1、百度文庫，是您的私人資料庫，請您收藏本頁!木資料由文庫店鋪編輯而成，供您隨時下載選用!精品“正版”資料系列，由本公司獨創(chuàng)。旨在將“人教版、蘇教版、北師大版“、”華師大版”等涵蓋幾乎所有版本的教材教案、課件、導(dǎo)學(xué)案及同步練習(xí)和 檢測題分享給需要的朋友。本資源創(chuàng)作于2020年8月，是當(dāng)前最新版本的教材資源。包含本課對應(yīng) 內(nèi)容，是您備課、上課、課后練習(xí)以及寒暑假預(yù)習(xí)的最佳選擇?！?013年中考攻略】專題9：幾何三大變換之軸對稱探討軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平而幾何的三大變換。由一個平面圖形變?yōu)榱硪粋€平而圖形，并使這兩個 圖形關(guān)于某一條直線成軸對稱，這樣的圖形改變叫做圖形的軸對稱變換。軸對稱具有這樣的重要性

2、質(zhì)： （1）成軸對稱的兩個圖形全等：（2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線。在初中數(shù)學(xué)以及日常生活中有著大量的軸對稱和軸對稱變換的知識，是中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。結(jié)合2012年全國各地中考的實例，我們從下面九方面探討軸對稱和軸對稱變換：（1）軸對稱和軸對 稱圖形的識別和構(gòu)造：（2）線段、角的軸對稱性；（3）等腰（邊）三角形的軸對稱性：（4）矩形、菱形、 正方形的軸對稱性；（5）等腰梯形的軸對稱性：（6）圓的軸對稱性：（7）折疊的軸對稱性；（8）利用軸對 稱性求最值：（9）平面解析幾何中圖形的軸對稱性。一、軸對稱和軸對稱圖形的識別和構(gòu)造：典型例題：例1. （2012重慶市4分

3、）下列圖形中，是軸對稱圖形的是【】【答案】B。【考點】軸對稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合。因此，A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤：B、是軸對稱圖形，故本選項正確：C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤：D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤。故選B。例2. （2012廣東湛江4分）在以下綠色食品、回收、行能、行水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是【】【答案】Ao【考點】軸對稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折松后可重合，因此A、是軸對稱圖形，符合題意：B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合

4、題意。故選Ao例3. （2012四川達(dá)州3分）下列幾何圖形中，對稱性與其它圖形不同的是【】【答案】A?！究键c】軸對稱圖形，中心對稱圖形。【分析】根據(jù)軸對稱及中心對稱的定義，分別判斷各選項，然后即可得出答案：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；B、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形：C、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形：D、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。 故可得選項A與其他圖形的對稱性不同。故選A。例4. （2012廣西柳州3分）娜娜有一個問題請教你，下列圖形中對稱軸只有兩條的是【】B.茅邊三用形D.警思神彩C.矩膨【答案】C【考點】軸對稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對稱圖形的概念，分別判斷出四個圖形的對稱

5、軸的條數(shù)即可:A、圓有無數(shù)條對稱軸，故本選項錯誤：B、等邊三角形有3條對稱軸，故本選項錯誤；C、矩形有2條對稱軸，故本選項正確：D、等腰梯形有1條對稱軸，故本選項錯誤。故選C。例5.（2012福建三明8分）如圖，已知AABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A （2, -1）, B （3, 3 ）,畫出AABC關(guān)于x軸對稱的AiBCl,并寫出點A1的坐標(biāo)：（4分）畫出AABC關(guān)于原點O對稱的人小2c2,并寫出點A2的坐標(biāo).（4分）【答案】解：如圖所示，A, （一2, Do如圖所示，A? （2, Do【考點】軸對稱和中心對稱作圖.【分析】根據(jù)軸對稱和中心對稱的性質(zhì)作圖，寫出Ai、AZ的坐標(biāo)。例6. （2012

6、四川樂山9分）如圖，在10 x10的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一 個格點4ABC （即三角形的頂點都在格點上）.（1）在圖中作出AABC關(guān)于直線1對稱的AiBiG；（要求：A與Ai，B與Bi，C與C相對應(yīng)）（2）在（1）間的結(jié)果下，連接BB, CQ,求四邊形BBQ1C的面積.【答案】解：（1）如圖，AiBCi是AABC關(guān)于直線1的對稱圖形?！究键c】作圖（軸對稱變換）。【分析】3）關(guān)于軸對稱的兩個圖形，各對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分.作BM_L直線1于點M,并延 長到山,使BiM=BM,同法得到A, C的對應(yīng)點Ai. C,連接相鄰兩點即可得到所求的圖形。（2）由圖得四邊形B

7、B| GC是等腰梯形，BB|=4, CC1=2,高是4,根據(jù)梯形的面枳公式進(jìn)行計算即可。例7. （2012貴州安順4分）在鏡中看到的一串?dāng)?shù)字是“8OT0E”，則這串?dāng)?shù)字是 .【答案】309087 c【考點】鏡面對稱。【分析】拿一面鏡子放在題目所給數(shù)字的對面，很容易從鏡子里看到答案是309087。例8. （2012福建寧德4分）將一張正方形紙片按圖、圖所示的方式依次對折后，再沿圖中的虛線裁剪，最后將圖中的紙片打開鋪平，所得到的圖案是【】【答案】B.【考點】剪紙問題【分析】根據(jù)題中所給剪紙方法，進(jìn)行動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)，展開得到的圖形如選項B中所 示.故選Ba例9. （2012福建龍巖1

