圓與圓位置關(guān)系的教案

圓與圓位置關(guān)系的教案1

教學(xué)目標(biāo)

1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理;

2、掌握相交兩圓問(wèn)題中常添的輔助線(xiàn)的作法;

3、通過(guò)例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;

4、結(jié)合相交兩圓連心線(xiàn)性質(zhì)教學(xué)向?qū)W生滲透幾何圖形的對(duì)

稱(chēng)美.

教學(xué)重點(diǎn)

相交兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)

應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)證明相交兩圓連心線(xiàn)的性質(zhì)和準(zhǔn)確添加輔助

線(xiàn).

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

(一)圖形的對(duì)稱(chēng)美

相切兩圓是以連心線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)圖形.相交兩圓具有什

么性質(zhì)呢?

(二)觀察、猜想、證明

1、觀察：同樣相交兩圓，也構(gòu)成對(duì)稱(chēng)圖形，它是以連心線(xiàn)

為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形.

2、猜想：“相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦”.

3、證明：

對(duì)A層學(xué)生讓學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明，教師組織;對(duì)B、

C層在教師引導(dǎo)下完成.

已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.

求證：Q1O2是AB的垂直平分線(xiàn).

分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線(xiàn)，只要證明O1O2上

的點(diǎn)和線(xiàn)段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，于是想到連結(jié)O1A、O2A、

O1B、O2B.

證明：連結(jié)O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，

∴O1點(diǎn)在AB的垂直平分線(xiàn)上.

又∵O2A=O2B，∴點(diǎn)O2在AB的垂直平分線(xiàn)上.

因此O1O2是AB的垂直平分線(xiàn).

也可考慮利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性加以證明：

∵⊙Ol和⊙O2，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴直線(xiàn)O1O2是⊙Ol和⊙O2

的對(duì)稱(chēng)軸.

∴⊙Ol和⊙O2的公共點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)O1O2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即在⊙Ol

上又在⊙O2上.

∴A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)O1O2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)只能是B點(diǎn)，

∴連心線(xiàn)O1O2是AB的垂直平分線(xiàn).

定理：相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦.

注意：相交兩圓連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交

兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線(xiàn).

(三)應(yīng)用、反思

例1、已知兩個(gè)等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，⊙Ol經(jīng)

O2。

求∠OlAB的度數(shù).

分析：由所學(xué)定理可知，O1O2是AB的垂直平分線(xiàn)，

又⊙O1與⊙O2是兩個(gè)等圓，因此連結(jié)O1O2和AO2，AO1，

△O1AO2構(gòu)成等邊三角形，同時(shí)可以推證⊙Ol和⊙O2構(gòu)成的圖

形不僅是以O(shè)1O2為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，同時(shí)還是以AB為對(duì)稱(chēng)

軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形.從而可由

∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.

解：⊙O1經(jīng)過(guò)O2，⊙O1與⊙O2是兩個(gè)等圓

∴OlA=O1O2=AO2

∴∠O1AO2=60°，

又AB⊥O1O2

∴∠OlAB=30°.

例2、已知，如圖，A是⊙Ol、⊙O2的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是

O1O2的中點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、

N。

求證：AM=AN.

證明：過(guò)點(diǎn)Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，

則OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN.

∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN.

例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，C為⊙

Ol上一點(diǎn)，AC交⊙O2于D，過(guò)B作直線(xiàn)EF交⊙Ol、⊙O2于E、

F.

求證：EC∥DF

證明：連結(jié)AB

∵在⊙O2中∠F=∠CAB，

在⊙Ol中∠CAB=∠E，

∴∠F=∠E，∴EC∥DF.

反思：在解有關(guān)相交兩圓的問(wèn)題時(shí)，常作出連心線(xiàn)、公共弦，

或連結(jié)交點(diǎn)與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長(zhǎng)的一半，圓心距

集中到一個(gè)三角形中，運(yùn)用三角形有關(guān)知識(shí)來(lái)解，或者結(jié)合相交

弦定理，圓周角定理綜合分析求解.

(四)小結(jié)

知識(shí)：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦.

該定理可以作為證明兩線(xiàn)垂直或證明線(xiàn)段相等的依據(jù).

