1、第二章 仿射空間與偽歐氏空間中的張量,2-1 引言-改變空間性質(zhì)的必要性 2-2 仿射空間中的張量 2-3 偽歐氏空間中的張量 2-4 復(fù)歐氏空間,2-1 引言-改變空間性質(zhì)的必要性（1）,伽利略變換 t = 0 時(shí), 重合， S 系： S系： 時(shí)空變換: 速度變換 加速度變換 牛頓定律不變,2-1 引言-改變空間性質(zhì)的必要性（2）,伽利略變換的局限性 麥克斯威方程組含有光速：不同系，形式不同 形式相同 光速不變 從數(shù)學(xué)的角度尋找滿(mǎn)足光速不變的時(shí)空變換,2-2 仿射空間中的張量,仿射空間的定義 仿射空間中的坐標(biāo)系及其變換 逆變張量與協(xié)變張量 張量的運(yùn)算 由仿射空間到歐氏空間,2-2-1 仿射空

2、間的定義（1）,仿射空間 歐氏空間去掉矢量點(diǎn)積 歐氏空間中與矢量點(diǎn)積相關(guān)的性質(zhì)將消失 兩矢量的正交性 矢量的長(zhǎng)度 坐標(biāo)變換的正交性 保持矢量點(diǎn)積不變的性質(zhì),2-2-1 仿射空間的定義（2）,歐氏空間中與矢量點(diǎn)積無(wú)關(guān)的性質(zhì)將保留 矢量的加法 數(shù)與矢量的乘法,2-2-2 仿射空間中的坐標(biāo)系及其變換（1）,線(xiàn)性相關(guān) 如果能找到一組不全為零的數(shù) 使得 反之則線(xiàn)性無(wú)關(guān) n 維仿射空間 可以找到 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的矢量，而 n+1 個(gè)矢量都是線(xiàn)性相關(guān)的。,2-2-2 仿射空間中的坐標(biāo)系及其變換（2）,坐標(biāo)基矢 n 維仿射空間中任意選 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的矢量 任意矢量 的坐標(biāo)基矢展開(kāi) （1）,2-2-2 仿射空

3、間中的坐標(biāo)系及其變換（3）,任意矢量 的坐標(biāo)基矢展開(kāi)（2） 證明 的逆變分量,n維空間,2-2-2 仿射空間中的坐標(biāo)系及其變換（4）,新老坐標(biāo)基矢的變換公式(正變換),變換矩陣,行,列,矩陣 可逆 證明,2-2-2 仿射空間中的坐標(biāo)系及其變換（5）,n個(gè)獨(dú)立的變量,n個(gè)線(xiàn)性齊次函數(shù),線(xiàn)性無(wú)關(guān),線(xiàn)性代數(shù),變換矩陣與逆矩陣的關(guān)系 的逆矩陣 新老坐標(biāo)基矢的變換公式(逆變換)（1）,2-2-2 仿射空間中的坐標(biāo)系及其變換（6）,行,列,2-2-2 仿射空間中的坐標(biāo)系及其變換（7）,新老坐標(biāo)基矢的變換公式(逆變換)（2） 證明,同乘 ，并對(duì)i 求和,2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（1）,矢量分量的變換公

4、式(正變換)（1）,按 變換,2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（2）,矢量分量的變換公式(正變換)（2） 證明,2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（3）,一階逆變張量 矢量分量的變換公式(逆變換) (1),2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（4),矢量分量的變換公式(逆變換)(2) 證明,同乘 ，并對(duì)i 求和,2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（5),一階張量的例子(1) 坐標(biāo)系 坐標(biāo)變換 證明,2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（6),一階張量的例子(2) 證明,2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（7),一階協(xié)變張量,在仿射空間中的張量有協(xié)變和逆變兩種，這是和歐氏空間不同的地方。產(chǎn)生這一差別的原因在于仿射空間的變

5、換矩陣不是正交矩陣。,2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（8), 階協(xié)變，階逆變的張量 (1),坐標(biāo)系 ,一組數(shù) 坐標(biāo)變換,2-2-3 逆變張量與協(xié)變張量（9), 階協(xié)變，階逆變的張量(2) 下標(biāo) 協(xié)變，上標(biāo) 逆變 是仿射空間張量， 不是仿射空間張量,2-2-4 張量的運(yùn)算（1）,張量的運(yùn)算 運(yùn)算不變 (張量 張量) 加法, 乘法, 縮并和置換 張量的加法 (1) 定義 運(yùn)算不變,2-2-4 張量的運(yùn)算 (2),張量的加法 (2) 運(yùn)算不變(兩個(gè)同階張量 一個(gè)同階張量),運(yùn)算不變,張量定義,2-2-4 張量的運(yùn)算 (3),張量的乘法 (1) 定義 運(yùn)算不變,2-2-4 張量的運(yùn)算 (4),張量的乘