8、2分）如圖1,過ABC的頂點A作高AD,將點A折疊到點D （如圖2）,這時 EF為折痕，且ABED和CFD都是等腰三角形，再將ABED和4CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折 登，使B、C兩點都與點D重合，得到一個矩形EFGH （如圖3）,我們稱矩形EFGH為aABC的邊BC 上的折合矩形.（1）若4ABC的面積為6,則折合矩形EFGH的面積為：（2）如圖4,已知ABC,在圖4中畫出aABC的邊BC上的折合矩形EFGH：（3）如果4ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a,那么，BC邊上的高AD=, 正方形EFGH的對角線長為.【答案】解：（1）3。（2）作出的折合矩形EFGH

9、：2a ： V2a【考點】新定義，折疊問題，矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】（1）由折疊對稱的性質(zhì)，知折合矩形EFGH的面積為4ABC的面積的一半，（2）按題意，作出圖形即可。（3）由如果AABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a,那么，正方形邊長為a, BC邊上的高AD為EFGH邊長的兩倍2a.根據(jù)勾股定理可得正方形EFGH的對角線長為缶例10. （2012山東濰坊3分）甲乙兩位同學(xué)用用棋子做游戲.如圖所示，現(xiàn)輪到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5個棋子組成軸對稱圖形，白棋的5個棋子也成軸對稱圖形.則下列下子方法不正確的是【工說明：棋子的位置用數(shù)對表示，如A

10、點在（6, 3）A.黑(3, 7)；白(5, 3)C.黑(2, 7)；白(5, 3)B.黑(4, 7)：白(6, 2)D.黑(3, 7)：白(2, 6)【答案】C。【考點】利用軸對稱設(shè)計圖案。【分析】分別根據(jù)選項所說的黑、白棋子放入圖形，再由軸對稱的定義進(jìn)行判斷即可得出答:A、若放入黑（3, 7）,白（5, 3）,則此時黑棋是軸對稱圖形，白棋也是軸對稱圖形:B、若放入黑.（4, 7）；白（6, 2）,則此時黑棋是軸對稱圖形，白棋也是軸對稱圖形:C、若放入黑（2, 7）：D、若放入黑（3, 7）：白（5, 3）,則此時黑棋不是軸對稱圖形，白棋是軸對稱圖形:白（6, 2）,則此時黑棋是軸對稱圖形，

11、白棋也是軸對稱圖形0故選C,練習(xí)題：（2012浙江寧波3分）下列交通標(biāo)志圖案是軸對稱圖形的是【】（2012江蘇連云港3分）下列圖案是軸對稱圖形的是【】A O b O C吟D今（2012貴州遵義4分）在4x4的方格中有五個同樣大小的正方形如圖擺放，移動其中一個正方形到空 白方格中，與其余四個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的移法共有 種.（2012貴州遵義3分）把一張正方形紙片如圖、圖對折兩次后，再如圖挖去一個三角形小孔，則展開后圖形是【】（2012廣西欽州3分）如圖所示，把一張矩形紙片對折，折痕為AB,在把以AB的中點O為頂點的平 角NAOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形

12、剪出一個以O(shè)為頂點的等腰三角形，那么剪 出的等腰三角形全部展開平鋪后得到的平面圖形一定是【 】A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形（2012四川廣安8分）現(xiàn)有一塊等腰三角形板，量得周長為32cm,底比一腰多2cm,若把這個三角形 紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個四邊形，請畫出你能拼成的各種四邊形的示意圖，并計算拼成的各個四邊 形的兩條對角線長的和.（2012浙江杭州4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有四個點，它們的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù).若在此平而直 角坐標(biāo)系內(nèi)移動點A,使得這四個點構(gòu)成的四邊形是軸對稱圖形，并且點A的橫坐標(biāo)仍是整數(shù)，則移動后 點A的坐標(biāo)為 .（2012廣東廣州12分）如圖，O

13、P的圓心為P（-3, 2）,半徑為3,直線MN過點M（5, 0）且平行 于y軸，點N在點M的上方.（1）在圖中作出。P關(guān)于y軸對稱的。P.根據(jù)作圖直接寫出。P與直線MN的位置關(guān)系.（2）若點N在（1）中的。P上，求PN的長.（2012湖南郴州6分）作圖題：在方格紙中：畫出AABC關(guān)于直線MN對稱的AiBCi.二、線段、角的軸對稱性:典型例題:例L （2012湖北恩施3分）如圖，ABCD,直線EF交AB于點E,交CD于點F, EG平分NBEF,交CD于點G, Nl=50。，則N2等于【A. 50 B, 60 C. 65 D. 90【答案】C.【考點】平行線的性質(zhì)，角平分線的定義。【分析】VAB/

