黑龍江省哈爾濱市第八十三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)是

（

）

A.

B.

C.和

D.參考答案：D略2.市內(nèi)某公共汽車站6個候車位(成一排),現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個座位上候車,則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是 A．48 B．54 C．72 D．84參考答案：C

根據(jù)題意,先把3名乘客進(jìn)行全排列,有種排法,排好后,有4個空位,再將1個空位和余下的2個連續(xù)的空位插入4個空位中,有種排法,則共有種候車方式,選 C．3.下列三個命題：①在區(qū)間內(nèi)任取兩個實(shí)數(shù)，則事件“成立”的概率是；②函數(shù)關(guān)于（3,0）點(diǎn)對稱，滿足，且當(dāng)時函數(shù)為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)；③滿足，，的有兩解。其中正確命題的個數(shù)為（

）A.１

B.２

C.３

D.

0

參考答案：C略4.函數(shù)的圖象大致為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.設(shè)，則“”是“”的（

▲

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要參考答案：B略6.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線的右支于P，Q兩點(diǎn)，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先作出圖形，并作出雙曲線的右準(zhǔn)線l，設(shè)P到l的距離為d，根據(jù)雙曲線的第二定義即可求出Q到l的距離為．過Q作l的垂線QQ1，而過P作QQ1的垂線PM，交x軸于N，在△PMQ中有，這樣即可求得d=，根據(jù)已知條件及雙曲線的定義可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根據(jù)雙曲線的第二定義即可得到，進(jìn)一步可整理成，這樣解關(guān)于的方程即可．【解答】解：如圖，l為該雙曲線的右準(zhǔn)線，設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離為d；過P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分別交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；過P作PM⊥QQ1，垂直為M，交x軸于N，則：；∴解得d=；∵根據(jù)雙曲線的定義，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根據(jù)雙曲線的第二定義，；整理成：；∴解得（舍去）；即該雙曲線的離心率為．故選A．【點(diǎn)評】考查雙曲線的第二定義，雙曲線的準(zhǔn)線方程，雙曲線的焦距、焦點(diǎn)的概念，以及對雙曲線的定義的運(yùn)用，雙曲線的離心率的概念，相似三角形的比例關(guān)系．7.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，O為正方形ABCD的中心，則（

）A.直線EF，AO是異面直線 B.直線EF，BB1是相交直線C.直線EF與BC1所成的角為30° D.直線EF，BB1所成角的余弦值為參考答案：C【分析】按共面不共面判斷、，由異面直線所成角定義計(jì)算角判斷、?！驹斀狻俊邽檎叫蔚闹行?，是中點(diǎn)，∴，即，共線，從而共線，A錯；平面，平面，，平面，∴是異面直線，B錯；又是中點(diǎn)，可得且，是平行四邊形，則，是異面直線與所成的角，設(shè)正方體棱長為1，中，，，，，。C正確，同理得是，所成的角，在中求得。D錯。故選：C。【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的判斷，考查求異面直線所成的角，解題方法可根據(jù)異面直線的判斷定理證明，求異面直線所成的角可根據(jù)定義作出這個角，然后解三角形得結(jié)論。8.已知為單位向量，且與垂直，則的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：C【考點(diǎn)】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積與夾角公式，即可求出對應(yīng)的結(jié)果．【解答】解：設(shè)與的夾角為θ，由為單位向量，且與垂直，則?（+2）=+2?=12+2×1×1×cosθ=0，解得cosθ=﹣；又θ∈[0°，120°]，的夾角為θ=120°．故選：C．9.已知函數(shù)的周期是，將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知、是平面，、是直線，給出下列命題①若，，則．

②如果、n是異面直線，那么不與相交．③若，∥，且，則∥且∥．其中真命題的個數(shù)是A、0

B、3

C、2

D、1參考答案：答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)=|x?1|+1和g(x)=(a>0)，若對任意x1∈，存在x2∈使得g(x2)≥f(x1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________參考答案：

考點(diǎn)：1.函數(shù)與不等式；2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.12.在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)算“”，對任意，為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（Ⅰ）對任意，；（Ⅱ）對任意，．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．其中所有正確說法的序號為