6、法 (2) 運(yùn)算不變 (兩個(gè)張量 一個(gè)張量),2-2-4 張量的運(yùn)算 (5),張量的縮并 (1) 定義 只能將上指標(biāo)和下指標(biāo)縮并。 運(yùn)算不變,2-2-4 張量的運(yùn)算 (6),運(yùn)算不變 (張量 一個(gè)張量),2-2-4 張量的運(yùn)算 (7),張量指標(biāo)的置換 定義 運(yùn)算不變 運(yùn)算不變 (張量 張量),2-2-5 由仿射空間到歐氏空間（1）,點(diǎn)積 仿射空間, 沒(méi)有點(diǎn)積 沒(méi)有度量的空間 仿射空間, 點(diǎn)積 有度量的空間 歐氏空間（有度量的空間） 仿射空間, 點(diǎn)積 坐標(biāo)變換保持矢量的點(diǎn)積的公式不變,2-2-5 由仿射空間到歐氏空間（2）,正交變換 保持矢量的點(diǎn)積的公式不變 度規(guī)張量 正交變換下， 是一個(gè)二階張

7、量 降指標(biāo)運(yùn)算 協(xié)變張量 = 逆變張量,2-3 偽歐氏空間中的張量,偽歐氏空間的建立 偽歐氏空間的坐標(biāo)基矢 偽歐氏空間中的張量 偽歐氏空間中的坐標(biāo)變換,2-3-1 偽歐氏空間的建立 (1),從數(shù)學(xué)的角度尋找滿(mǎn)足光速不變的時(shí)空變換 光速不變四維空間,時(shí)空間隔(矢量長(zhǎng)度)(1) 系 相對(duì)系 以速度v 運(yùn)動(dòng) 物理過(guò)程: 某一時(shí)刻,某一點(diǎn)(A)發(fā)光訊號(hào),過(guò)一段時(shí)間傳播到點(diǎn)(B) K 系: 時(shí)刻 從位置 發(fā)出光訊號(hào)，在時(shí) 刻 傳播到位置 K 系: 時(shí)刻 從位置 發(fā)出光訊號(hào)，在時(shí) 刻 傳播到位置,2-3-1 偽歐氏空間的建立 (2),光速不變四維空間,時(shí)空間隔(矢量長(zhǎng)度)(2) (1), (2)式 四維空

8、間: 時(shí)空間隔(矢量長(zhǎng)度): ds,2-3-1 偽歐氏空間的建立 (3),四維空間的點(diǎn)積 四維偽歐氏空間 矢量長(zhǎng)度的平方 坐標(biāo)變換,矢量長(zhǎng)度不變光速不變 四維偽歐氏空間: 四維空間: 點(diǎn)積,2-3-2 偽歐氏空間的坐標(biāo)基矢（1）,坐標(biāo)基矢: 任意矢量的坐標(biāo)基矢展開(kāi) 坐標(biāo)基矢點(diǎn)積的公式 證明,偽歐氏,2-3-3 偽歐氏空間中的張量(1),協(xié)變度規(guī)張量 是一個(gè)張量 證明 逆變度規(guī)張量 (1),標(biāo)量,張量縮并,2-3-3 偽歐氏空間中的張量(2),逆變度規(guī)張量 (2) 是一個(gè)張量 證明 升降指標(biāo)運(yùn)算 (1) 含 或 的縮并,2-3-3 偽歐氏空間中的張量(3),升降指標(biāo)運(yùn)算 (2) 愛(ài)因斯坦約定 如

9、果在某一項(xiàng)中有一個(gè)上標(biāo)和一個(gè)下標(biāo)相 同，就意味著對(duì)于這一指標(biāo)從到作和 協(xié)變張量 逆變張量,2-3-3 偽歐氏空間中的張量（4）,例1 求和一階逆變張量 x 對(duì)應(yīng)的協(xié)變張量 真歐氏空間：協(xié)變張量 = 逆變張量 偽歐氏空間：協(xié)變張量 逆變張量 點(diǎn)積的幾種等效形式,2-3-4 偽歐氏空間中的坐標(biāo)變換（1）,坐標(biāo)變換 點(diǎn)積的表達(dá)式不變(光速不變) 1 + 1 維空間基矢變換公式，洛侖茲變換公式 基矢 矢量 點(diǎn)積 基矢點(diǎn)積 基矢變換 點(diǎn)積的表達(dá)式不變,2-3-4 偽歐氏空間中的坐標(biāo)變換（2）,1 + 1 維空間基矢變換公式，洛侖茲變換公式(2),2-3-4 偽歐氏空間中的坐標(biāo)變換（3）,1 + 1 維空