14、7CD, AZBEF+Zl=180 （兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)工VZl=50% /.ZBEF=130 （等量代換）。EG平分NBEF. A ZBEG=i ZBEF=65 （角平分線的定義）。2，N2=NBEG=65。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理故選C。例2. （2012海南省3分）如圖，在aABC中，NB與NC的平分線交于點O.過O點作DEBC,分別交AB、AC 于 D、E.若 AB=5, AC=4,則ZkADE 的周長是一.【答案】9?！究键c】角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定?！痉治觥縔OB是NB的平分線，AZDBO=ZOBCo又DEBC, AZOBC=ZBODo，NDBO=NB

15、OD。，DO=DB。同理，EO=ECoXVAB=5, AC=4,A ADE 的周長=AD+DE+AE=AD + DO+EO+AE=AD + DB+EC + AE=AB + AC=5+4=9。例 3. （2012 廣東梅州 3 分）如圖，ZAOE=ZBOE=15S EFOB, EC1OB,若 EC=1,則 EF=【答案】2?！究键c】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥孔鱁GLOA于F,VEF/7OB, A ZOEF=ZCOE=15%V ZAOE=15, AZEFG=150+15o=30oVEG=CE=1, ，EF=2xl=2,例3. （2012貴州銅

16、仁5分）某市計劃在新竣工的矩形廣場的內(nèi)部修建一個音樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場的兩個入口 A、B的距離相等，且到廣場管理處C的距離等于A和B之間距離的一半，A、B、C的位置如圖所示，請在原圖上利用尺規(guī)作圖作出音樂噴泉M的位置，（要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論,保留作圖痕跡，必須用鉛筆作怪D【答案】解：作圖如卜M即為所求?！究键c】作圖（應(yīng)用與設(shè)計作圖工【分析】連接AB,作出線段AB的垂直平分線，在矩形中標(biāo)出點M的位置（以點C為圓心，AB長為 半徑畫弧交AB的垂直平分線于點M）。例4. （2012山東德州8分）有公路h同側(cè)、12異側(cè)的兩個城鎮(zhèn)A, B,如下圖.電信部門要修建一座信號 發(fā)射塔，按照

17、設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A, B的距離必須相等，到兩條公路h, 12的距離也必須相等, 發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點，注明點C的位置.（保留作圖痕跡， 不要求寫出畫法）【答案】解：作圖如下：G, C2就是所求的位置?！究键c】作圖（應(yīng)用與設(shè)計作圖）.【分析】根據(jù)題意知道，點C應(yīng)滿足兩個條件，一是在線段AB的垂直平分線上：二是在兩條公路夾角的 平分線上，所以點C應(yīng)是它們的交點。（1）作兩條公路夾角的平分線OD或OE： （2）作線段AB的垂直平分線FG0則射線OD, 0E。直線FG的交點Ci, C2就是所求的位置c練習(xí)題：（2012湖南懷化3分）如圖，己知ABCD,

18、AE平分NCAB,且交CD于點D, ZC=110%則NEAB TOC o 1-5 h z 為【】A. 30。B. 35C. 40D. 45。（2012貴州黔南4分）如圖，已知直線ABCD, BE平分NABC,交CD于D, ZCDE=150,則NC 的度數(shù)是【】A. 150 B. 130 C. 120 D. 100（2012云南省3分）如圖，在AABC中，ZB67, NO33。，AD是AABC的角平分線，則NCAD的度數(shù)為【】（2012浙江嘉興、舟山5分）在直角ABC中，NC=90。，AD平分NBAC交BC于點D,若CD=4,則點D到斜邊AB的距離為 .（2012 湖南婁底 4 分）如圖，F(xiàn)EO

19、N, OE 平分NMON, ZFEO=28,則NMFE= 度.三、等腰（邊）三角形的軸對稱性：典型例題：例1. （2012黑龍江牡丹江6分）已知一個等腰三角形的腰長為5,底邊長為8,將該三角形沿底邊上的高 剪成兩個三角形，用這個兩個三角形能拼成幾種平行四邊形？請畫出所拼的平行四邊形，直接寫出它們的 對角線的長，并畫出體現(xiàn)解法的輔助線圖2中，對角線的長為3和舊;圖3中，對角線的長為4和2萬【考點】拼圖，等腰三角形的的性質(zhì)，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)拼圖。圖1中，拼成的平行四邊形是矩形，對角線的長為5：圖2中，一條對角線的長為3,另一條對角線的長為序熏二/

20、行；圖2中，一條對角線的長為3,另一條對角線的長為 V42+62=s/52=2Vl3 o例2. （2012福建三明4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在第一象限，點P在x軸上，若以P, O,A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有【】【答案】&【考點】等腰三角形的判定?！痉治觥咳鐖D，分OP=AP （1點），OA=AP （1點），OA=OP （2點）三種情況討論。，以P, O, A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有4個。故選C例3. （2012湖北荊門3分）如圖，AABC是等邊三角形，P是NABC的平分線BD上一點，PE_LAB于點E,線段BP的k垂直平分線交BC于點F,

21、垂足為點Q.若BF=2,則PE的長為【】A. 2B. 2a/3 C. V3 D. 3【答案】C.【考點】等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，線段垂直平分線的 性質(zhì)。【分析】:ABC是等邊三角形，點P是NABC的平分線，.NEBP=NQBF=30。，VBF=2, FQ_LBP. .BQ=BFcos300=2x 卓=# .FQ是BP的垂直平分線，BP=2BQ=2/,在 RtABEF 中，V ZEBP=30, .PE=1 BP= 73 o 故選 C.2例4. （2012上海市4分）我們把兩個三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一個平而內(nèi)有兩個邊長相等的等邊三角形，如

