過(guò)已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì).2. 直線和平面垂直的判定和性質(zhì)（

9、 1 ）判定：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直 . 兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直.2 2） 性質(zhì)： 如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直. 如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.3 .平面與平面平行（ 1 ）判定：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.注意：這里必須清晰“相交”這個(gè)條件 . 如果兩個(gè)平面平行，那么在其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線與另一個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，即這些直線都平行于另一個(gè)平面.（ 2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它

10、們的交線平行.注意： 這個(gè)定理給出了判斷兩條直線平行的方法，注意一定是第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，其交線平行.4 . 兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)5 1 ）判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 .定義法：即證兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角；注意： 在證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般先從已知有的直線中尋找平面的垂線，若不存在這樣的直線， 則可以通過(guò)添加輔助線解決，而作輔助線應(yīng)有理論依據(jù)；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性質(zhì)定理，即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂直，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.6 2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們

11、交線的直線垂直于另一個(gè)平面 .兩個(gè)平面垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).注意： 性質(zhì)定理中成立有兩個(gè)條件：一是線在平面內(nèi)，二是線垂直于交線，才能有線面垂直.（3）立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即：線線線面面面判定 線線線面面面性質(zhì)線線線面面面5 .（理）直線與平面所成的角（ 1 ）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。 當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，就說(shuō)直線和平面所稱的角為直角；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，就說(shuō)直線和平面所稱的角為0 角 .（ 2）范圍：0 ,90 ；（ 3） 求法： 作出直線在

12、平面上的射影, 關(guān)鍵是找到異于斜足的一點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理來(lái)確定垂線。（ 4）最小角定理：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角是斜線與平面所成的角。6 .（理）二面角（ 1 ）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面. 二面角的大小是通過(guò)其平面角來(lái)度量的平面角，而二面角的平面角的三要素：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直。（ 2）作平面角的主要方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；三垂線法：過(guò)

13、其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：過(guò)一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；3）二面角的范圍：0, ；7（理）利用向量處理平行問(wèn)題（ 1 ）證明線線平行，找出兩條直線的方向向量，證明方向向量共線；（ 2） 證明線面平行的方法：證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線（平行）； 證明直線的方向向量與平面的兩個(gè)不共線向量是共線向量，即利用共面向量定理進(jìn)行證明；證明直線的方向向量與該平面的法向量垂直.（ 3）平面與平面平行的證明方法：證明兩個(gè)平面的法向量平行.8（理）利用向量處理垂直問(wèn)題（ 1 ）證明線線垂直，可證明兩條線的方向向

14、量的數(shù)量積為0；（ 2）證明線面垂直方法：根據(jù)線面垂直的判定定理利用向量證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線.（ 3）證明面面垂直的方法：根據(jù)面面垂直的判定定理利用向量證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線方向向量為另一個(gè)平面的法向量；證明一個(gè)平面的法向量與另一人平面平行；轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直.9.（理）利用向量處理角度問(wèn)題1. 求異面直線所成的角的向量法：其基本步驟是（1）在a、 b 上分別取；或者建立AB, CD空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示;（2） 由公式確定異面直線a 與 bAB,CDcos | AB CD | AB | | CD |所成角的大小。

15、2. 求直線和平面所成的角的向量法：在斜線上取一方向向量，并求出平面的一個(gè)法向a量 n ，若設(shè)斜線和平面所成的角為, 由a n .sin cos a,n |a| |n|3. 求二面角的向量法：方法（1 ）設(shè) n ， m 分別是平面, 的法向量，則向量n 和 m 的夾角與二面角l 的平面角相等或互補(bǔ). 方法（2）二面角的棱l 上確定兩個(gè)點(diǎn)A、 B ，過(guò)A、 B 分別在平面、 內(nèi)求出與l 垂直的向量，則二面角 n1 、 n2l 的大小等于n1 、 n2n1 n2 cos| n1 | |n2 |【方法技巧提煉】4. 線線平行與垂直的證明證明線線平行的方法：（ 1）平行公理；（ 2）線面平行的性質(zhì)定理

16、；（ 3）面面平行的性質(zhì)定理； （ 4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 證明線線垂直的方法：（ 1 ）異面直線所成的角為直角；（ 2）線面垂直的性質(zhì)定理；（ 3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（ 6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過(guò)程中要特別體會(huì)平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性.5. 線面平行與垂直的證明方法線面平行與垂直位置關(guān)系的確定，也是高考考查的熱點(diǎn)，在小題中考查關(guān)系的確定，在解答題考查證明細(xì)節(jié).線面平行的證明方法：（ 1 ）線面平行的定義；（ 2）線面平行的判斷定理；（ 3）面面平行的性質(zhì)定理； （