10、間基矢變換公式，洛侖茲變換公式(3),時(shí)間反演,空間反演,偽歐氏空間轉(zhuǎn)動(dòng) 的基矢變換公式,2-3-4 偽歐氏空間中的坐標(biāo)變換（4）,1 + 1 維空間基矢變換公式，洛侖茲變換公式(4) 二維矢量 的協(xié)變分量和逆變分量,協(xié)變和基矢變換規(guī)律同,2-3-4 偽歐氏空間中的坐標(biāo)變換（5）,1 + 1 維空間基矢變換公式，洛侖茲變換公式(5) 洛侖茲變換,2-3-4 偽歐氏空間中的坐標(biāo)變換（6）,1 + 1 維空間基矢變換公式，洛侖茲變換公式(6) 的物理意義 物體固連 K 系(相對(duì)系K系以速度v 運(yùn)動(dòng))x = 0 處 K 系觀(guān)察: t = 0, x = 0 t = t,2-4 復(fù)歐氏空間,偽歐氏空間與

11、復(fù)歐氏空間 復(fù)歐氏空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)與洛侖茲變換 幾個(gè)例子,2-4-1 偽歐氏空間與復(fù)歐氏空間(1),實(shí)空間 張量的分量取實(shí)數(shù)值 實(shí)真歐氏空間 實(shí)仿射空間 實(shí)偽歐氏空間 實(shí)偽歐氏空間 坐標(biāo) 的逆變分量 矢量長(zhǎng)度的平方,度規(guī)張量,歐氏,偽,2-4-1 偽歐氏空間與復(fù)歐氏空間(2),復(fù)歐氏空間 實(shí)偽歐氏空間 復(fù)真歐氏空間 實(shí)偽 復(fù)真歐氏空間 坐標(biāo) 的逆變分量 度規(guī)張量,矢量長(zhǎng)度平方,真,協(xié)變張量 = 逆變張量,2-4-2 復(fù)歐氏空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)與洛侖茲變換(1),1 + 1 維復(fù)歐氏空間 (1) 矢量 的分量 矢量點(diǎn)積 坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)(KK)保持矢量點(diǎn)積形式不變(光速不變) x和t的變換規(guī)律,2-4-2

12、復(fù)歐氏空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)與洛侖茲變換(2),1 + 1 維復(fù)歐氏空間 (2) K系相對(duì)于K系的速度 物體固連 K 系x = 0 處 K 系觀(guān)察: t = 0, x = 0; t = t, x 滿(mǎn)足 K系相對(duì)于K系作勻速運(yùn)動(dòng), 轉(zhuǎn)動(dòng)角度 是虛數(shù),2-4-2 復(fù)歐氏空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)與洛侖茲變換(3),1 + 1 維復(fù)歐氏空間 (3) 快度(實(shí)數(shù)) =-iy 快度與速度,2-4-2 復(fù)歐氏空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)與洛侖茲變換(4),1 + 1 維復(fù)歐氏空間 (4) 快度表出的洛侖茲變換,表出的洛侖茲變換, =-iy,2-4-2 復(fù)歐氏空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)與洛侖茲變換(5),1 + 1 維復(fù)歐氏空間 (5) 速度表

13、出的洛侖茲變換,2-4-2 復(fù)歐氏空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)與洛侖茲變換(6),1 + 1 維復(fù)歐氏空間 (6) 速度(快度)合成公式 (1) K1相對(duì)K速度v1（快度y1），K2相對(duì)于K1的速 度v2（快度y2) K2相對(duì)于K的速度(快度y=?）v=? K1相對(duì)K: K2相對(duì)K1: K2相對(duì)K:,2-4-2 復(fù)歐氏空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)與洛侖茲變換(7),1 + 1 維復(fù)歐氏空間 (7) 速度(快度)合成公式 (2),2-4-3 幾個(gè)例子 (1),四維空間電流密度矢量和電荷守恒律(1) 四維空間電流密度矢量(1),三維電流密度矢量,電荷密度,電荷運(yùn)動(dòng)的速度,分量形式,四維電流密度矢量 (復(fù)歐氏空間),構(gòu)造,2-4-3 幾個(gè)例子 (2),四維空間電流密度矢量和電荷守恒律(2) 四維空間電流密度矢量(2),分量形式,四維電流密度矢量 (偽歐氏空間),構(gòu)造,2-4-3 幾個(gè)例子 (3),四維空間電流密度矢量和電荷守恒律(3) 四維空間電荷守恒律,三維電荷守恒定律的微分形式,2-4-3 幾個(gè)例子 (4)