2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)3.1隨意角和弧度制及隨意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計新人教A版考情剖析考點新知①認(rèn)識隨意角的觀點；認(rèn)識終邊同樣的角的意義.②認(rèn)識弧度的意義，并能進行弧度與角度的互化.①能正確進行角度與弧度的互化.③理解隨意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)②正確理解隨意角三角函數(shù)的定義，并能準(zhǔn)的定義；初步認(rèn)識有向線段的觀點，會利用確判斷三角函數(shù)的符號.單位圓中的三角函數(shù)線表示隨意角的正弦、余弦、正切．(必修4P15練習(xí)6改編)若角θ同時知足sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊必定落在第________象限．答案：四分析：由sinθ<0，可知θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tanθ<0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，可知θ的終邊只好位于第四象限．2.角α終邊過點(－1，2)，則cosα＝________．答案：－

55已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是________．答案：1或44.已知角α終邊上一點P(－4a，3a)(a<0)，則sinα＝________．3答案：－5(必修4P15練習(xí)2改編)已知角θ的終邊經(jīng)過點P(－x，－56)，且cosθ＝－13，則sinθ＝____________，tanθ＝____________．12答案：－135－x55分析：cosθ＝x2＋36＝－13，解得x＝2.sinθ＝－6＝－1212.52，tanθ＝5213－2＋（－6）隨意角角的觀點的推行①按旋轉(zhuǎn)方向不一樣分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊地點不一樣分為象限角和軸線角．終邊同樣的角終邊與角α同樣的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．弧度制①1弧度的角：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角l的弧度數(shù)為零，|α|＝r，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，為半徑．弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．④弧長公式：l＝|α|r．112扇形面積公式：S扇形＝2lr＝2|α|r．2.隨意角的三角函數(shù)(1)隨意角的三角函數(shù)定義設(shè)P(x，y)是角α終邊上任一點，且|PO|＝r(r＞0)，則有sinyxyα＝r，cosα＝r，tanα＝x，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的正當(dāng)口訣是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．三角函數(shù)線設(shè)角α的極點在座標(biāo)原點，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓訂交于點P，過P作PM垂直于x軸于M，則點M是點P在x軸上的正射影．由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標(biāo)為(cosα，sin)，即P(cosα，sinα)，此中cosα＝OM，sinα＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延伸線訂交于點T，則tanα＝AT．我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線．三角函數(shù)線[備課札記]題型1三角函數(shù)的定義例1α是第二象限角，P(x，5)為其終邊上一點，且cos2α＝4x，求sinα的值．解：∵OP＝2x＝x＋5，∴cosα＝2x＋524

x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－3，10sinα＝x2＋5＝4.變式訓(xùn)練2已知角α終邊上一點P(－3，y)，且sinα＝4y，求cosα和tanα的值．2222yy2解：r＝x＋y＝y(tǒng)＋3，由sinα＝r＝y(tǒng)2＋3＝4y，∴y＝±5或y＝0.當(dāng)y＝5即α是第二象限角時，cosαx615＝r＝－4，tanα＝－3；當(dāng)y＝－5即α是第三象限角時，x615cosα＝r＝－4，tanα＝3；當(dāng)y＝0時，P(－3，0)，cosα＝－1，tanα＝0.題型2三角函數(shù)值的符號及判斷例2(1)假如點P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，試判斷角θ所在的象限；若θ是第二象限角，試判斷sin(cosθ)的符號．解：(1)由于點P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，sin