能力與方法：①在解決兩圓相交的問(wèn)題中常常需要作出兩圓

的公共弦作為輔助線(xiàn)，使兩圓中的角或線(xiàn)段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng)

造條件，起到了“橋梁”作用;②圓的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用.

(五)作業(yè)教材P152習(xí)題A組7、8、9題;B組1題.

探究活動(dòng)

問(wèn)題1：已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)O1、O2、…、On在線(xiàn)段

AB上，分別以O(shè)1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內(nèi)切，

⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切

且與⊙O內(nèi)切.設(shè)⊙O的周長(zhǎng)等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周

長(zhǎng)分別為C1、C2、…、Cn.

(1)當(dāng)n=2時(shí)，判斷Cl+C2與C的大小關(guān)系;

(2)當(dāng)n=3時(shí)，判斷Cl+C2+C3與C的大小關(guān)系;

(3)當(dāng)n取大于3的任一自然數(shù)時(shí)，Cl十C2十…十Cn與C

的大小關(guān)系怎樣?證明你的結(jié)論.

提示：假設(shè)⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、

rl、r2、…、rn，通過(guò)周長(zhǎng)計(jì)算，比較可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+

C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.

問(wèn)題2：有八個(gè)同等大小的圓形，其中七個(gè)有陰影的圓形都

固定不動(dòng)，第八個(gè)圓形，緊貼另外七個(gè)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，當(dāng)它繞完

這些固定不動(dòng)的圓形一周，本身將旋轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)?

提示：1、實(shí)驗(yàn)：用硬幣作初步實(shí)驗(yàn);結(jié)果硬幣一共轉(zhuǎn)了4轉(zhuǎn).

2、分析：當(dāng)你把動(dòng)圓無(wú)滑動(dòng)地沿著圓周長(zhǎng)的直線(xiàn)上滾動(dòng)時(shí)，

這個(gè)動(dòng)圓是轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，但是，這個(gè)動(dòng)圓是沿著弧線(xiàn)滾動(dòng)，那么方才

的說(shuō)法就不正確了.在我們這個(gè)題目中，那動(dòng)圓繞著相當(dāng)于它的

圓周長(zhǎng)

的弧線(xiàn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，一共走過(guò)的不是轉(zhuǎn);

圓與圓位置關(guān)系的教案2

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握?qǐng)A與圓的五種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定方法;兩

圓連心線(xiàn)的性質(zhì);

2.通過(guò)兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分類(lèi)能力和數(shù)形結(jié)合能

力;

3.通過(guò)演示兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)

分析和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)：

兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：

兩圓位置關(guān)系及判定.

(一)復(fù)習(xí)、引出問(wèn)題

1.復(fù)習(xí)：直線(xiàn)和圓有幾種位置關(guān)系?各是怎樣定義的?

(教師主導(dǎo)，學(xué)生回憶、回答)直線(xiàn)和圓有三種位置關(guān)系，即

直線(xiàn)和圓相離、相切、相交.各種位置關(guān)系是通過(guò)直線(xiàn)與圓的公

共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定義的

2.引出問(wèn)題：平面內(nèi)兩個(gè)圓，它們作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，將會(huì)產(chǎn)生什

么樣的位置關(guān)系呢?

(二)觀察、分類(lèi)，得出概念

1、讓學(xué)生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、

相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系，準(zhǔn)確給出描述

性定義：

(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一

個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.(圖(1))

(2)外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以

外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.

這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(圖(2))

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交.(圖

(3))

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以

外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.

這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(圖(4))

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一

個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內(nèi)含

的一個(gè)特例.(圖(6))

2、歸納：

(1)兩圓外離與內(nèi)含時(shí)，兩圓都無(wú)公共點(diǎn).

(2)兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱(chēng)兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一

(3)兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類(lèi)：相離(外離和

內(nèi)含);相交;相切(外切和內(nèi)切).

教師組織學(xué)生歸納，并進(jìn)一步考慮：從兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

考慮，無(wú)公共點(diǎn)則相離;有一個(gè)公共點(diǎn)則相切;有兩個(gè)公共點(diǎn)則相

交.除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎?可能不可能有三個(gè)公共點(diǎn)?

結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系.

(三)分析、研究

1、相切兩圓的性質(zhì).