22、果當(dāng)它們的一邊重合時，重心距為2,那么當(dāng)它們的一對角成對頂角時，重心距為【考點】三角形的重心，等邊三角形的性質(zhì)?！敬鸢浮?。二它們的一邊重合時（圖1）,重心距為2,【分析】設(shè)等邊三角形的中線長為a,則其重心到對邊的距離為：la, 32 a=2，解得 a=3。 32?,當(dāng)它們的一對角成對頂角時（圖2）重心=2；a=2 ：.3=4。33例5. （2012黑龍江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10, BC=3, E為AB邊的中點，P為CD邊上的點,且aAEP是腰長為5的等腰三角形，則DP= .【答案】4或1或9。【考點】矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】如圖，根據(jù)題意，VAB=

23、10, BC=3, E 為 AB 邊的中點，:.AE=5, AD=3a若 AE=AP=5,則在 RlADP中，由勾股定理，得DPi=4若 AE=PE=5, A 作 EF1CD 于點 F,則 EF=3, DF=5在 RtAEFP2中，PF=4. .DP2=DF-P2F=1：在 RlZEFP3 中，P3F=%，DP3=DF+PaF=9。另AP=EP=5不成立。綜上所述，DP=4或1或9。例6. （2012湖北隨州8分）如圖，在AABC中，AB=AC,點D是BC的中點，點E在AD上.求證：（1） AABDAACD：BE=CE【答案】證明：（1）:口是BC的中點，BD=CD。在4ABD 和aACD 中

24、，VBD=CD. AB=AC, AD=AD（公共邊）,.-.ABCAACD （SSS）o(2)由(1)知ABDACD,，NBAD=NCAD,即NBAE=NCAE“在4ABE 和4ACE 中， VAB=AC, ZBAE=ZCAD AE=AE,AAABEAACE （SAS）。ABE=CE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）.【考點】等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)全等三角形的判定定理SSS可以證得ABDgAACD。（2）由（1）的全等三角形的對應(yīng)角相等可以推知NBAE=/CAE：根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知ABEAACE：由全等三角形的對應(yīng)邊相等知BE=CEq練習(xí)題：（2

25、012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，AABC為等邊三角形，點E在BA的延長線上, 點D在BC邊上，且ED=EC.若AABC的邊長為4, AE=2,則BD的長為【】A. 2 B. 3 C. /3 D. 6+1（2012湖北孝感3分）如圖，在AABC中，AB=AC, ZA=36, BD平分NABC交AC于點D,若AC=2,則AD的長是【】（2012 江蘇淮安 3 分）如圖，ABC 中，AB=AC, ADBC,垂足為點 D,若NBAC=70,則NBAD=（2012四川瀘州5分）如圖，AABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點，以CD為邊作等邊三角形 CDE,使點E、A在直線DC的同側(cè)，連結(jié)

26、AE。求證：AE/7BC（2012甘肅白銀10分）如圖，已知AABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，ZEFB=60,DC=EF.（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形:（2）若 BF=EF,求證：AE=AD.四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的軸對稱性：典型例題：例L （2012遼寧沈陽3分）如圖，正方形ABCD中，對角線AC, BD相交于點O,則圖中的等腰直角三角形有【A. 4 個 B. 6 個 C. 8 個 D. 10 個【答案】Co【考點】等腰直角三角形的判定，正方形的性質(zhì)?！痉治觥空叫蜛BCD中，對角線AC、BD相交于點O,，AB=BC=CD=AD, OA=OB=OC=OD

27、,四個角都是直角，ACJ_BD,圖中的等腰直角三角形有AAOB、AAODs COD、ABOC. ZXABC、ABCD. AACD. ABDA 八個。故選c。例2. （2012安徽省4分）為增加綠化而積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚, 更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為。，則陰影部分的面積為2a2B. 3a* CAa2D.5t/2【答案】A?！究键c】正多邊形和圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)?！痉治觥繄D案中間的陰影部分是正方形，面積是丁，由于原來地磚更換成正八邊形，四周一個陰影部分是 對角線為“的正方形的一半，它的而積用對角線積的一

28、半來計算：a1 +-x-a2 x4 = 2n2 （ 故選 A0 2 2例3. （2012山西省2分）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC. BD的長分別為6cm、8cm, AE_LBC于點E,則AE的長是【】A. 5、/5cmB. 2cm【答案】D.【考點】菱形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】:四邊形ABCD是菱形，CO=，AC=3, BO=1bD=, AOBO, 22BC=a/cO2+BO2 = V32 +42 = 5。:. S9 2ABeD = ；BD AC = ：x6x8 = 24又 YS更形abcd = BC AE,，BCAE=24,即 AE = J(cm). 故選 D.5A.小cmB. 2c

