高等數學一對一講義高等數學一對一講義#高等數學（數二）2015年數學二考試大綱考試科目：高等數學、線性代數考試形式和試卷結構一、試卷滿分及考試時間：試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．二、答題方式：答題方式為閉卷、筆試．三、試卷內容結構：高等教學約78％線性代數約22%四、試卷題型結構試卷題型結構為：TOC\o"1-5"\h\z單項選擇題 8小題，每小題4分，共32分填空題 6小題，每小題4分，共24分解答題（包括證明題） 9小題，共94分高等數學一、函數、極限、連續(xù)考試內容函數的概念及表示法函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左極限與右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限：xlim咄=1lim1+-=eX.0x， 18Ix)函數連續(xù)的概念函數間斷點的類型初等函數的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質考試要求1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系．2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性．3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念．5．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限

的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系.6．掌握極限的性質及四則運算法則．7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．9．理解函數連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數間斷點的類型．10．了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．二、一元函數微分學考試內容導數和微分的概念導數的幾何意義和物理意義函數的可導性與連續(xù)性之間的關系平面曲線的切線和法線導數和微分的四則運算基本初等函數的導數復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法高階導數一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達（L'Hospital）法則函數單調性的判別函數的極值函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線函數圖形的描繪函數的最大值與最小值弧

微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑考試要求1．理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系．2．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分．3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數．4．會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數．5.理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．7．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用．8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性(注：在區(qū)間(0,b)內，設函數f(x)具有二階導數.當f”(x)>0時，f(x)的圖形是凹的；當f%x)<0時，f(x)的圖形是凸的)，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形．9．了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．三、一元函數積分學考試內容：原函數和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基本性質定積分中值定理積分上限的函數及其導數牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分反常(廣義)積分定積分的應用考試要求：1．理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念．2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和

定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元

積分法與分部積分法．3．會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理

函數的積分．4．理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握

牛頓一萊布尼茨公式．5．了解反常積分的概念，會計算反常積分．6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理

量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體

的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體

積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數的平均值．四、多元函數微積分學考試內容：多元函數的概念二元函數的幾何意義二元函數的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質多元函數的偏導數和全微分多元復合函數、隱函數的求導法二階偏導數多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值二重積分的概念、基本性質和計算考試要求：.了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義．.了解二元函數的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質..了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數..了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題..了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重

積分的計算方法（直角坐標、極坐標）.五、常微分方程考試內容：常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質及解的結構定理二階常系數齊次線性微分方程高于二階的某些常系數齊次線性微分方程簡單的二階常系數非齊次線性微分方程微分方程的簡單應用考試要求：1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．2．掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程．3．會用降階法解下列形式的微分方程：y(")=f(x),y"=f(x,y')和y"=f(y,y')?4．理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理．5．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程．6．會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程．7．會用微分方程解決一些簡單的應用問題．線性代數

一、行列式

考試內容：行列式的概念和基本性質行列式按行（列）展開定理考試要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質．2．會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式．二、矩陣考試內容：矩陣的概念矩陣的線性運算矩陣的乘法方陣的冪方陣乘積的行列式矩陣的轉置逆矩陣的概念和性質矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣的等價分塊矩陣及其運算考試要求：1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣和正交矩陣以及它們的性質．2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質．3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件．理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．4.了解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的

性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．5．了解分塊矩陣及其運算．三、向量考試內容：向量的概念向量的線性組合和線性表示向量組的線性相關與線性無關向量組的極大線性無關組等價向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關系向量的內積線性無關向量組的的正交規(guī)范化方法考試要求：.理解?維向量、向量的線性組合與線性表示的概念．.理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌

