1、1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,李季,2,序言,關(guān)于這門課的簡單介紹,3,自然界和社會生活中，有兩類現(xiàn)象：,一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象； 而更多的是隨機現(xiàn)象， 使我們無時無刻不面臨著各種各樣的不確定性， 使我們的世界豐富多彩，變化萬千。,4,A. 太陽從東方升起； B. 明天的最高溫度； C. 上拋物體一定下落； D. 新生嬰兒的體重。,我們的生活和隨機現(xiàn)象結(jié)下了不解之緣,1、下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？,5,隨機現(xiàn)象的規(guī)律性,隨機現(xiàn)象的發(fā)生和結(jié)果具有不確定性， 但是在相同條件下大量重復(fù)觀測，又具有一定的規(guī)律性。,6,例如: 一門火炮在一定條件下進行射擊，個別炮彈的彈著點可能偏離目標(biāo)而有隨機性的誤差，但大量

2、炮彈的彈著點則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等。,7,又如: 在一個容器內(nèi)有許多氣體分子，每個氣體分子的運動存在著不定性，無法預(yù)言它在指定時刻的動量和方向。但大量分子的平均活動卻呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性，如在一定的溫度下，氣體對器壁的壓力是穩(wěn)定的，呈現(xiàn)“無序中的規(guī)律”。,8,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,把隨機現(xiàn)象的不確定性進行數(shù)量化，研究其中的數(shù)量規(guī)律性，即統(tǒng)計規(guī)律性。 概率論 數(shù)理統(tǒng)計,9,第一部分：概率論,10,目 錄,第一章 隨機事件及其概率 第二章 隨機變量及其分布 第三章 隨機變量的數(shù)字特征 第四章 大數(shù)定律和中心極限定理,11,第一章,隨機事件及其概率,12,第一章 隨機事件及

3、其概率,隨機事件及樣本空間 頻率與概率 條件概率及貝努利概型,13,第一節(jié) 隨機事件及樣本空間,隨機事件及其有關(guān)概念 隨機事件的關(guān)系及其運算 樣本空間,14,一. 隨機事件及其有關(guān)概念,1. 隨機試驗 相同的條件下, 可以重復(fù); 結(jié)果不止一個, 但明確所有可能的結(jié)果; 每次試驗之前,不能確定哪種結(jié)果出現(xiàn).,15,2. 隨機事件,基本事件: 隨機試驗的每一個可能的結(jié)果. 復(fù)合事件: 隨機試驗中, 由兩個或更多基本事件 復(fù)合而成情況, 包括多種可能的結(jié)果. 隨機事件: 基本事件與復(fù)合事件統(tǒng)稱為隨機事件.,16,隨機事件的一些例子:,（1）基本事件：,相對于觀察目的不可再分解的事件,17, 復(fù)合事件

4、,事件 B=擲出奇數(shù)點, 兩個特殊隨機事件 必然事件 U 不可能事 ,18,（4）隨機事件：擲硬幣,H-正面，T-反面，A 、B、C都是隨機事件: A “至少出現(xiàn)一個正面” HHH, HHT, HTH, THH HTT，THT，TTH B “三次出現(xiàn)同一面” HHH,TTT C “恰好出現(xiàn)一次正面” HTT，THT，TTH,19,二. 隨機事件的關(guān)系及其運算,我們通過下面的例子來討論 例：在檢查某些圓柱形產(chǎn)品時，如果規(guī)定只 有它的長度及直徑都合格時才算產(chǎn)品合格，那么“產(chǎn)品合格”與“直徑合格”、“長度合格”等事件有著密切聯(lián)系。,20,1、包含關(guān)系,“ A 發(fā)生 B 發(fā)生 ”,21,2、和事件,“

5、 A 與 B 至少一個發(fā)生”，,22,3、積事件,A 與 B 同時發(fā)生，記作 AB,23,4、差事件,A 發(fā)生而 B 不發(fā)生。,24,5、互斥的事件,A 和 B 不同時發(fā)生,25,6、互逆事件 (互為對立事件）,26,各種關(guān)系的主要性質(zhì),傳遞性： A B，B C，則A C 交換律： 結(jié)合律： 自反性： 摩根律：,27,三. 樣本空間,樣本點：隨機試驗E 的所有可能結(jié)果，即 所有的基本事件。記作e。 樣本空間：全體樣本點所組成的集合。記 作U。,樣本點e,28,例： 隨機試驗 E 是將一枚硬幣拋擲兩次， 則樣本空間 U 由如下四個樣本點組成：,29,樣本空間 U 建立了事件與集合的聯(lián)系,所有可能

6、的結(jié)果 集合 U； 基本事件 U 的元素； 隨機事件 U 的子集； 事件的關(guān)系和運算 子集的關(guān)系和運算 用集合論和Venn圖來描述隨機事件。,30,例 1：從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進行檢驗（不放回）事件A,B,C表示第i次取得合格品（i=1,2,3)，試用運算符號表示下列事件。,三次都取到了合格品： 三次至少有一次取到合格品： 三次恰有兩次取到合格品： 三次最多有一次取到合格品： 三次中都不多于兩次取到合格品：,31,例 2：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈， 以A，B，C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A 、B、C運算關(guān)系表示下列事件：,32,第二節(jié) 頻率與概率,頻率 概率的古典定義