29、m例4. (2012江蘇南通3分)如圖，矩形ABCD的對角線AC=8cm, ZAOD=120,貝lj AB的長為【答案】D。【考點】矩形的性質(zhì)，平角定義，等邊三角形的判定和性質(zhì)，【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=-AC=4cm, 2V ZAOD=120% /. ZAOB=l80-120=60o AAAOB 是等邊三角形。/. AB=AO=4cnio 故選 D,例5. （2012湖北恩施3分）如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3, ZA=120%則圖中陰影部分的而積是【】A. y/3 B. 2 C. 3 D. y/2【答案】Ao【考點】菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三

30、角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值.【分析】如圖，設(shè)BF、CE相交于點/菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3, TOC o 1-5 h z 口匚.CM BC pn CM2GF BG 32+3解得 CM=L2. ADM=2- 1.2=0.8.V ZA=120% :. ZABC=180 - l20=60fl菱形 ABCD 邊 CD 上的高為 2sin6(T=2xg = ，菱形ECGF ill CE上的高為3sin6(r=3x正=叵 22陰影部分面積=S4bdm+S/.di：m= x0.8x /3 + x0.8x 又=/3 故選 A。 222例6. （2012廣東深圳3分）如圖，RtZABC中，

31、C=90。，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且正方形對角線交于點D,連接OC,已知AC=5, OC=6粒,則另一直角邊BC的長為 【答案】7.【考點】正方形的性質(zhì)，全等三角形的捌定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì), 勾股定理?！痉治觥咳鐖D，過。作OF垂直于BC,再過0作OFJ_BC,過A作AM_LOF,二四邊形ABDE為正方形./AQB=9（n OA-OB.二 NA0M+NB0F=9%又/AMO=g。，/.ZAOM+ZOAM=90% /. ZBOF=ZOAM.SAaomAbof 中,/ ZAMO=ZOFB=90, NOAM=NBOF, OA=OB, .,.AOMABOF

32、 (AAS)o /. AM=OF, OM=FBa又 ZACB=Z ANIF=ZCFM=90,四邊形 ACFM 為矩形。，AM=CF, AC=MF=5O .-.OF=CFo ?. OCF為等腰直角三角形。VOC=6/2 ,根據(jù)勾股定理得:CF2+OF2=OC2,即 2CFI6&)2,解得：CF=OF=6。FB=OM=OF-FM=6- 5=1.二 BC=CF+BF=6+1=7.例Z （2012上海市12分）己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD, NBAF=NDAE,AE與BD交于點G.（1）求證：BE=DF：四邊形BEFG是平行四邊形.當(dāng)黑=梨時求證:【答案】證明：（1） 四邊

33、形ABCD是菱形，AB=AD, ZABC=ZADF,VZBAF=ZDAE, A ZBAF - ZEAF=ZDAE - ZEAF,即：ZBAE=ZDAF./.BAEADAF (ASA)a，BE=DF。(2) 四邊形 ABCD 是菱形，AAD/BCa AAADGAEBGo A =BE BG又BE=DF ,，三=包= 22。，GFBC。FC DF FC BE BGZDGF=ZDBC=ZBDCo ，DF=GF。又BE=DF , ，B4=GFc，四邊形BEFG是平行四邊形。【考點】菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形 的判定，平行四邊形的判定?！痉治觥浚?

34、）由菱形的性質(zhì)和NBAF=NDAE,證得AABF與AFD全等后即可證得結(jié)論。（2）由ADBC證得ADGs/EBG,從而且=變；由E = 22和BE=DF即可得證得 BE BG FC DF = =從而根據(jù)平行線分線段成比例定理證得FGBC,進(jìn)而得到/DGF=NDBC=NBDC,FC BE BG根據(jù)等腰三角形等角對等邊的判定和BE=DF ,證得BE=GF.利用一組對邊平行且相等即可判定平行四邊 形， 例8. （2012湖南婁底9分）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD.BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點.(1)求證：MBAgANDC；（2）四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由.

35、【答案】解：（1）證明:四邊形ABCD是矩形, AB=CD, AD=BC,.在矩形ABCD中，M、N分別是AD.BC的中點,AAM=CNo在aMAB和4NDC中,VAB=CD NA=NC=9O） AM=CN.-MABANDC （SAS）o（2）四邊形MPNQ是菱形，理由如下：連接 AN,易證：AABNABAM,AAN=BMo鄉(xiāng)NDC, ABM=DN.ZA=ZC=90%，AM=，AD, CN=，BC“22VP. Q分別是BM、DN的中點，APM=NQoVDM=BN, DQ=BP, NMDQ=NNBP.AAMQDANPB （SAS），MQ=PN。四邊形MPNQ是平行四邊形。TM 是 AB 中點，Q

36、 是 DN 中點，AMQ=1aN, AMQ=1bM4,22又AMP=MQo，四邊形 MQNP 是菱形。2【考點】矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點的定義，利用SAS判定MBAgANDC。 NAEO=NDEM, /. ZODF+ZDEM=90% AAMXDFc【考點】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系。【分析】由DE=CF,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出OE=OF,從而證明AOEgaDOF,得出NOAE=/ODF, 然后利用等角代換可得出NDME=90。，即得出了結(jié)論。例10. （2012貴州貴陽10分