17、4） 向量法：證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量互相平行；證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直.線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行.線面垂直的證明方法：（ 1）線面垂直的定義；（ 2）線面垂直的判斷定理；（ 3）面面垂直的性質(zhì)定理；（ 4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行.線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直.6. 面面平行與垂直的證明（ 1 ）面面平行的證明方法：反證法: 假設(shè)兩個(gè)平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；面面平行的判斷定理；利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；向量法：證明兩

18、個(gè)平面的法向量平行.（ 2）面面垂直的證明方法：定義法；面面垂直的判斷定理；向量法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直.解題時(shí)要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關(guān)鍵在于對(duì)題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進(jìn)行垂直之間的轉(zhuǎn)化7. 探索性問(wèn)題探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目. 一般可采用兩個(gè)方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算.8. 如何求線面角（ 1 ）利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線

19、面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑。（2）利用三棱錐的等體積，省去垂足在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵。確定垂足，是常規(guī)方法?？墒侨绻棺阄恢貌缓么_定，此時(shí)可以利用求點(diǎn)面距常用方法- 等體積法。從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角。因?yàn)榇咕€段的長(zhǎng)度實(shí)際就是點(diǎn)面距h！利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用h 進(jìn)行求解。sinsin 斜線段長(zhǎng)（ 4）秒用公式，直接得到線面角cos cos 1 cos 2如圖所示課本習(xí)題出現(xiàn)過(guò)這個(gè)公式ABC , ABO 1, OBC 2. 其中 1 為直線AB與平面所成的線面角。這個(gè)公式在求解一些選擇填空題時(shí)，可直接應(yīng)用。但是一定要注

20、意三個(gè)角的位置，不能張冠李戴。（ 5）萬(wàn)能方法，空間向量求解不用找角設(shè) AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角BAO, 向量AB與 n 的夾角 ABO ，則9. 如何求二面角（ 1 ）直接法. 直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計(jì)算. 即先作 （ 找 ） 出表示二面角大小的平面角, 并證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角, 然后再計(jì)算這個(gè)角的大小.用直接法求二面角的大小, 其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角. 而確定其平面角, 可從以下幾個(gè)方面著手: 利用三垂線定理（ 或三垂線定理的逆定理） 確定平面角；利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角；利用定義確定平面角；（ 2

21、）射影面積法. 利用射影面積公式 ；此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；cos SS對(duì)于無(wú)棱二面角問(wèn)題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“延伸平面法”等。法二：設(shè), 是二面角n1 n2l的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)（同等異補(bǔ)）則二面角l|n1|n2|arccos n1 n210. 如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系最為關(guān)鍵，如果坐標(biāo)系引入的恰當(dāng)，合理，即能夠容易確定點(diǎn)的坐標(biāo)，需要總結(jié)一些建系方法.常見建系方法： （ 1 ）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標(biāo)軸，如正方體，長(zhǎng)方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個(gè)坐標(biāo)軸，如圖1 、 2；（

22、 2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z 軸，如圖3；（ 3）借助棱錐的高線建系等.對(duì)于正棱錐，利用定點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x， y 軸 .如圖 4.11. 如何確定平面的法向量（ 1 ）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法；（ 2）待定系數(shù)法：由于法向量沒(méi)有規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，于是可把法向量的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1 ，再求另兩個(gè)坐標(biāo)。由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得.n （x, y,

23、z）, n a 0nb 012. 向量為謀求解立體幾何的探索性問(wèn)題空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、 推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問(wèn)題的解集更加簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】1 在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤2可以考慮向量的工具性作用，能用向量解決的盡可能應(yīng)用向量解決，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化3在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)

24、化4面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可5用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題，仍然離不開立體幾何中的定理如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證直線a b，只需證明它們的方向向量滿足a b （ R）即可若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外6利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、范圍不同【新題預(yù)測(cè)演練】第一部分理科1.（廣州市2013 屆高三 3 月畢業(yè)班綜合測(cè)試試題（一）如