讓學(xué)生觀察連心線(xiàn)與切點(diǎn)的關(guān)系，分析、研究，得到相切兩

圓的連心線(xiàn)的性質(zhì)：

如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上.

這個(gè)性質(zhì)由圓的軸對(duì)稱(chēng)性得到，有興趣的同學(xué)課下可以考慮

如何對(duì)這一性質(zhì)進(jìn)行證明

2、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量特征.

設(shè)兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學(xué)生研究?jī)蓤A的

五種位置關(guān)系，r和d之間有何數(shù)量關(guān)系.(圖形略)

兩圓外切d=R+r;

兩圓相交R-rdr+r.p=""

兩圓內(nèi)切兩圓外離兩圓內(nèi)含

d=R-r(Rr);dR+r;dr);

說(shuō)明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué).

(四)應(yīng)用、練習(xí)

例1：如圖，⊙O的半徑為5厘米，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，OP=8

厘米

求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多

少?

(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內(nèi)切，大圓⊙P的半徑是多少?

解：(1)設(shè)⊙P與⊙O外切與點(diǎn)A，則

PA=PO-OA

∴PA=3cm.

(2)設(shè)⊙P與⊙O內(nèi)切與點(diǎn)B，則

PB=PO+OB

∴PB=13cm.

例2：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以

AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.

求證：⊙O與⊙B相外切.

證明：連結(jié)BO，∵AC為⊙O的直徑，AC=12，

∴⊙O的半徑，且O是AC的中點(diǎn)

∴，∵∠C=90°且BC=8，

∴，

∵⊙O的半徑，⊙B的半徑，

∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切.

練習(xí)(P138)

(五)小結(jié)

知識(shí)：①兩圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、

內(nèi)含;

②以及這五種位置關(guān)系下圓心距和兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系;

③兩圓相切時(shí)切點(diǎn)在連心線(xiàn)上的性質(zhì).

能力：觀察、分析、分類(lèi)、數(shù)形結(jié)合等能力.

思想方法：分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想.

(六)作業(yè)

教材P151中習(xí)題A組2，3，4題.

圓與圓位置關(guān)系的教案3

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.了解圓與圓之間的幾種位置關(guān)系.

2.了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量

關(guān)系的聯(lián)系.

(二)能力訓(xùn)練要求

1.經(jīng)歷探索兩個(gè)圓之間位置關(guān)系的過(guò)程，訓(xùn)練學(xué)生的探索能

力.

2.通過(guò)平移實(shí)驗(yàn)直觀地探索圓和圓的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的

識(shí)圖能力和動(dòng)手操作能力.

(三)情感與價(jià)值觀要求

1.通過(guò)探索圓和圓的位置關(guān)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索與

創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.

2.經(jīng)歷探究圖形的位置關(guān)系，豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)

識(shí)，發(fā)展形象思維.

教學(xué)重點(diǎn)

探索圓與圓之間的幾種位置關(guān)系，了解兩圓外切、內(nèi)切與兩

圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系.

教學(xué)難點(diǎn)

探索兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系，以及外切、內(nèi)切時(shí)兩圓圓心距

d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的過(guò)程.

教學(xué)方法

教師講解與學(xué)生合作交流探索法

教具準(zhǔn)備

投影片三張

第一張：(記作3.6A)

第二張：(記作3.6B)

第三張：(記作3.6C)

教學(xué)過(guò)程

Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

[師]我們已經(jīng)研究過(guò)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，分別為點(diǎn)在圓內(nèi)、

點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外三種;還探究了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，分別

為相離、相切、相交.它們的位置關(guān)系都有三種.今天我們要學(xué)習(xí)

的內(nèi)容是圓和圓的位置關(guān)系，那么結(jié)果是不是也是三種呢?沒(méi)有

調(diào)查就沒(méi)有發(fā)言權(quán).下面我們就來(lái)進(jìn)行有關(guān)探討.

Ⅱ.新課講解

一、想一想

[師]大家思考一下，在現(xiàn)實(shí)生活中你見(jiàn)過(guò)兩個(gè)圓的哪些位置

關(guān)系呢?

