廣東省肇慶市永鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量，滿足：||=2，||=4，＜，＞=，則|3﹣2|=（）A．52 B．2 C．100﹣48 D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長根式，計算即可．【解答】解：向量，滿足：||=2，||=4，＜，＞=，∴?=2×4×cos=4，∴=9﹣12?+4=9×4﹣12×4+4×16=52，∴|3﹣2|==2．故選：B．2.已知銳角滿足，,則=（

）A.

B.π

C.或π

D.參考答案：A試題分析：由于為銳角，，，，，故答案為A.考點(diǎn)：三角函數(shù)給值求角.3.若函數(shù)圖像上存在兩個點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，則對稱點(diǎn)為函數(shù)的“孿生點(diǎn)對”，且點(diǎn)對與可看作同一個“孿生點(diǎn)對”.若函數(shù)恰好有兩個“孿生點(diǎn)對”，則實數(shù)的值為（

）A．0

B．2

C.4

D．6參考答案：A4.已知向量，則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C因為，解得可知5，選C

5.設(shè)x∈R，則“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A當(dāng)x>時，2x2＋x－1>0成立；但當(dāng)2x2＋x－1>0時，x>或x<－1.所以“x>”是“2x2＋x－1>0”的充分不必要條件6.已知函數(shù)f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一個x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，則實數(shù)m的范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】計算題；函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，即＜在[1，e]上有解，令h（x）=，則h′（x）=，然后求出h（x）的最大值，利用＜h（x）max能求出m的取值范圍．【解答】解：由題意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，令h（x）=，則h′（x）=，∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，∴h（x）max=h（e）=，∴＜h（e）=，∴m＜．∴m的取值范圍是（﹣∞，）．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．7.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．參考答案：B

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系.8.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

） A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.設(shè)函數(shù),則在處的切線斜率為（

）A.0

B.-1

C.3

D.-6參考答案：D10.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④參考答案：D【考點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖．【專題】閱讀型．【分析】利用三視圖的作圖法則，對選項判斷，A的三視圖相同，圓錐，四棱錐的兩個三視圖相同，棱臺都不相同，推出選項即可．【解答】解：正方體的三視圖都相同，而三棱臺的三視圖各不相同，圓錐和正四棱錐的，正視圖和側(cè)視圖相同，所以，正確答案為D．故選D【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的三視圖的識別能力，作圖能力，三視圖的投影規(guī)則是主視、俯視長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視寬相等．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.閱讀右側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應(yīng)填的自然數(shù)為

．參考答案：5略12.函數(shù)f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在區(qū)間[0，]上的取值范圍是．參考答案：[﹣2，1]略13.已知向量與的夾角為，，，則__________．參考答案：6，，與的夾角為，，又，，故答案為．14.已知不等式≤，若對任意且，該不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：≥15.設(shè)a，b∈R，c∈[0，2π），若對任意實數(shù)x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），定義在區(qū)間[0，3π]上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為d，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組（a，b，c，d）的組數(shù)為．參考答案：28【考點(diǎn)】排列、組合的實際應(yīng)用．【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等變換sin2x=cosx求出所有根的個數(shù)，最后利用排列組合的思想求得滿足條件的有序?qū)崝?shù)組．【解答】解：∵對任意實數(shù)x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴|a|=2，若a=2，則方程等價于sin（3x﹣）=sin（bx+c），則函數(shù)的周期相同，若b=3，此時c=；若b=﹣3，此時c=；若a=﹣2，則方程等價于sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，此時c=；若b=3，此時c=．綜上，滿足條件的數(shù)組（a，b，c，）為（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）共4組．而當(dāng)sin2x=cosx時，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，∴x=+kπ或x=+2kπ，k∈Z又∵x∈[0，3π]，∴x=．∴滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）共有4×7=28．故答案為28．16.若，則_______。參考答案：-117.在△ABC中，AB＝BC＝，AC＝2，P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則|PA|+|PB|+|PC|＝_．參考答案：【分析】根據(jù)等比的性質(zhì)可得，利用三角形的面積公式以及向量的乘法公式化簡，即可得到，由此可得與各個內(nèi)角大小，利用正弦定理即可求得?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，中，，，則為等腰直角三角形；如圖：若，則即＝，變形可得：，即，又由，則，易得：，則，在中，且，，則，則，解可得：，在，，，則有，解可得：，則；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式以及正弦定理在三角形中的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求C1、C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B是曲線C2上的點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.參考答案：(Ⅰ)，，∴，∴.聯(lián)立方程組得，解得，，∴所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為，.………5分(Ⅱ)設(shè)，則，∴的面積∴當(dāng)時，.

………10分

19.（1）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；（2）已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】（1）根據(jù)柯西不等式即可得出3（a2+b2+c2）≥1，并且可確定a=b=c=時取等號，這便求出了a2+b2+c2的最小值；（2）左邊展開由不等式即可得出左邊，然后可構(gòu)造函數(shù)（），通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而求出該函數(shù)的最小值，進(jìn)而得出，從而該題得證．【解答】解：（1）由柯西不等式，（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；∴a2+b2+c2的最小值為；（2）證明：左邊=≥=，構(gòu)造函數(shù)，則：，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，最小值為=；∴的最小值為；∴．20.

(12分)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=CB=a,∠ABC=60°.平面ACEF⊥平面ABCD,且四邊形ACEF是矩形,AF=a.（I）求證：AC⊥BE；（II）求二面角B－EF－D的余弦值.

參考答案：解析：（I）∵AB∥CD,AD=DC=CB=a,∴四邊形ABCD是等腰梯形.設(shè)AC交BD于N,連EN.∵∠ABC=60°,∴∠DCB=∠ADC=120°,∠DAC=∠ACD=30°,∴AC=,AB=2a,=90°.又四邊形ACEF是矩形，∴AC⊥平面BCE.∴AC⊥BE.（II）∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥面ABCD,∴EC⊥CD,EC⊥AD,又AF∥CE,∴AF⊥AD,而AF=CE,AD=CD,∴Rt△≌Rt△,DE=DF.過D作DG⊥EF于G,則G為EF的中點(diǎn),于是EG=.在Rt△中,,∴.∴.

設(shè)所求二面角大小為,則由及,得,,21.（本小題滿分12分）在中,角的對邊分別為,已知(1)求證：(2)若,求△ABC的面積.參考答案：解:(1)證明:由及正弦定理得:,即

整理得:,所以,又

所以

(2)由(1)及可得,又

所以,所以三角形ABC的面積略22.如圖，AB是圓O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點(diǎn)E，過E作BA的延長線的垂線，垂足為F．求證：AB2=BE?BD﹣AE?AC．參考答案：【分析】連接AD，利用AB為圓的直徑結(jié)合EF與AB的垂直關(guān)系，通過證明A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓知，BD?BE=BA?BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用線段間的關(guān)系即求得AB2=BE?