25、圖4，在三棱柱ABC ABC中， ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA 平面 ABC ， D ， E 分別是 CC ， AB 的中點(diǎn) .（ 1 ）求證：CE 平面 ABD ；（ 2）若H 為 A B上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CH 與平面 AAB 所成最大角的正11切值為 15 時(shí)，2求平面 A BD 與平面 ABC所成二面角（銳角）的余弦值.CD / -li,且 8= 1 *> 1,6分. NEHC為CH與平面4TB所成的角.VC£ = 6CE 示在CEE 中，tanNENC = EH EH二當(dāng) M 最短時(shí)，tan nENC的值最大，則nEHC最大.8分:當(dāng) EH _ 時(shí)，4£HC最

26、大.此時(shí)，tan EHC解法一：(1)證明：延長(zhǎng)且。交ac的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接8F. .c為.IF的中點(diǎn).2分 E為as的中點(diǎn)，：.CE/ BF.3 分BF u平面4AD, CE 匚平面HAD,CE 平面 HBD . (2)解：:JJ. 一平面.15C, CE u平面"C, .二必 _CE .宓。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，E是一W6的中點(diǎn),小 CE _ 工B, CE = = V?.AB u 平面u 平面 4a5, -鋁。W& = J,&L&*9： CE/ BF, CE 一平面1BF 一平面10分AB u 平面 HXB, AB u 平面.*. BF 4B , BF

27、 _.11 分.8dl為平面用5。與平面.ISC所成二面角（銳角）.12分在 Rt2XE郎中，BH = JE爐 - EH： =4，cos 二區(qū)* =鋁=£13平面90與平面4C所成二面角（銳角）的余弦值為手14分解法二:（1）證明：取43的中點(diǎn)F,連接DF、EF.E為的中點(diǎn)，EF .4J：,且 EF。.呵，且 8=1問(wèn),.EF/ CD, EF = CD. 2分四邊形 "DC是平行四邊形.：.CE/ DF.3 分Y DF u 平面 480, CE W 平面 48。, XX.CE 平面 ABD（2）解：.JJ, 一平面.史C, CE u平面.近C,曰彳_ CE.5分一正。是邊長(zhǎng)

28、為2的等邊三角形，E是M3的中點(diǎn)，F(xiàn)/. CE _ AB, CE =三 AB =拈.AB u平面Al u平面蝕 Q = J,#&X&/. CE 一平面6分3：，EHC為CH與平面.AB所成的角.7分VC£ =后,口 人EH EH在為CEH 中，tanNENC =.;當(dāng)EH最短時(shí)，tan/EHC的值最大，則/EHC最大.8分.當(dāng)EH _時(shí)，EHC最大.此時(shí)，工近jEHC = EHEH/.EH = .g 分a在 RS £/四中，BH = ylEB: - EH2 =.EHB 3Ad A. AB ,.里=”即M=五.-11.152.*. -1 = 4 .10 分以a

29、為原點(diǎn)，與ac垂直的直線為x軸，ac所在的直線為j軸，且4所在的直線為n 軸，建立空間直角坐標(biāo)系a - .-a.則 M（0, 0, 0）, -1（0, 0, 4）, B （山，1, 0）, D（0 2. 2）.t zL4 = （0, 0, 4）» .&B =（抬,1, - 4）, AD = （0, 2, - 2）.設(shè)平面A3D的法向量為 =I工y, z b由 0, 21Z) 0,P2. 【北京市海淀區(qū)2013 年四月高三一?！吭谒睦忮F P ABCD 中， PA 平面 ABCD， ABC 是正三角形，AC 與 BD 的交點(diǎn) M 恰好是 AC 中點(diǎn)，又PA AB 4， CDA 1

30、20 ，點(diǎn) N 在線段 PB 上，且PN 2 BD PC ；MN /平面 PDC ;A PC B 的余弦值3. 【江西師大附中、鷹潭一中2013 屆高三數(shù)學(xué)(理)四月聯(lián)考】如圖，在正三棱柱ABC A1B1C1 中，AA1 2AB， N 是 CC1的中點(diǎn)，M 是線段AB1 上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，且 AM AB .4. )若 1 ，求證 : MN AA1 ;2(2)若直線 MN 與平面 ABN 所成角的大小為，求 sin 的最大值.4. 【東北三省三校2013 屆高三3 月第一次聯(lián)合模擬考試】如圖，三棱柱ABC A1B1C1 的側(cè)棱AA2底面ABC，是 AB中點(diǎn)，AC = 1， BC = 2，