[生]如自行車(chē)的兩個(gè)車(chē)輪間的位置關(guān)系;車(chē)輪輪胎的兩個(gè)

邊界圓間的位置關(guān)系;用一只手拿住大小兩個(gè)圓環(huán)時(shí)兩個(gè)圓環(huán)間

的位置關(guān)系等.

[師]很好，現(xiàn)實(shí)生活中我們見(jiàn)過(guò)的有關(guān)兩個(gè)圓的位置很多.

下面我們就來(lái)討論這些位置關(guān)系分別是什么.

二、探索圓和圓的位置關(guān)系

在一張透明紙上作一個(gè)⊙O.再在另一張透明紙上作一個(gè)與

⊙O1半徑不等的⊙O2.把兩張透明紙疊在一起，固定⊙O1，平移

⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關(guān)系?

[師]請(qǐng)大家先自己動(dòng)手操作，總結(jié)出不同的位置關(guān)系，然后

互相交流.

[生]我總結(jié)出共有五種位置關(guān)系，如下圖：

[師]大家的歸納、總結(jié)能力很強(qiáng)，能說(shuō)出五種位置關(guān)系中各

自有什么特點(diǎn)嗎?從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的

內(nèi)部還是外部來(lái)考慮.

[生]如圖：(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每一個(gè)圓上

的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部;

(2)外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上的點(diǎn)

都在另一個(gè)圓的外部;

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，一個(gè)圓上的點(diǎn)有的在另一

個(gè)圓的外部，有的在另一個(gè)圓的內(nèi)部;

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外，⊙O2上的點(diǎn)

在⊙O1的內(nèi)部;

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，⊙O2上的點(diǎn)都在⊙O1的內(nèi)部.

[師]總結(jié)得很出色，如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮，上面的

五種位置關(guān)系中有相同類(lèi)型嗎?

[生]外離和內(nèi)含都沒(méi)有公共點(diǎn);外切和內(nèi)切都有一個(gè)公共點(diǎn);

相交有兩個(gè)公共點(diǎn).

[師]因此只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮，可分為相離、相切、相

交三種.

經(jīng)過(guò)大家的討論我們可知：

投影片(24.3A)

(1)如果從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外

部還是內(nèi)部來(lái)考慮，兩個(gè)圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相

交、內(nèi)切、內(nèi)含.

(2)如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮分三種：相離、相切、相

交，并且相離，相切

三、例題講解

投影片(24.3B)

兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖所示(點(diǎn)O，

O是圓心)，分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線(xiàn)，TP、NP

分別為兩圓的切線(xiàn)，求TPN的大小.

分析：因?yàn)閮蓚€(gè)圓大小相同，所以半徑OP=OP=OO，又TP、

NP分別為兩圓的切線(xiàn)，所以PTOP，PNOP，即OPT=OPN=90，所

以TPN等于360減去OPT+OPN+OPO即可.

解：∵OP=OO=PO，

△POO是一個(gè)等邊三角形.

OPO=60.

又∵TP與NP分別為兩圓的切線(xiàn)，

TPO=NPO=90.

TPN=360-290-60=120.

四、想一想

如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個(gè)圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果

是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么?切點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸有什么位置關(guān)系?如果⊙O1

與⊙O2內(nèi)切呢?〔如圖(2)〕

[師]我們知道圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是任一直徑所在的直

線(xiàn)，兩個(gè)圓是否也組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形呢?這就要看切點(diǎn)T是否

在連接兩個(gè)圓心的直線(xiàn)上，下面我們用反證法來(lái)證明.反證法的

步驟有三步：第一步是假設(shè)結(jié)論不成立;第二步是根據(jù)假設(shè)推出

和已知條件或定理相矛盾的結(jié)論;第三步是證明假設(shè)錯(cuò)誤，則原

來(lái)的結(jié)論成立.

證明：假設(shè)切點(diǎn)T不在O1O2上.

因?yàn)閳A是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以T關(guān)于O1O2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T也是兩

圓的公共點(diǎn)，這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假設(shè)不

成立.

則T在O1O2上.

由此可知圖(1)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩圓的連心線(xiàn)，切

點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系是切點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.

在圖(2)中應(yīng)有同樣的結(jié)論.