握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法..了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩..了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩的關系..了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法.四、線性方程組考試內容：線性方程組的克拉默（Cramer）法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質和解的結構齊次線性方程組的基礎解系和通解非齊次線性方程組的通解考試要求：.會用克拉默法則..理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件..理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念，掌握齊次線性方程組基礎解系和通解的求法..理解非齊次線性方程組的解的結構及通解的概念..會用初等行變換求解線性方程組.五、矩陣的特征值及特征向量考試內容：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質相似矩陣的概念及性質矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣考試要求：1．理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣特征值和特征向量．2．理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相似對角矩陣．3．理解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質．六、二次型考試內容：二次型及其矩陣表示合同變換與合同矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標準形和規(guī)范形用正交變換和配方法化二次型為標準形二次型及其矩陣的正定性考試要求：1．了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標準形．3．理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法．高等數學大體框架1．一元函數微積分學（1）一元函數的概念、極限和連續(xù)（基礎）；（2）一元函數微分學：導數和微分、導數的應用；（3）一元函數積分學：不定積分、定積分、定積分的應用。2．多元函數微積分學（1）多元函數的概念、極限和連續(xù)；（2）多元函數微分學：偏導數、全微分、應用、極值；（3）多元函數積分學：二重積分及其應用．3．常微分方程一階（可分離變量、齊次方程、一階線性）；高階（二階常系數線性）．第一章函數、極限、連續(xù)第一節(jié)函數

1．基本概念鄰域與去心鄰域：設§是任一正數，稱開區(qū)間(a-S,a+§)為點a的§鄰域，記作u(a,8)?點a的5鄰域去掉中心a后，成為a的去心§領域，記作U0(a§).函數：設數集，若每個，按對應法則，DUR XEDf總有唯一確定的值y與之對應,這個值稱為函數/在處的函數值，記作，即．x f(x) y—f(x)三種特殊的函數：(1)符號函數(1)符號函數y二sgnx」-1,x<00,x=0，特別地IxI=xsgnx1,x>0狄利克雷(Dirichlet)函數“門i,xeqD(x『axeR'Q取整函數y=[x]?x-1<[x]Vx?2．函數的幾種特性(1)有界性設f(x)的定義域為D，若3M，工xeD，有f(x)VM，11則〃x)有上界；若3m，vxeD，有f(x)2M，則f(x)有22有If(x)I>M，

0下界；若3M>0，VxeD，有If(有If(x)I>M，

0VM>0，3xED，0(2)單調性設八x)的定義域為D，VxxeD且x<x，若有x x,xexxf(f(x)<f(x)，則稱f(x)在D上單調增加；若有以x)>f(x)，f(x)<f(x) f(x) f(x)>f(x)則稱外)在D上單調減少?f(x)D(3)奇偶性設函數”目的定義域D關于原點對稱.f(x) D若有，則為偶函數；若有，f(一x)一f(x) f(x) f(一x)一一f(x)則f(x)為奇函數.奇偶函數的基本運算性質：①奇函數的代數和是奇函數，偶函數的代數和是偶函數；②奇函數與偶函數的乘積是奇函數；③偶數個奇(或偶)函數之積是偶函數，奇數個奇函數之積是奇函數．(4)周期性設f(x)的定義域為D，若”>0，VxeDx+TeD，有x xe,xe，則稱為周期函數，為周期．f(x+T)=f(x) f(x) T3．常見函數(1)反函數設y-f(x)為單調函數，由y一fG)解出x-3y)，稱x-3y)為函數y-f〈x)的反函數，記作y=fw)?(2)復合函數設函數y一f(u)的定義域為D，函數u一g(x)在D上1有定義，且g(D)uD，則y-(fg)(x)=f[g(x)]為復合函數?1(3)基本初等函數(5類)

冪函數：指數函數對數函數三角函數xa（〃wR是常數）;a冪函數：指數函數對數函數三角函數xa（〃wR是常數）;a￡Rax（a>0且a*J；logax，sinx(a>。且"J；cosx，tanx，cotx，secx，cscx；反三角函數：， ， ， ．arcsinxarccosxarctanxarccotx(4)初等函數由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而構成的式子稱為初等函數．(5)冪指函數，在后期求導和求極限的過程中，一y=f(x)g(x)般將函數轉化為：．y=eg(x)inf(x)第二節(jié)極限考研數學中求極限的題目不少于10分，至少有一道大題．1．極限的定義(1)數列極限，當時，3N，當時，3N￡Z+，=n>N，，，且，則當充=a a*0 n￡-N?：：lima=aoV￡>0nn n-8有．Ia-al<￡例1（2014年數三）若1mn-8分大時有()(A)aa(A)aa」>:(B)(C) 1a>a-—(2)函數極限①自變量趨于有限值e-5定義:e-5定義:有If(x)-Al<￡limf(x)=AoVe>0X-X0?35>0，當0<lx-xl<5時，0左極限f(x左極限f(x-)(或f(x-0))：