37、）如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD 上.（1）求證:CE=CF：（2）若等邊三角形AEF的邊長為2,求正方形ABCD的周長.【答案】 證明；:四邊形ABCD是正方形，AB=AD。丁是等邊三角形一.AE=AF0在 RtZgBE和 RtZkADF 中，xB=AD, AE=AF, /.RtA ABERtA ADF (HL) o，CE=CF。C2）解，連接ACs交Ef于G點，.AEF是等邊三角形，&ECF是等腰直角三角形，-.AC1EF.在 RtaAGE 中，EG=sin30AE= 1x2=1, .,.EC=.設(shè) BE=* 貝IJ AB=BC=x+ & ,在RtZ

38、ABE中，AB2+BE2=AE2,即（溫點）2+x2=4,解得 衿一立士避（負(fù)值舍去）。 222二正方形ABCD的周長為4AB=2 （后）。【考點】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三 角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理。【分析】（1）根據(jù)正方形可知AB=AD,由等邊三角形可知AE=AFj于是可以證明出ABEgAADF,即可得出CE=CF.C 2）連接AC,交印與G點,由 AEF是等邊三角形,AECF是等慢直角三角形，于是可知AC1EF, 求出EG=L設(shè)BEf,利用勾股定理求出為即可求出AB的值，從而求出正方形的周長.練習(xí)題：（2012陜西

39、省3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O, OE1AB,垂足為E,若ZADC=130,則NAOE的大小為【A. 75B. 65C. 55D. 50（2012江蘇蘇州3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O, CEBD, DEAC,若AC=4,則四邊形CODE的周長是【A.4B.6C.8D. 10（2012江蘇徐州3分）如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC=1bC。圖 4中相似三角形共有【】A. 1 對 B. 2 對 C. 3 對 D. 4 對*（2012貴州畢節(jié)3分）如圖，在正方形ABCD中，以A為頂點作等邊AEF,交BC邊于E,交DC邊

40、于F；又以A為圓心，AE的長為半徑作EF,若4AEF的邊長為2,則陰影部分的面積約是【】（參考數(shù)據(jù)：0QL414, 3。1.732,冗取3.14）A. 0.64B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD,得到APAB、PBC、PCD、APDA,設(shè)它們的面積分別是8、S2、S3、S4,給出如下結(jié)論：（1）S 1+82=83+84 Sz+S4= Sj+ S3若S3=2Si,則S4=2Sz若S尸S2,則P點在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.（2012湖北天門、仙桃、潛江、

41、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+l （其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF,連接AM、ME、EA得到AAME.當(dāng)AB=1時, AME的面積記為S：當(dāng)AB=2時，4AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時，ZAME的而積記為S3:;當(dāng)AB=n時，ZkAME的面積記為Sn.當(dāng)吟2時，Sn - Sn 1= A（2012重慶市10分）己知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M, 過M作MEJ_CD于點E, N1=N2.（1）若CE=1,求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME.（2012四川涼山7分）如圖，在矩形ABCD中，AB=

42、6, AD=12,點E在AD邊上，且AE=8, EFXBE 交CD于F.(1)求證：ABEsAJDEF：(2)求EF的長.9.（2012四川內(nèi)江9分）如圖，矩形ABCD中，E是BD上的一點，NBAE=NBCE, ZAED=ZCED,點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F。（1）求證：四邊形ABCD是正方形:（2 ）當(dāng)AE=2EF時，判斷FG與EF有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。10. （2012貴州黔南12分）如圖1,在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD邊上的點,且 AE_LEF, BE=2(1)求 EC CF 值:（2）延長EF交正方形NBCD的外角平分線CP于點

43、P （圖2）,試判斷AE與EP大小關(guān)系，并說明理由;（3）在圖2的AB邊上是否存在一點M,使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明：若不存在，請說明理由。五、等腰梯形的軸對稱性:典型例題:例L （2012廣東廣州3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，BC: AD, AD=5, DC=4, DEAB交BC于點E,且EC=3,則梯形ABCD的周長是【】A. 26 B. 25 C. 21 D. 20【答案】Co【考點】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)?！痉治觥縑BC/7AD, DEAB,，四邊形ABED是平行四邊形。ABE=AD=5oVEC=3,，BC=BE+EC=8。:四邊形ABCD是

44、等腰梯形，AB=DC=40 二梯形 ABCD 的周長為：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21 o 故選 C。例2. （2012福建漳州4分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC, AB=DC, ZB=800,則ND的度數(shù)A. 120B. 110D. 80【答案】C.【考點】等腰梯形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)?！痉治觥縑AD/7BC, ZB=80% A ZA= 180- ZB= 180-80= 100%四邊形ABCD是等腰梯形，ND=NA=100。故選C.例3. （2012山東臨沂3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,對角線AC. BD相交于點O,下列結(jié)論不一定正確的是【】AC=BD B.