θ>0，即

所以θ為第二象限角．cosθ<0，π(2)∵

2k

π＋

2

<θ<2kπ＋π(k∈

Z)，∴

－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符號是負(fù)號．備選變式（教師專享）已知點P(tanα，cosα)在第二象限，則角α的終邊在第________象限．答案：四分析：由題意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的終邊在第四象限．題型3弧長公式與扇形面積公式例3已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；若扇形的周長是必定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形有最大面積？解：(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓．π10∵α＝60°＝3，R＝10，∴l(xiāng)＝3π(cm)．S＝S－S＝11012π3弓扇△cm2.C(2)∵扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝2＋α，∴S121C2C2αC21C2扇＝α·R＝α2＋α＝·4＋α＋α2＝·≤，222424164＋α＋α4當(dāng)且僅當(dāng)α＝α，即α＝2(α＝－2舍去)時，扇形面積有最大值2C備選變式（教師專享）已知2rad的圓心角所對的弦長為2，求這個圓心角所對的弧長．解：如圖，∠AOB＝2rad，過O點作OC⊥AB于C，并延伸OC︵1交AB于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC＝2AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝AC12＝sin1，進而弧AB的長為l＝|α|·r＝.sin∠AOCsin18πα若α角與5角終邊同樣，則在[0，2π]內(nèi)終邊與4角終邊同樣的角是________．2π9π7π19π答案：5，10，5，108πα2πkπ分析：由題意，得α＝5＋2kπ(k∈Z)，4＝5＋2αα2π9π(k∈Z)．又4∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，4＝5，10，7π19π5，10.2π2π已知角α(0≤α≤2π)的終邊過點Psin3，cos3，則α＝__________．答案：11π6分析：將點P的坐標(biāo)化簡得31，它是第四象限的點，r2，－2x311π＝|OP|＝1，cosα＝r＝2.又0≤α≤2π，所以α＝6.已知扇形的周長為8cm，則該扇形面積的最大值為________cm2.答案：41分析：設(shè)扇形半徑為rcm，弧長為lcm，則2r＋l＝8，S＝2rl＝1r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4(cm2)．2若角α的終邊與直線y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α終邊上一點，且|OP|＝10，則m－n＝________．答案：2n＝3m，分析：依題意知22m＋n＝10.解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的終邊在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.kππ1.設(shè)會合M＝αα＝2－3，k∈Z，N＝{α|－π＜α＜}，則M∩N＝________．5π，－π，π2π答案：－36，63kππ48分析：由－π＜2－3＜π，得－3＜k＜3.∵k∈Z，5ππ2∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝－6π，－3，6，3π.π已知α＝3，回答以下問題．寫出全部與α終邊同樣的角；寫出在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊同樣的角；β若角β與α終邊同樣，則2是第幾象限的角？解：(1)全部與α終邊同樣的角可表示為πθθ＝2kπ＋3，k∈Z.π由(1)令－4π＜2kπ＋3＜2π(k∈Z)，11則有－2－6＜k＜1－6.∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.11π5ππ故在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊同樣的角是－3、－3、3.πβπ由(1)有β＝2kπ＋3(k∈Z)，則2＝kπ＋6(k∈Z)．β∴2是第一、三象限的角．x已知角α的終邊經(jīng)過點P(x，－2)，且cosα＝3，求sinα和tanα.22x解：由于r＝|OP|＝x＋（－2），所以由cosα＝3，得xxx2＋（－2）2＝3，解得x＝0或x＝±5.當(dāng)x＝0時，sinα＝225－1，tanα不存在；當(dāng)x＝5時，sinα＝－3，tanα＝－5；225當(dāng)x＝－5時，sinα＝－3，tanα＝5.已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.求弦AB所對的圓心角α的大小；求α所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)由圓O的半徑r＝10＝AB，知△AOB是等邊三角形，π∴α＝∠AOB＝3.ππ由(1)可知α＝3，r＝10，∴弧長l＝α·r＝3×1010π1110π50π1103＝3，∴S扇形＝2lr＝2×3×10＝3，而S△AOB＝2·AB·21103503π3＝2×10×2＝2，∴S＝S扇形－S△AOB＝503－2.1.(1)要求合適某種條件且與已知角終邊同樣，其方法是先求出與已知角終邊同樣的角的一般形式，再依據(jù)條件解方程或不等式．(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，而后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題．若直線的傾斜角為特別角，也可直接寫出角．已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到