0 0limf(x)=AoVe>0，X-%-當X-5<X<X時，有00If(X)-Al<8右極限(或):右極限(或):f(X0+) ( 乂f(X0+0))limf(x)=AoVe>0，XfX+0時，有當 c時，有x<x<x+50 0If(X)-Al<8②自變量趨于無窮大e-X定義:e-X定義:limf(x)=AoVe>0X-8，3X>0，當lxl>X時，有If(X)-Al<8limf(x)=AoVe>0，3X>0，當x<-X時，有If有If(x)-Al<￡limf(x戶AoVe>0，3X>0，當x>X時，有X-+8

If（x）-Al<82．極限的性質（1）數列極限的基本性質①（唯一性）極限若存在必唯一.nnT9②（有界性）若lima存在，則3M>nnT9之不對．若數列無界，則一定發(fā)散．{a} {a}③（保號性）1’:若liman>N③（保號性）1’:若liman>N時，都有al0n，且（或），則 ，=a a>0 a<0 3NgZ+（或）．a<01"則④若數列⑺從某項起有：〉0（〃a aann（或）>0'以a<0人（收斂列與子列極限的關系）&0），且lima=a，nnT9的任一子列極限存在且為a.若，則它lima=annT9使用較多的是：若數列有兩個子列收斂于不同{a}

n的極限，則數列是發(fā)散的．n:=a?n:=a?2nn 2n-1例2 設;二（-1）n 2n-1例2 設;二（-1）n:;研究lun〃是否存在.n liman（2）函數極限的基本性質①（唯一性）極限若存在必唯一.②（局部有界性）若limf@）存在，則35>0及m>0，xTx當時，．―10<Ix-xI<8，，If（x）|<M③（局部保號性）1：若Hmf（x）=a，且a>0（或a<0），xTx0

則38>0，使得當0<Ix-xI<80時，有則38>0，使得當0<Ix-xI<801"：若在’的某去心領域內〃,)>0(或〃,)<0)，且

x f(x) f(x)limf(x)=A，貝L>0(或A<0),xT：0若 ，則則，使得當時，1"'：外limf(x)=A(A中0)，， 38>0，1 0<Ix-xI<80有If(x)l>④(函數極限與數列極限的關系)limf(xlimf(x)=AoVxeUo(x,8)，使用，不要求記憶定理)limx=x，

no都有l(wèi)imf(x)=A.(會n

nT9(3)極限運算法則(四則運算法則)如果隊f(x)=a，limg(x)=B，那么①；lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B②；f(x)limf(x) A．③若B/0，則limlim[f(x)g(x)]=limf(x)limf(x) A．③若B/0，則lim(數列的極限四則運算法則類似)(復合函數的極限運算法則)設函數kf[g(x才是由f[f[g(x)]定義在時，xeU0(x,8)0u—g(x) y—j(u)Uo(xUo(x,8)內，若limg(x)=u limf(u)=A0 xTu0limf[g(x)]=limf(u)=A*(4)極限存在0準則0①(夾逼準則)1,:設b<a①(夾逼準則)1,:設b<a<cnnn1"：設f(x)<g(x)<h(x)，且limb=limcnnnfs nT9則lima=annT9limf(x)=limh(x)=A，例3求「，1 2n、.lim(+ ++ )n*n2+1n2+1n2+1例4求「J.limx[]xf0+x②(單調有界定理)單調有界數列必有極限.單調遞增有上界，數列極限存在；單調遞減有下界，數列極限存在.例5數列轉，下，2++2++22，…的極限存在.3.兩個重要極限和一些重要結論(1)兩個重要極限:"士=1,iM1+x^,(或xf0x xf0lim(1+lim(1+—)x=e，xf8 x型).18例6求1.sinx.lim——xf兀x-兀例7求…1、.lim(1——)kxxf8 x(2)重要結論limqn=0(Iql<1)nf8-.■—一：limnn=1nf8③7Jlim(an+bn+cn)n=max{a,b,c}(a,b,c>0)④設P(x④設P(x)=axn+axn-1+01+a(a豐0)，Q(x)=bxm+bxm-1+