31、 AA1 = 4。（ 1 ）當(dāng)E 是棱CC1 中點(diǎn)時(shí)，求證：CF平面AEB1；（ 2）在棱CC1 上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A EB1B 的余弦值是2 17 ，若存在，求CE 的長(zhǎng)，若不存在，（本小題滿分12 分）ACB = 90°，E是棱CC1 上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)17請(qǐng)說(shuō)明理由。5. 【 2013 年天津市濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考】（本題滿分13 分）如圖在四棱錐P ABCD 中 ,底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)面PAD 底面 ABCD，且2,設(shè) E 、 F 分別為PA PD 2 AD2( ) 求證： EF / 平面 PAD ；( ) 求證：面PAB 平面 PDC ；PC

32、 、 BD 的中 點(diǎn)( ) 求二面角B PD C 的正切值一正二尸、13分0。£1"=當(dāng)=/二= 故所求二面角的正切值為叱EI 】 一 a法二：如圖，取功的中點(diǎn)。，連結(jié)“，0F.,/ P.A = PD, PO _ AD .平面史切一平面= AD,.側(cè)面產(chǎn)集）一底面.近CD,而QF分別為功：3。的中點(diǎn),.OF AB,又ABCD是正方形,故OF _ a。.,/ Pa = PD = £AD", ph_pds OP = oa = = .以0為原點(diǎn),直線ORQFQP為工y:二軸建立空間直線坐標(biāo)系，則有義。0）, F9：0）,。（一三0：0）,9（0。令,3弓40）

33、,。（一?40）.E為尸。的中點(diǎn)， 3分4.4（I ）證明：易知平面上切的法向量為。？ = （0：二0）而弄=（二0：-±）,2且5?.弄二（0：1：0）.（2：02） = 0,/. EF 平面R1D 6分44（11）證明：:百二（，0令，而二（0：40） PJ CD =（0:-）-（0:0） =0, 一 一.可一而，從而，又PDCCD=D,平面PDC,而尸Mu平面尸.4，平面EJ6 一平面尸£。.9分（III）【解】：由（II）知平面WC的法向量為蘇=（三：0：-1）.設(shè)平面PBD的法向量為n =（工'z） . .麗=（三：0"；）： BD = （一q

34、40）,AEB1 ；6. 【寧夏回族自治區(qū)石嘴山市2013 屆高三第一次模擬】如圖， 三棱柱 ABC A1B1C1 的側(cè)棱AA1 底面ABC， ACB 90 ，E 是棱 CC 上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn) 是 AB 中點(diǎn)， AC 1 ， BC 2， AA1 4。1 ）當(dāng)E 是棱中點(diǎn)時(shí)，求證：CFCC12）在棱CC 上是否存在點(diǎn)E ，使得二面角A EB B余弦值是2 17 ，若存在，求CE 的長(zhǎng)，若不存在，17請(qǐng)說(shuō)明理由。7.2013 屆高三 3 月第一次高考模擬】（本小題滿分14分）如圖（4） ，在等腰梯形CDEF 中，CB、 DA 是梯形的高，AE BF 2， AB 2 2 ,現(xiàn)將梯形沿CB、 DA折起，使

35、EF /AB 且 EF 2AB ， 得一簡(jiǎn)單組合體ABCDEF 如圖 （ 5）示，已知 M , N, P 分別為 AF , BD, EF 的中點(diǎn)1）求證：MN /平面 BCF ；平面2）求證：3）當(dāng)AP DE ；AD 多長(zhǎng)時(shí)，平面CDEFADE 所成的銳二面角為60 ？4）5）TCFu平面SCF, UV工平面8CF,平面8CF；(其它證法，請(qǐng)參照給分)(2)依題意知Da_a瓦Dt_he 且asi j£=a.0. AD _ 平面 ABFEJPu 平面 H5FE,.a尸一 a。，5 分尸為EF中點(diǎn)，.F尸=a3=，/?結(jié)合AB .6 EF,知四邊形.宓F尸是平行四邊形：aP"B

36、F, AP = BF=2了分而 AE = 2,PE = 2/，：鏟：+工E： = PE：.nE# = 90、即 JP_aE-S 分又-1D I AE = A DE c 平面 ADE ,，HP _ DE.9 分(?)解法一：如圖，分別以HR HE 所在的直線為工二二cD設(shè) AD =困n > 0),貝L*Q 02 0)2Z)(0f02w)f £(052f0)8P(2s0f 0)uuu易知平面HOE的一個(gè)法向量為jp = (2,ao),分r uurx|-0設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為* =(工jy),則f uum小。E = 0令x = l,則j = Lz =二，故 = (LL二)11

