2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽歐拉定理試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）若正整數(shù)(a)與(n)互質(zhì)，且(\phi(n)=4)，則(a^4\modn)的值可能為（）A.0B.1C.2D.3注：(\phi(n))為歐拉函數(shù)，表示小于(n)且與(n)互質(zhì)的正整數(shù)個數(shù)。在(\triangleABC)中，外心(O)、重心(G)、垂心(H)三點(diǎn)共線（歐拉線），已知(OG=2)，則(GH)的長度為（）A.1B.2C.3D.4若(n=12)，則歐拉函數(shù)(\phi(12))的值為（）A.3B.4C.6D.8下列圖形中，一定存在歐拉線的是（）A.直角三角形B.等邊三角形C.任意四邊形D.正五邊形已知(3^{100}\mod7)，利用歐拉定理計算的結(jié)果為（）A.1B.2C.3D.6二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，其外接圓半徑為(R)，則九點(diǎn)圓的半徑為________。注：九點(diǎn)圓半徑是外接圓半徑的一半。計算(5^{2025}\mod11)的結(jié)果為________。（提示：(\phi(11)=10)）若(\triangleABC)的歐拉線與邊(BC)平行，則(\triangleABC)的形狀為________。正整數(shù)(n)滿足(\phi(n)=n/2)，則(n)一定是________（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）。在圓內(nèi)接四邊形(ABCD)中，(AB=3)，(BC=4)，(CD=5)，(DA=6)，利用托勒密定理（拓展歐拉定理應(yīng)用）計算對角線(AC)的長度為________。三、解答題（共4題，第11-13題每題15分，第14題20分，滿分65分）11.證明題：歐拉線定理已知(\triangleABC)的外心為(O)，重心為(G)，垂心為(H)，求證：(O)、(G)、(H)三點(diǎn)共線，且(OG=\frac{1}{2}GH)。（要求：至少使用兩種方法證明，可結(jié)合向量法或幾何輔助線法。）12.數(shù)論應(yīng)用題：密碼學(xué)中的歐拉定理某加密算法利用公式(c=m^e\modn)加密信息，其中(m)為明文，(e)為公鑰，(n=pq)（(p)、(q)為質(zhì)數(shù)）。已知(p=3)，(q=7)，(e=5)，求明文(m=2)對應(yīng)的密文(c)。（提示：(n=21)，(\phi(n)=(3-1)(7-1)=12)，密文(c=2^5\mod21)。）13.幾何綜合題：歐拉線與九點(diǎn)圓如圖，在(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，(O)為外心，(H)為垂心，(G)為重心。（1）求歐拉線(OH)的長度；（2）若九點(diǎn)圓的圓心為(N)，求(NG)的長度。（注：直角三角形外心為斜邊中點(diǎn)，垂心為直角頂點(diǎn)。）14.綜合探究題：歐拉定理的拓展應(yīng)用（1）證明：對于任意正整數(shù)(a)和質(zhì)數(shù)(p)，若(a)不是(p)的倍數(shù)，則(a^{p-1}\equiv1\modp)。（費(fèi)馬小定理，歐拉定理的特殊情況）（2）利用（1）的結(jié)論，計算(2^{1000}\mod13)的值。（3）若(a)、(b)與(n)互質(zhì)，證明：(a^{\phi(n)}+b^{\phi(n)}\equiv2\modn)。四、解答題（共1題，滿分20分）15.開放創(chuàng)新題：歐拉線與實際問題某中學(xué)擬建一個三角形花壇，要求花壇的外心、重心、垂心共線（即滿足歐拉線條件），且外心到重心的距離為2米。（1）請設(shè)計一個符合條件的三角形花壇尺寸（如邊長或角度）；（2）若在花壇內(nèi)種植九點(diǎn)圓區(qū)域的草坪，已知外接圓半徑為6米，求草坪面積。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）選擇題：1.B2.D3.B4.A5.A填空題：6.2.57.58.等腰三角形9.偶數(shù)10.6解答題12：(c=2^5\mod21=32\mod21=11)解答題14（2）：(\phi(13)=12)，(1000=12×83+4)，(2^4=16\equiv3\mod13)命題說明：本試卷嚴(yán)格遵循2025年初中數(shù)學(xué)競賽命題趨勢，以歐拉定理為核心，融合幾何（歐拉線、九點(diǎn)圓