45、 OB=OC C. ZBCD=ZBDC D. ZABD=ZACD【答案】C.【考點】等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形邊角關(guān)系，三角形內(nèi)角 和定理?！痉治觥緼. .四邊形ABCD是等腰梯形，AC=BD,故本選項正確。四邊形 ABCD 是等腰梯形，AAB=DC, ZABC=ZDCB,;在AABC 和aDCB 中，AB=DC, NABC=NDCB, BC=CB,AAABCADCB （SAS）。AZACB=ZDBC. AOB=OC,故本選項正確。TBC和BD不一定相等，.,.NBCD與NBDC不一定相等，故本選項錯誤。VZABC=ZDCB, NACB=NDBC, AZA

46、BD=ZACDo 故本選項正確 故選C,例4. （2012山東煙臺3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點坐標(biāo)為（4, 0）, D點坐標(biāo)為（0, 3）,則AC長為【rA. 4 B. 5 C. 6 D.不能確定【答案】B.【考點】等腰梯形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，連接BD,由題意得，OB=4, OD=3,根據(jù)勾股定理，得BD=5。又丁 ABCD是等腰梯形，AAC=BD=5o故選B “例工（2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC, ACLBD, AD=3, BC=7, 則梯形的面積是【】A. 25 B. 50 C. 25J

47、I D.吆2 4【答案】A。【考點】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。【分析】過點D作DEAC交BC的延長線于點E,作DFLBC于VAD/7BC, DEAC,，四邊形ACED是平行四邊形。，AD=CE=3, AC=DE,在等腰梯形ABCD中，AC=DB,，DB=DEc人、木、 TOC o 1-5 h z VAC1BD, ACDE, ADB1DE./、BDE是等腰直角三角形。.DF=;bE=50/i、11BFCS wh；abcd=-（ AD+BC）DF= （3+7） x5=25 故選 A。 22例6. （2012江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，ADBC, A

48、B=CD,對角線AC、BD交于點O, AC1BD,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點（1）求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AD=2, BC=4,求四邊形EFGH的面積。A、4 口B F C【答案】（1）證明：在aABC中，E、F分別是AB、BC的中點，EF=1aCo同理 FG=，BD, GH=1 AC HE=，BD. 222:在梯形 ABCD 中，AB=DC,，AC=BD“，EF=FG=GH=HE,，四邊形 EFGH 是菱形。設(shè)AC與EH交于點M,在4ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，則EHBD,同理GHAC。又lACBD, AZBOC=90% ZEHG=ZEMC=9

49、0%四邊形EFGH是正方形。（2）解：連戰(zhàn) EG。eg?在梯形ABCD中，E、F分別是AB、DC的中點，EG = ；（ AD + BC） = 3 0 TOC o 1-5 h z 在 RtZEHG 中，VEH2+GH2=EGs EH=GH,/BF今 99A EH2=-,即四邊形EFGH的而積為一。 22【考點】三角形中位線定理，等腰梯形的性質(zhì)，正方形的判定，梯形中位線定理，勾股定理.【分析】（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由ACLBD入手,進(jìn)行正方形的判斷。（2）連接EG,利用梯形的中位線定理求出EG的長，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出EH2=2 ,也 2即得出了正方形EHGF的面積。例

50、7. （2012湖南永州8分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，且AE=GF=GC 求證：四邊形AEFG為平行四邊形.【答案】證明：梯形ABCD是等腰梯形，ADBC,AZB=ZC （等腰梯形底角相等）。VGF=GC, A ZGFC=ZC （等邊對等角）。AZGFC=ZB （等量代換）。，ABGF （同位角相等，兩直線平行）。又AE=GF,.四邊形AEFG是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。【考點】等腰梯形和三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定。【分析】由等腰梯形的性質(zhì)可得出NB=NC,再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到NC=NGFC

51、,所以NB=NGFC, 故可得出ABGF,再由AE=GF即可得出結(jié)論。練習(xí)題：（2012江蘇無錫3分）如圖，梯形ABCD中，ADBC, AD=3, AB=5, BC=9, CD的垂直平分線交BC于E,連接DE,則四邊形ABED的周長等于】（2012福建廈門4分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,對角線AC與BD相交于點O,若OB=3,則 OC= .BC（2012遼寧營口 3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,過點D作DF_LBC于F.若AD=2,BC=4, DF=2,則DC的長為 .（2012江蘇蘇州6分）如圖，在梯形ABCD中，已知ADBC, AB=CD,延長線段CB到E,使BE=

52、AD.連接AE、AC.求證：AABEACDA：（2）若NDAC=40。，求NEAC 的度數(shù).（2012湖南懷化10分）如圖，在等腰梯形ABCD中，點E為底邊BC的中點，連結(jié)AE、DE.求證:AE=DE.（2012四川南充6分）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC,點E是AD延長線上的一點，且CE=CD,求證：ZB=ZE六、圓的軸對稱性:典型例題:例1. （2012陜西省3分）如圖，在半徑為5的圓O中,AB,CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且AB=CD=8,則OP的長為【A. 3B. 4【答案】CoK考點】垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥孔饔贠NCD于N,連接OP, OB,

53、0D,/AB=CD=8,.二由垂徑定理和全等三角形的性質(zhì)得3 AM=BM=CN=DN=4, OK4=ONa又0B=5,，由勾股定理得；OM=752-42 =3弦 AB、CD 互相垂直，NDPB=gH。OWLLAB 于 M, OKLLCD 于 N, /. ZOMP=ZONP=90o，四邊形 MONP 是正方形。，PM=PN=0IVI=CiN=3。,由勾股定理得，OP = 732+-32 = 372 0故選C。例2. (2012江蘇泰州3分)如圖，ABC內(nèi)接于OO, ODJ_BC于D, ZA=50%則NOCD的度數(shù)是D. 60A. 40 B. 45C. 50【答案】Ao【考點】圓周角定理，垂徑定理