通過(guò)上面的討論，我們可以得出結(jié)論：兩圓相內(nèi)切或外切時(shí)，

兩圓的連心線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，圖(1)和圖(2)都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)

稱(chēng)軸是它們的連心線(xiàn).

五、議一議

投影片(24.3C)

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r.

(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓圓心之間的距離(簡(jiǎn)稱(chēng)圓心距)d與R

和r具有怎樣的關(guān)系?反之當(dāng)d與R和r滿(mǎn)足這一關(guān)系時(shí)，這兩

個(gè)圓一定外切嗎?

(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)(Rr)，圓心距d與R和r具有怎樣的關(guān)系?

反之，當(dāng)d與R和r滿(mǎn)足這一關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)圓一定內(nèi)切嗎?

[師]如圖，請(qǐng)大家互相交流.

[生]在圖(1)中，兩圓相外切，切點(diǎn)是A.因?yàn)榍悬c(diǎn)A在連心

線(xiàn)O1O2上，所以O(shè)1O2=O1A+O2A=R+r，即d=R+r;反之，當(dāng)d=R+r

時(shí)，說(shuō)明圓心距等于兩圓半徑之和，O

1、A、O2在一條直線(xiàn)上，所以⊙O1與⊙O2只有一個(gè)交點(diǎn)A，

即⊙O1與⊙O2外切.

在圖(2)中，⊙O1與⊙O2相內(nèi)切，切點(diǎn)是B.因?yàn)榍悬c(diǎn)B在

連心線(xiàn)O1O2上，所以O(shè)1O2=O1B-O2B，即d=R-r;反之，當(dāng)d=R-r

時(shí)，圓心距等于兩半徑之差，即O1O2=O1B-O2B，說(shuō)明O

1、O

2、B在一條直線(xiàn)上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙

O1與⊙O2內(nèi)切.

[師]由此可知，當(dāng)兩圓相外切時(shí)，有d=R+r，反過(guò)來(lái)，當(dāng)d=R+r

時(shí)，兩圓相外切，即兩圓相外切d=R+r.

當(dāng)兩圓相內(nèi)切時(shí)，有d=R-r，反過(guò)來(lái)，當(dāng)d=R-r時(shí)，兩圓相

內(nèi)切，即兩圓相內(nèi)切d=R-r.

Ⅲ.課堂練習(xí)

隨堂練習(xí)

Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：

1.探索圓和圓的五種位置關(guān)系;

2.討論在兩圓外切或內(nèi)切情況下，圖形的軸對(duì)稱(chēng)性及對(duì)稱(chēng)

軸，以及切點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系;

3.探討在兩圓外切或內(nèi)切時(shí)，圓心距d與R和r之間的關(guān)

系.

Ⅴ.課后作業(yè)習(xí)題24.

3Ⅵ.活動(dòng)與探究

已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O

1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半徑.

分析：根據(jù)兩圓相外切連心線(xiàn)的長(zhǎng)為兩半徑之和，如果設(shè)⊙

O3的半徑為r，則O1O3=O2O3=R+r，連接OO3就有OO3O1O2，所

以O(shè)O2O3構(gòu)成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半徑

r.

解：連接O2O

3、OO3，

O2OO3=90，OO3=2R-r，

O2O3=R+r，OO2=R.

(R+r)2=(2R-r)2+R2.

r=R.

板書(shū)設(shè)計(jì)

24.3圓和圓的位置關(guān)系

一、1.想一想

2.探索圓和圓的位置關(guān)系

3.例題講解

4.想一想

5.議一議

二、課堂練習(xí)

三、課時(shí)小結(jié)

四、課后作業(yè)

圓與圓位置關(guān)系的教案4

一、課題：初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《圓和圓的位置關(guān)系》第一

課時(shí)

二、教材分析：

1、教材的地位和作用

圓是在學(xué)習(xí)了直線(xiàn)圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，來(lái)研究的一種

特殊曲線(xiàn)圖形。它是常見(jiàn)的幾何圖形之一，在初中數(shù)學(xué)中占有重

要地位，中考中分值占有一定比例，與其它知識(shí)綜合性強(qiáng)。而本

節(jié)課《圓和圓的位置關(guān)系》的第一節(jié)，它是在學(xué)習(xí)點(diǎn)與圓以及直

線(xiàn)與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)上，對(duì)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行研究.學(xué)生