n0 0 1+b(b豐0)

m0a—0,n=m貝則.P(x)Itolim =<0,n<mxf8Q(x)I8,n>m

例8求「(x+1)3-x3.lim——xT95x2+4x+1⑤漸近線的求法垂直漸近線：若，則直線是曲線limf(x)—9 x—x y—f(x)0的垂直漸近線.xTx0斜近線：f(x)斜近線：f(x)ok=lim xT9 xxT+8XT-8若，=kx+b為曲線，=f(x)的斜漸近線b=lim[f(x)-kx]*例9求曲線xT9xT+9xT-9一二的漸近線.'2x+13．無窮小與無窮大(1)基本定義若limf(x.)=0，貝L(x))為無窮??；若limf(x)=s，貝L(x))為無窮大.二者的聯系：在自變量的同一變化過程中，若f(x)f(x)則1為無窮大f(x)則1為無窮大.若HmP0S，貝h是比。高階無窮小(低階無窮小);lim—=0(9) p aa若limP-ch0，則p與a是同階無窮小(一，則為等1mc+ ca價無窮小)；若HmPc20,左>0,則B是關于a是的左階無窮小.lim——ch0 k>0 p akak

（2）無窮小的性質①無窮小的基本性質有限個無窮小的和、差、積還是無窮小;有界函數與無窮小之積是無窮??；常數與無窮小之積是無窮小.②等價無窮小的性質（自反性）aa.（對稱性）若（傳遞性）若（替換性）若aa（對稱性）若（傳遞性）若（替換性）若aaa，則PY.且lim殳存在a,則［.P1.P'.

lim—=lim—(重要性質)e。=Ba+0(a).PaoP=a+o(a)③常用等價無窮小ln(1+x) ln(1+x) ex-11 x2，1-cosx—2xf1 x2，1-cosx—2(1+x)a ax，ax-1xlna例10求limtanx-sinx.xf0ln(1+x2)sinx第三節(jié)連續(xù).基本概念函數kf（函數kf（x）在處連當IF時，Ix-x1<00=limAy=0olimf(x)=f(x)oV￡>0HB>0,If(X)-f(x)1叱0若f(x)-f(x)，則f⑴左連續(xù);若/(”)—〃1)，則f(x)右TOC\o"1-5"\h\zJ(x-)—J(x) J(x) J(x+)—J(x) J(x)00 00-4xL,x>o例11設立)E一斤7。，在。處連續(xù)，求例11j(x)=〈a, x=0 x=0 a,bax2-b, x<0(2)基本性質①四則運算性質：若^,心)均在x連續(xù)，則J(x)g(x) x0〃、+「，f(…及f(x)(-)都在連續(xù).f(x)士g(x)f(x)g(x)g(x)豐0 xg(x) 0 0②反函數連續(xù)：若函數心在區(qū)間,上單調增加y=j(x) Ix(或單調減少)且連續(xù)，則它的反函數在x=J-1(y)對應的區(qū)間 上單調增加(或單調減I={yIy=j(x),xwI}yx少)且連續(xù).③復合函數連續(xù)：若函數「在連續(xù)，且u=g(x)x=x0，而函數在處連續(xù)，則復合函數g(x0)=u0 y=f(u)u=u0廣f[g(x)]在x=x處連續(xù).y=f[g(x)]x=x0④初等函數連續(xù)性：一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.(3)函數的間斷點為間斷點的三種情形：x=xf(x)01：在x=x沒有定義；0

1"；雖在x二x有定義，但limf(x)不存在；0:雖在有定義，且xTx0 存在，但1"： x=x ，limf(x) ， limf(x)中f(x)f，x-f，x-J與…0)都存在00①第一類間斷點：可去間斷點： ；可去間斷點 f(xo-0)=f(%+0)(0f(x。))；跳躍間斷點：f(x_0),f(x+0).0②第二類間斷點：0②第二類間斷點：在與至少有一個不存f(x—0)ff(x+0)-00例12討論"，x2-x的間斷點，并判斷類型.f(x)=nr^2．閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質一般用于證明題.(有界性與最大最小值