37、分muLm i. 嗯r工Pf2cos < Ar. n >= -h®-f=),1apm 。丁Z1 5 Zk 一 一 I F Ji I即.紅)=JI時(shí)，平面CDEF與平面HOE所成的銳二面角為60、14分11分【解法二：過(guò)點(diǎn)A作WU _Z?E交D三于1點(diǎn)，連結(jié)？M則Z)E_P.l/, 二NaU尸為二面角A-ZE-F的平面角，8.【山東省淄博市2013屆高三 3月第一次模擬考試】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM 平面 ABCD ， DAB 60 ， AD 2， AM 1 ， E 是 AB 的中點(diǎn)（）求證：AN / 平面 MEC（）在線

38、段AM 上是否存在點(diǎn)P ，使二面角P EC D 的大小為？若存在，求出 AP 的長(zhǎng) h ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.在中，.4E = 19 AO = 2, AQaE = 120 ,10分則/二井+ 2: -2xlx2cosl20s =不 年軍鏟邛7又在&3&目中，乙PHa=二, 6斫以. j =/= an?。.=3上 <1 不 丁際以在線EM a"上存在點(diǎn)尸，便二面昆產(chǎn)一 EC-D-大小為三，6時(shí)a尸首長(zhǎng)為 612分（解法二）三子二邁彩.BC'Z）是菱形，E是二口點(diǎn).DAB = 60!所以AJBC為等邊三角形，個(gè)券DE _HB .又ADXM是矩形.三面ADX

39、M J_三面ABCD, 所以DV_L三面一曲8.如至逵立三,三叁龜坐標(biāo)系八一個(gè)工.5分則。（0：0：0）, E（V3s0:0）,0（020）,尸（后 TM）.度二/二0）,弄二（01孫7 分沒(méi)三面尸EC節(jié)法向至尢：=（工:二）CE-n. =0.則 1'所以|£P-m. =0.j3x-ly = 0:-y + /2z = 0.9.【 2013 年安徽省馬鞍山市高中畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】在如圖的多面體中，EF 平面 AEB ， AE EB , AD EF ， EF BC ，BC 2AD 4 ，( )( )( )求證：求證：EF 3， AE BE 2， G 是 BC 的中點(diǎn)AB

40、平面 DEG ；BD EG ；求二面角C DF E 的余弦值.D(0,2,2)G(2, 2,0) EG (2,2,0) BD ( 2,2,2)， BD EG 2 2 2 2 0 ， BD EG .10. 【湖北省八校2013 屆高三第二次聯(lián)考】（本小題滿分12 分）如左圖，四邊形ABCD 中，E 是 BC 的中點(diǎn)，DB 2,DC 1,BC 5,AB AD 2. 將左圖沿直線BD折起，使得二面角A BD C 為 60 , 如右圖 .（ 1 ）求證：AE 平面 BDC ;（ 2）求直線AC 與平面 ABD 所成角的余弦值 .11、 （深圳市2013 屆高三 2 月第一次調(diào)研考試）如圖5， O 的直

41、徑 AB 4，點(diǎn) C 、 D 為 O 上兩點(diǎn)，且CAB =45 ，DAB 60 ， F 為 BC 的中點(diǎn) 沿直徑 AB 折起， 使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖6） （ 1 ）求證：OF/平面ACD ；2）求二面角C - AD - B 的余弦值；3）在 BD 上是否存在點(diǎn)G ，使得 FG / 平面 ACD ？若存在，試指出點(diǎn)G 的位置，并求直線 AG 與平面 ACD 所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由coszC£O = I = 萬(wàn)"（3）設(shè)在百D上存在點(diǎn)G,使得FG平面HCO, OF平面XCZ）,，平面OFG平面aco, OG aD 9 jBOG=，BaD=60，.因此，

42、在9。上存在點(diǎn)G,庾得FG平面a。，且點(diǎn)G為3D的中點(diǎn).13分隹HG,設(shè)MG與平面HCZ）所成角為a,點(diǎn)G到五面as的距離為'4 Sb = - x4£）xC£ = x2x=幣 Smq = S;心=x2x/ =也12分.二由乙B =匕.心，得7 X、廳X2=二X/x£,得 =-在7OG 中，AO = OG = 1, iOG=110:,由余弦定理得 aG=2、/L 1?分sin iZ = =.14 分AG 7（法二）：證明：（1）如圖，以所在的直線 為j軸，以O(shè)C所在的直線為三軸，以。為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系。-4N,則a（02,0,Cl 0,0,21.JC