54、，三角形內(nèi)角和定理。【分析】連接OB,VZA和NBOC是弧BC所對的圓周角和圓心角，且NA=5()c.AZBOC=2ZA=100o又ODLBC, 根據(jù)垂徑定理，ZDOC=1 ZBOC=50o2工 ZOCD= 18(yj-900-50=40o 故選 A.例3. （2012四川內(nèi)江3分）如圖，AB是。O的直徑，弦CDJ_A, NCDB=30。，CD=2jJ,則陰影部分圖形的面積為【】A.47TB.27T【答案】D,C.7T_ 24D.【考點】垂徑定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，扇形面積公式,【分析】連接OD。VCD1AB, CD=25/3 , ACE=DE=lcD = /3

55、 （垂徑定理）。 2SOCE =SCDE。二陰影部分的面積等于扇形OBD的面積。又NCDB=30。，ZCOB=ZBOD, /. ZBOD=60 （圓周角定理）。.OC=2a工5扇形08口二上二=三，即陰影部分的而積為多。故選D。36033例4. （2012山東泰安3分）如圖，AB是。O的直徑，弦CDLAB,垂足為M,下列結(jié)論不成立的是【】ABA. CM=DrM B. CB=DB C. ZACD=ZADC D. OM=MD【答案】D,【考點】垂徑定理，弦、弧和圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】AB是。O的直徑，弦CD_LAB,垂足為M, 為CD的中點，即CM=DM,選項A成立：百度文

56、庫，是您的私人資料庫，請您收藏本頁!木資料由文庫店鋪編輯而成，供您隨時下載選用!百度文庫，是您的私人資料庫，請您收藏本頁!木資料由文庫店鋪編輯而成，供您隨時下載選用!o ，B為CD的中點，即CB=DB,選項B成立；在ZACM 和AADM 中，VAM=AM, ZAMC=ZAMD=90% CM=DM,AAACMAADM （SAS）,，NACD=/ADC,選項 C 成立，而OM與MD不一定相等，選項D不成立。故選D。例5. （2012浙江衢州4分）工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm,測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,如圖所示，則這個小圓孔的件口 AB的長度為 mm.

57、【答案】8。【考點】垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理。【分析】連接OA,過點。作ODJ_AB于點D,貝iAB=2AD.鋼珠的直徑是10mm,.鋼珠的半徑是5mm。鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,.OD=3mm。在 RtAAOD 中，V AD = VOA2 -OD2 = /52-32 = 4mm,二 AB=2AD=2x4=8mm K例6.（2012山東東營4分）某施工工地安放了一個圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1）,若不計木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC, AD=BC=48cm,則圓柱形飲水桶的底而半徑的最大值cm.A （圖2）【答案】30。【考點】垂徑定理的應(yīng)用，勾般定理?！痉治觥?/p>

58、當(dāng)圓柱形飲水桶的底面半徑最大時，圓外接于ABC；連接外心與B點,可通過勾股定理即可求出圓的半徑:如圖，連接OB, 當(dāng)。O TjAABC的外接圓時圓柱形飲水桶的底面半徑的最大。AD 垂直平分 BC, AD=BC=48cm,，O 點在 AD 上，BD=24cnio 在 RtZWBD 中，設(shè)半徑為 r,則 OB=r, OD=48-rar2= (48 r) 2+24,解得 r=30，圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值為30cme例7. （2012青海省2分）如圖，已知點E是圓O上的點，B、C分別是劣弧AD的三等分點，ZBOC=46,則NAED的度數(shù)為 度.【答案】69【考點】圓周角定理。【分析】VB, C

59、分別是劣弧AD的三等分點，NBOC=46。，.NAOD=138。（等弧所對圓心角相等）。 NAED=138/2=69。（同弧所對圓周角是圓心角的一半）。例8.（2012江蘇南通8分）如圖,OO的半徑為17cm,弦ABCD, AB = 30cm. CD = 16cm,圓心O位于AB、CD的上方，求AB和CD間的距離.【答案】解：分別作弦AB、CD的弦心距，設(shè)垂足為E、F,連接OA, OCoVAB=30 CD=16. AAE=-AB=15, CFCD=8。 22又TOO的半徑為17,即OA=OC=17c工在 RtZkAOE 中，OE = Joa2-A2 =417? -6 =8。在 Rt/kOCF

60、中，OF = 7OC2-CF2 =V172-82 =15 oAEF=OF-OE=15-8=7o答：AB和CD的距離為7cm【考點】垂徑定理，勾股定理。【分析】分別作弦AB、CD的弦心距，設(shè)垂足為E、F：由于ABCD,則E、O、F三點共線，EF即為AB、CD間的距離；由垂徑定理，易求得AE、CF的長,可連接OA、ODC在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)即弦AB、CD間的距離。勾股定理即可求出OE、OF的長，也就求出了 EF的長,例9. （2012湖南岳陽6分）如圖所示，在OO中，AD = AC,弦AB與弦AC交于點A,弦CD與AB交于點F,連接BC.(1)求證：AC2=AB*AF：（2）若。O的半徑長為