親自動(dòng)手實(shí)踐，自主探究圓和圓的位置關(guān)系，觀察分析，猜想驗(yàn)

證，完成從感性到理性的發(fā)生發(fā)展的認(rèn)知過(guò)程.然后知識(shí)遵循了

從實(shí)踐走向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)走向生活，讓學(xué)生學(xué)以自用，把數(shù)學(xué)知

識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活緊密相聯(lián)。本節(jié)內(nèi)容共安排2課時(shí)，第一課時(shí)讓

學(xué)生明白圓和圓的位置關(guān)系，知道五種關(guān)系，并能用它解決問(wèn)題。

第二課時(shí)強(qiáng)化位置關(guān)系的運(yùn)用，重點(diǎn)解決兩圓相交的推理題、計(jì)

算題，欣賞中考真題。

2、教學(xué)目標(biāo)：(1)知識(shí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索圓與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力;2.

了解圓與圓之間的幾種位置關(guān)系;

3.能夠利用圓和圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系解題.(2)能力目

標(biāo)

1.經(jīng)歷探索兩個(gè)圓之間位置關(guān)系的過(guò)程，訓(xùn)練學(xué)生的探索能

力.

2.通過(guò)實(shí)驗(yàn)直觀地探索圓和圓的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的識(shí)圖

能力和動(dòng)手操作能力.(3)情感態(tài)度價(jià)值觀

學(xué)生經(jīng)過(guò)操作、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)等活動(dòng)，從探索兩圓位置

關(guān)系地過(guò)程中，體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，量變到質(zhì)變的辯證唯物主

義觀點(diǎn)，感受數(shù)學(xué)中的美感。

3、教材重、難點(diǎn)的處理

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際、遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，在認(rèn)真鉆研教材

的基礎(chǔ)上，本節(jié)課我將圓探索圓與圓之間幾種位置關(guān)系，了解兩

圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系為

重點(diǎn)。將探索兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系，以及外切、內(nèi)切時(shí)兩圓圓

心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的過(guò)程作為兩個(gè)難點(diǎn)。將抽象的

文字?jǐn)⑹?，轉(zhuǎn)化為圖形，通過(guò)學(xué)生自動(dòng)手操作課件演示，突破“探

索兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系，以及外切、內(nèi)切時(shí)兩圓圓心距d、半

徑R和r的數(shù)量關(guān)系的過(guò)程”這一重難點(diǎn)。題例重轉(zhuǎn)化，精分析，

并演示，師生共同完成，

最后輔之一相關(guān)練習(xí)題，得以鞏固。

4、教法、學(xué)法

A、教法：基于知識(shí)較抽象，學(xué)生不易理解，我將采用引導(dǎo)

探究→師生合作為主的教學(xué)方法，讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)加

解決問(wèn)題;B、學(xué)法：主動(dòng)實(shí)踐→猜想結(jié)論→運(yùn)用解題

三、學(xué)情分析：九年級(jí)學(xué)生對(duì)圓有一定的認(rèn)識(shí)，但對(duì)圓的相

關(guān)性質(zhì)掌握較少，對(duì)知識(shí)的轉(zhuǎn)化能力較差，重在要學(xué)生參與，主

動(dòng)探究，增加解決實(shí)際問(wèn)題的能力。由于九(1)班有44名學(xué)生，

他們中一半的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好，獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力也比較強(qiáng)，能在課

前對(duì)將要教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行預(yù)習(xí)，在課堂上也能積極發(fā)言，作業(yè)也能

獨(dú)立完成;但也有部分學(xué)困生在知識(shí)的理解和動(dòng)手的能力上存在

問(wèn)題。因此要求他們對(duì)本課的內(nèi)容進(jìn)行預(yù)習(xí)熟知。通過(guò)預(yù)習(xí)將教

學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)應(yīng)放在兩圓圓心距與兩圓半徑間的數(shù)量關(guān)系的