．參考答案：①②13.若關(guān)于x的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：略14.函數(shù)的值域是 ．參考答案：{﹣1，3}【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號；函數(shù)的值域．【專題】計(jì)算題．【分析】本題需要對于角所在的象限討論，確定符號，對于四個象限，因?yàn)槿呛瘮?shù)值的符號不同，需要按照四種不同的情況進(jìn)行討論，得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題需要對于角所在的象限討論，確定符號，當(dāng)角x在第一象限時，y=1+1+1=3，當(dāng)角在第二象限時，y=1﹣1﹣1=﹣1，當(dāng)角在第三象限時，y=﹣1﹣1+1=﹣1，當(dāng)角在第四象限時，y=﹣1+1﹣1=﹣1．故答案為：{﹣1，3}【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)值的符號，考查函數(shù)的值域，本題是一個比較簡單的綜合題目，這種題目若出現(xiàn)是一個送分題目．15.已知三棱柱的側(cè)棱垂直底面，所有頂點(diǎn)都在球面上，AC=1,,則球的表面積為___________.參考答案：8略16.若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

.參考答案：略17.已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，且直線2xcosα－2ysinα＋1＝0與圓(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，則向量a與b的夾角為______．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為．

（1）求實(shí)數(shù)，的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）若，求證：．參考答案：（1）；（2）存在，的取值范圍為；（3）證明見解析.試題分析：（1）求導(dǎo)，進(jìn)而可得，即可解出，的值；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，再對的值進(jìn)行分類討論，即可得的取值范圍；（3）結(jié)合（2），可證，進(jìn)而可證，即可證.試題解析：（1）解：∵，其定義域?yàn)?，?

…………1分依題意可得

…………2分解得.

…………4分（2）解：，∴.

…………5分①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，∴.

…………6分②當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減,∴.

…………7分③當(dāng)時，則時，；時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故當(dāng)時，的最小值為.∵.

∴.

…………8分綜上所述，存在滿足題意，其取值范圍為.

…………9分（3）證法1：由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減,∴時，,即.

…………10分∵,∴.

…………11分∴.

…………12分∴.

…………13分∵,∴.

…………14分證法2：設(shè)，則.當(dāng)，，

…………10分∴在上單調(diào)遞減∴.

…………11分∴時，.

…………12分,∴.

…………13分,∴.

…………14分考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.19.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為每平方米，水池所有墻的厚度忽略不計(jì).(1）試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；(2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低.參考答案：（1）設(shè)污水處理池的寬為米，則長為米.則總造價(jià)f(x)=400×（）+248×2x+80×162

=1296x++12960=1296（）+12960≥1296×2+12960=38880（元），

當(dāng)且僅當(dāng)x=(x＞0),即x=10時取等號.

∴當(dāng)長為16.2米，寬為10米時總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38880元.(2）由限制條件知,∴

設(shè)g(x)=（）.g（x）在上是增函數(shù)，∴當(dāng)x=10時(此時=16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值.∴當(dāng)長為16米，寬為10米時，總造價(jià)最低.略20.（本小題滿分16分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）由，得，令，得或．

2分列表如下：0

00極小值極大值由，，∴，即最大值為，∴．

4分（Ⅱ）由，得．，且等號不能同時取，∴，∴恒成立，即．

6分令，求導(dǎo)得，，當(dāng)時，，從而，∴在上為增函數(shù)，∴，∴．

8分（Ⅲ）由條件，，假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，不妨設(shè)，則，且．是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴，∴

，是否存在等價(jià)于方程在且時是否有解．

10分①若時，方程為，化簡得，此方程無解；

12分②若時，方程為，即，設(shè)，則，顯然，當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，∴的值域?yàn)?，即，∴?dāng)時，方程總有解．∴對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線

上總存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．

16分21.已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時，．（1）當(dāng)時，填寫下列表格；n2351200an

（2）當(dāng)時，求數(shù)列的前200項(xiàng)的和；（3）令，，求證：當(dāng)時，有．參考答案：（1）（4分）n2351200an19619214

（2）當(dāng)時，由題意知數(shù)列的前50項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，從第51項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為1，偶數(shù)項(xiàng)均為4．（6分）從而，∴．（8分）（3）當(dāng)時，易知，∴（10分）①當(dāng)（k∈N*）時，∵，∴，（12分）②當(dāng)（k∈N*）時，綜上，