2025年下學期高中數(shù)學資源觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若向量a+2b與2a-b平行，則實數(shù)m的值為（）A.1/2B.2C.-1/2D.-2已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)的值為（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a4+a5=12，則S7=（）A.28B.36C.42D.49函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是（）A.0B.2C.4D.6已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.12B.16C.20D.24已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則ω和φ的值分別為（）A.ω=2,φ=π/3B.ω=2,φ=π/6C.ω=1,φ=π/3D.ω=1,φ=π/6從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.74種C.80種D.84種已知函數(shù)f(x)=2^x+x-5，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=________。已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則a=，b=。已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F且斜率為√3的直線與拋物線交于A，B兩點，則線段AB的長為________。已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則不等式f(x)≥5的解集為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=2，cosB=3/5。（1）若b=4，求sinA的值；（2）若△ABC的面積S=4，求b，c的值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=1/2，anbn+1+bn+1=nbn。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為AC的中點。（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P-BD-C的余弦值。（本小題滿分12分）某學校為了了解學生的數(shù)學學習情況，從高一年級的學生中隨機抽取了100名學生進行數(shù)學成績測試，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.30.350.15（1）求這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若該校高一年級共有1000名學生，估計數(shù)學成績在[80,100]的學生人數(shù)；（3）從成績在[50,60)和[90,100]的學生中隨機抽取2人，求這2人成績在不同分組的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若kOA·kOB=-1/4，求證：△AOB的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2，且x1<x2，求證：x1+x2>2/a。參考答案及評分標準一、選擇題C2.A3.A4.B5.A6.B7.A8.C9.B10.B11.B12.B二、填空題√214.4，-1115.16/316.(-∞,-3]∪[2,+∞)三、解答題（1）因為cosB=3/5，0<B<π，所以sinB=4/5。由正弦定理得a/sinA=b/sinB，即2/sinA=4/(4/5)，解得sinA=2/5。（5分）（2）因為△ABC的面積S=1/2acsinB=4，所以1/2×2×c×4/5=4，解得c=5。由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=4+25-2×2×5×3/5=17，所以b=√17。（10分）（1）因為數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以an=1+2(n-1)=2n-1。（3分）（2）由anbn+1+bn+1=nbn，得(an+1)bn+1=nbn，即2nbn+1=nbn，所以bn+1=1/2bn。所以數(shù)列{bn}是首項為1，公比為1/2的等比數(shù)列，所以bn=(1/2)^(n-1)。所以Sn=1+1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1)=2-(1/2)^(n-1)。（12分）（1）因為PA⊥平面ABC，BD?平面ABC，所以PA⊥BD。因為AB=BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC。又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC。（6分）（2）以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系。則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(1,1,0)。所以向量BD=(1,-1,0)，向量PB=(0,2,-2)，向量PC=(2,2,-2)。設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z)，則n·BD=0，n·PB=0，即x-y=0，2y-2z=0，取x=1，得n=(1,1,1)。平面CBD的法向量為m=(0,0,1)。所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=1/√3=√3/3。因為二面角P-BD-C為銳角，所以二面角P-BD-C的余弦值為√3/3。（12分）（1）平均數(shù)x?=55×0.05+65×0.15+75×0.3+85×0.35+95×0.15=78.5。方差s2=(55-78.5)2×0.05+(65-78.5)2×0.15+(75-78.5)2×0.3+(85-78.5)2×0.35+(95-78.5)2×0.15=102.25。（4分）（2）數(shù)學成績在[80,100]的頻率為0.35+0.15=0.5，所以估計數(shù)學成績在[80,100]的學生人數(shù)為1000×0.5=500。（8分）（3）成績在[50,60)的學生有5人，記為A1，A2，A3，A4，A5；成績在[90,100]的學生有15人，記為B1，B2，...，B15。從這20名學生中隨機抽取2人，共有C20^2=190種不同的取法。這2人成績在不同分組的取法有C5^1×C15^1=75種。所以這2人成績在不同分組的概率P=75/190=15/38。（12分）（1）因為橢圓C的離心率為√3/2，所以c/a=√3/2，即c=√3/2a。又a2=b2+c2，所以a2=b2+3/4a2，即b2=1/4a2。因為橢圓C過點(2,1)，所以4/a2+1/b2=1，即4/a2+4/a2=1，解得a2=8，b2=2。所以橢圓C的方程為x2/8+y2/2=1。（4分）（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組{x2/8+y2/2=1，y=kx+m}，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。所以x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)。因為kOA·kOB=y1y2/x1x2=-1/4，所以4y1y2+x1x2=0。又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以4[k2x1x2+km(x1+x2)+m2]+x1x2=0。整理得(4k2+1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0。將x1+x2，x1x2代入得(4k2+1)(4m2-8)/(1+4k2)+4km(-8km)/(1+4k2)+4m2=0，化簡得m2=2+8k2。所以|AB|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[32(1+4k2-m2)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[32(1+4k2-2-8k2)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[32(-1-4k2)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[32/(1+4k2)]=4√2√(1+k2)/(1+4k2)。點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√(2+8k2)/√(1+k2)=2√(2+4k2)/√(1+k2)。所以△AOB的面積S=1/2|AB|d=1/2×4√2√(1+k2)/(1+4k2)×2√(2+4k2)/√(1+k2)=4√2√(2+4k2)/(1+4k2)=4√2√[2(1+2k2)]/(1+4k2)=4√2×√2√(1+2k2)/(1+4k2)=8√(1+2k2)/(1+4k2)。令t=√(1+2k2)，則t≥1，1+4k2=2t2-1，所以S=8t/(2t2-1)=8/(2t-1/t)。因為t≥1，所以2t-1/t≥2×1-1/1=1，所以S≤8/1=8，當且僅當t=1，即k=0時取等號。所以△AOB的面積為定值8。（12分）（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-a。當a≤0時，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。當a>0時，令f'(x)=0，得x=1/a。當0<x<1/a時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x>1/a時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。（4分）（2）因為函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2，所以lnx1-ax1+1=0，lnx2-ax2+1=0，兩式相減得lnx1-lnx2=a(x1-x2)，即ln(x1/x2)=a(x1-x2)。令t=x1/x2，0<t<1，則x1=tx2，所以lnt=a(tx2-x2)=a(t-1)x2，解得x2=lnt/[a(t-1)]，x1=tlnt/[a(t-1)]。所以x1+x2=lnt/[a(t-1)]+tlnt/[a(t-1)]=lnt(1+t)/[a(t-1)]。要證x1+x2>2/a，即證lnt(1+t)/[a(t-1)]>2/a，因為a>0，所以只需證lnt(1+t)/(t-1)>