43、= （0A2）-（0-2:0）=（0:2:2）,.點(diǎn)F為3C的中點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為|Q0,0|, 醞=（0：/：盧）.-.o? = JC,即OF AC. 7OF工平面HCO, 4。二平面48, /. OF!：平面 ACD.3 分解：（2） / =60、.二點(diǎn)Z）的坐標(biāo)加班TOj,同=（存.【說(shuō)明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力文科部分1. 【江西師大附中、鷹潭一中2013 屆高三數(shù)學(xué)（文）如圖 1， O 的直徑AB=4，點(diǎn)C、 D 為 O 上兩點(diǎn)，且CAB=45o，F(xiàn) 為 BC 的

44、中點(diǎn)沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2） （）求證：OF/ 平面ACD；（） 在 AD 上是否存在點(diǎn)E ， 使得平面OCE 平4 月聯(lián)考試卷】面 ACD?若存在，試指出點(diǎn)E 的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2.【北京市海淀區(qū)2013 年高三四月一?！吭谒睦忮FP ABCD 中，PA 平面ABCD ，ABC 是正三角形，AC與 BD 的交點(diǎn) M 恰好是AC中點(diǎn)，又CAD 30 ， PA AB 4，PN 1點(diǎn) N 在線段PB 上，且PN 1 NB 3（）求證：BD PC ；（）求證：MN /平面PDC ；（）設(shè)平面PAB 平面 PCD=l ，試問(wèn)直線l 是否與直線CD 平行，請(qǐng)說(shuō)明理由.

45、3. 【南京市四星級(jí)高級(jí)中學(xué)2013 屆高三聯(lián)考調(diào)研考試】（本小題滿分14 分）如 圖 ， 在 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 中 ， 已 知 平 面AA1C1C 平 面 ABCD, 且AB BC CA 3 ,AD CD 1 .（ 1 ） 求證： BD AA1 ;（ 2） 若 E 為棱 BC 的中點(diǎn)，求證：AE / 平面 DCC D .4. 【山東省濰坊市2013 屆高三3 月第一次模擬考試】(本小題滿分1 2 分)如圖， 四邊形 ABCD中， AB AD ,AD BC， AD =6，BC =4，AB =2，點(diǎn)E、 F分別在BC、AD 上， EF AB現(xiàn)將四邊形ABEF沿 EF折起，使

46、平面ABCD 平面EFDC，設(shè) AD 中點(diǎn)為P( I )當(dāng) E為 BC中點(diǎn)時(shí)，求證：CP/平面ABEF( )設(shè) BE=x，問(wèn)當(dāng)x 為何值時(shí)，三棱錐A-CDF的體積有最大值？并求出這個(gè)最大值。5. 【唐山市2012 2013 學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試】如圖， 四棱錐 P- ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD 丄底面 ABCD,. APD900(I )求 證： 平 面PAB 丄平 面PCD(II) 如 果 AB=BC=2, PB=PC= 6 求四棱錐P-ABCD的體積.PO AD，垂足為O，則PO平面ABCDP 為線段7分連結(jié)OB， OC，則PO OB， PO OC因?yàn)镻B PC，所以Rt PO

47、B Rt POC，所以O(shè)B OC依題意，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，由此知O 是 AD 的中點(diǎn)在RtOAB 中，AB2，OA 1 ，OB 5在RtOAB 中，PB 6， OB5，PO 1 10分14故四棱錐P- ABCD的體積V 3 AB2 · PO 3 6. 【 2013 年石家莊市高中畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1(I)若 M、 N 分別是AB， A1C的中點(diǎn)，求證：MN/ 平面BCC1B1(II)若三棱柱ABC A1B1C1 的各棱長(zhǎng)均為2，B1BAB1BC 60°，B1 B上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA PC最小時(shí)，求證：B1B平面APC。7. 【 2013 年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）3 月】如圖4，在四棱錐P ABCD 中，底面AB 2AD ， PD 平面ABCD ，點(diǎn)1 ）求證: PA/ 平面 BMD ；2）求證：ADPB ；3）若AB PD 2 ，求點(diǎn)A到平面（本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）證明：尸。一平面,近8, a。u平面,立CD,Yd -BCD = 60s.*. BD，=