推導(dǎo)總結(jié)上。

大部分學(xué)生對(duì)這節(jié)課的學(xué)習(xí)有很高積極性，加上課件動(dòng)畫(huà)中

圖片和總結(jié)圓和圓的位置關(guān)系的定義、圓和圓的位置關(guān)系中兩圓

圓心距與兩圓半徑間的數(shù)量關(guān)系動(dòng)畫(huà)效果采用，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)

性和探求知識(shí)的情緒也會(huì)很高，運(yùn)用課件也能激發(fā)他們學(xué)習(xí)的欲

望。

但本班學(xué)習(xí)相對(duì)較困難的學(xué)生，對(duì)重點(diǎn)和難點(diǎn)的理解可能存

在一定困惑。對(duì)這種個(gè)別現(xiàn)象，不做強(qiáng)制性要求，只幫助他們能

理解圓和圓的位置關(guān)系并記住兩圓圓心距與兩圓半徑間的數(shù)量

關(guān)系即可。

四、教學(xué)過(guò)程

(一)、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：請(qǐng)說(shuō)出點(diǎn)與圓;直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并

分別說(shuō)出判定方法

情景創(chuàng)設(shè)：我們生活在豐富多彩的圖形世界里，圓與圓組成

的圖形是我們生活中最常見(jiàn)的畫(huà)面。比如：自行車(chē)的兩個(gè)輪子、

奧運(yùn)會(huì)的會(huì)標(biāo)、皮帶輪、紅綠燈等照片(大屏幕演示)，你還能舉

出兩個(gè)圓組成的圖形嗎?(學(xué)生舉例)。

(設(shè)計(jì)意圖：展現(xiàn)生活中圓與圓組成的圖形并由學(xué)生舉出實(shí)

例，豐富學(xué)生對(duì)客觀世界中兩個(gè)圓之間多種不同位置關(guān)系的感

受，為學(xué)生自主探索提供可能。)

(二)、新授[活動(dòng)一]

問(wèn)題1，圓和圓有哪些位置關(guān)系?(分組討論)

教師課前布置好：每人都在紙上畫(huà)兩個(gè)半徑不等的圓，每個(gè)

人都準(zhǔn)備在紙上移動(dòng)其中一個(gè)圓，讓學(xué)生觀察兩圓的位置關(guān)系和

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

讓學(xué)生自己畫(huà)出可能會(huì)出現(xiàn)的幾種情況，并標(biāo)清交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

(按從遠(yuǎn)到近的順序)

問(wèn)題2，試一試你能不能描述兩圓的各種位置關(guān)系?學(xué)生思

考回答，師生共同總結(jié)：

1.兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，如上圖中的(1)、

(5)、(6)，它們又有何區(qū)別?討論得出其中(1)叫外離，(5)(6)

叫內(nèi)含，(6)是兩圓同心，是兩圓內(nèi)含的一種特殊情況。

2.兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩圓相切，如上圖是的

(2)(4)，同樣找出它們的區(qū)別，其中(2)叫外切，(4)叫內(nèi)切。

3.兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交，如上圖(3)。因

此兩園的位置關(guān)系為：(大屏幕投影)

(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一

個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.(圖1)

(2)外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以

外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.

這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(圖2)

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交.(圖

3)

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以

外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.

這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(圖4)

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一

個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含(圖5).兩圓同心是兩圓內(nèi)含

的一個(gè)特例.(圖6)

大屏幕展示圓和圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)

切、內(nèi)含。

問(wèn)題3，兩個(gè)圓的位置關(guān)系發(fā)生變化的時(shí)候，圓心距d與兩

個(gè)圓的半徑R與r(Rr)之間有沒(méi)有內(nèi)在的聯(lián)系?請(qǐng)同學(xué)們交流一

下(給出一定的時(shí)間)大屏幕演示兩圓由遠(yuǎn)到近的運(yùn)動(dòng)情形，讓學(xué)

生觀察圓心距d的變化，然后讓學(xué)生進(jìn)行歸納。

教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生思考問(wèn)題的全面性和準(zhǔn)確性，尤其是對(duì)

兩圓相交時(shí)的圓心距的范圍考慮的是否到位。(教師可提示利用

三角形三邊之間的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題)師生共同總結(jié)：(大屏幕出

示)

兩圓外離dR+r

兩圓外切d=R+r兩圓相交R-rdr)

兩圓內(nèi)切d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含dr)

[活動(dòng)二]練習(xí)鞏固，大屏幕出示：

1、若兩圓有唯一公共點(diǎn)，且兩圓半徑分別為5和2，則兩

圓圓心距為

。

2、設(shè)⊙O和⊙P的半徑分別為R、r，圓心距為d。在下列情

況下，兩圓的位置關(guān)系怎樣?(1)R=6，r=3，d=4

(2)R=5，r=2，d=1

(3)R=7，r=3，d(4)R=5，r=2，d=7

(5)R=4,r=1,d=6

教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生應(yīng)用“數(shù)量關(guān)系”判定兩圓“位置關(guān)

系”的準(zhǔn)確性，尤其注意，只有dR-r或只有dr+r-rdr)時(shí)才

能判定兩個(gè)圓是相交的。

(設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生理解新知，并能熟練準(zhǔn)確的應(yīng)用

新知，培養(yǎng)學(xué)生全面細(xì)致的良好思維品質(zhì)。)

3、大屏幕出示問(wèn)題：

例如圖，OO的半徑為4cm，點(diǎn)P是OO外一點(diǎn)，OP=6cm。求

(1)以P為圓心作OPOP與OO外切，小圓OP的半徑是多少?(2)

以P為圓心作OP與OO內(nèi)切，大圓OP的半徑是多少?教師給出

圖形、板書(shū)解答過(guò)程。

(設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)縝密的思維品質(zhì)，加強(qiáng)“分類(lèi)討

論”數(shù)學(xué)思想的訓(xùn)練。)

(三)、拓展聯(lián)系：試一試：

一塊鐵板，上面有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，

AB=13cm,BC=14cm,CA=9cm,以各頂點(diǎn)為圓心的三個(gè)圓兩兩外切。

求各圓的半徑。

教師重點(diǎn)關(guān)注：應(yīng)用新知解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步鞏固新知。

(設(shè)計(jì)意圖：滲透三圓相切的情況，培養(yǎng)學(xué)生分析、探究問(wèn)

題的能力。)[活動(dòng)三]拓展探索：

兩個(gè)圓組成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)嗎?如果是那么對(duì)稱(chēng)軸是什么?

如果兩圓相切，切點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸有什么關(guān)系?提示，學(xué)生可以用折

紙方法進(jìn)行探究。(學(xué)生分組討論，小組選代表回答問(wèn)題)大屏

幕出示：正確結(jié)論。

兩圓組成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是通過(guò)兩圓圓心的直

線(xiàn)(連心線(xiàn))，兩圓相切時(shí)，因?yàn)榍悬c(diǎn)是它們唯一的公共點(diǎn)，所以

切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上即對(duì)稱(chēng)軸上。

(設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)折紙活動(dòng)實(shí)質(zhì)上是讓學(xué)生感知兩圓組成的

圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并讓學(xué)生通過(guò)自己的活動(dòng)從心理上認(rèn)同經(jīng)過(guò)

兩圓圓心的直線(xiàn)(即連心線(xiàn))是兩圓組成圖形的對(duì)稱(chēng)軸為探索兩

相切、兩圓相交的性質(zhì)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境。)

(四)、小結(jié)

這節(jié)課你有哪些收獲?有何體會(huì)?你認(rèn)為自己的表現(xiàn)如何?

引導(dǎo)學(xué)生回顧、思考、交流。

(五)、作業(yè)：

1、課本51頁(yè)，習(xí)題

3、

4、5。

2、課下探究：相交兩圓的連心線(xiàn)與公共弦有什么樣的結(jié)論。

3、寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)日記，并解決2—3個(gè)問(wèn)題。

(六)、板書(shū)設(shè)計(jì)圓和圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系

d與r1、r2之間的關(guān)系

例題板書(shū)外離

dr1+r2外切

d=r1+r2相交

r1-r2dr1p=""內(nèi)切

d=r1-r2內(nèi)含

dr1p=""-r2

五、教學(xué)反思

由于本節(jié)圓與圓的位置關(guān)系是新課，這節(jié)課的內(nèi)容與上節(jié)

“直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系”有密切的聯(lián)系，但這節(jié)課的兩圓位置關(guān)

系遠(yuǎn)比直線(xiàn)