7、幾何概率 概率的公理化定義,33,一. 頻率,頻率的定義： 事件 A 在 n 次重復(fù)試驗中出現(xiàn) m 次， 事件 A 在 n 次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率,34,能否用頻率做為概率?,頻率穩(wěn)定性: 頻率隨試驗次數(shù)的變化而變化; 試驗次數(shù)相同, 頻率也具有隨機波動性; 試驗次數(shù)較小時, 頻率隨機波動幅度較大; 試驗次數(shù)逐漸增大時, 頻率逐漸穩(wěn)定于某一個常數(shù).,35,歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。 實驗者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 601

8、9 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,36,二. 概率的古典定義,1. 古典概型: 如果隨機試驗, 滿足: 試驗的樣本空間中, 基本事件只有有限個; 試驗中, 每個基本事件發(fā)生的可能性相同.,37,2. 概率的古典定義,假設(shè)試驗 E 是古典概型，如果 樣本空間 U 共有 n 個基本事件； 事件 A 包括 m 個基本事件。 則事件 A 的概率,38,例1 號碼鎖上有6個撥盤，每個撥盤上有09共10個數(shù)字， 當(dāng)這6個撥盤上的數(shù)字組成打開號碼鎖的6位數(shù)時（第一位可以是0），鎖才能打開。 問：如果不知道鎖的號碼，一次就把鎖打開的概率是多少？,39,例2 設(shè)一口袋

9、中有 m 件產(chǎn)品，其中 k 件正品，m-k 件次品， 現(xiàn)從中一次任意取出 n (nm) 件產(chǎn)品， 問其中恰有j (jk) 件正品的概率。,K 件正品,次品,正品,m-k 件次品,40,例3 將一枚硬幣拋擲三次 (1) 設(shè)事件 A 為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求 P(A) (2) 設(shè)事件 B 為“至多有一次出現(xiàn)正面”，求 P(B) (3) 設(shè)事件 C 為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求 P(C),解： ,41,例4 產(chǎn)品放在一箱內(nèi)，其中正品 46 件，廢品 4件，從箱中取產(chǎn)品 2 次，每次隨機取一次。 考慮兩種取產(chǎn)品方式：有放回抽樣和不放回抽樣， 試分別就上面兩種情況，求 (1)取到的兩件產(chǎn)品都是正品的概

10、率； (2)取到的兩件產(chǎn)品為同質(zhì)量的概率； (3)取到的兩件產(chǎn)品中至少有一件是正品的概率。,42,解：設(shè) A=取到的兩件都是正品 B=取到的兩件都是廢品 C=取到的兩件中至少有一件是正品,易知 AUB =取到的兩件為同質(zhì) 而,43,例 5 設(shè)有 n 個球，每個都能以同樣的概率落 到 N 個盒子的每一個盒子中，試求： 每個盒子至多有一個球的概率 p; 某指定的 n 個盒子中各有一個球的概 率 q; 任何 n 個盒子中各有一個球的概率 r 。,44, 乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步， 第一步有 n1 種方法,第二步有 n2 種方法， 則完成這件事共有 n1n2 種方法。,復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念

11、,45, 加法公式： 假設(shè)完成一件事可有兩種途徑， 第一種途徑有 n1 種方法，第二種有 n2 種方法， 則完成這件事共有 n1 + n2 種方法。,46, 有重復(fù)排列： 從含有 n 個元素的集合中隨機抽取 k 次，每次取一個，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，,共有 nk 種排列方式,47, 無重復(fù)排列： 從含有 n 個元素的集合中隨機抽取 k 次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，,共有 Pnk=n(n-1)(n-k+1) 種排列方式,48,四、概率的公理化定義,對隨機試驗 E 的樣本空間 U 中的每一事件 A，賦予一實數(shù) P(A)，滿足以下三個條件： (1) 對于每一個事件

12、 A ，有 0P(A) 1； (2) P(U)1； (3) 可列可加性：設(shè) A1，A2，, 是一列兩 兩互不相容的事件， P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱 P(A) 為事件 A 的概率。,49,2、概率的性質(zhì),性質(zhì) 1,即不可能事件的概率為 0,50,性質(zhì) 2 如果 A1，A2， An 兩兩互斥，則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,概率的有限可加性,51,性質(zhì) 3對任一事件A ，有,52,性質(zhì) 4 設(shè)、B是兩個事件，若 , 則 有,53,54,例 從 1 到 2000 這 2000 個自然數(shù)中任取一個, (1)求取到的數(shù)能被 6 整除的

13、概率 (2)求取到的數(shù)能被 8 整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被 6 整除也能被 8 整除的概率,55,第三節(jié) 條件概率與貝努利概型,條件概率 全概率公式 貝葉斯公式 隨機事件的獨立性 貝努利概型,56,一. 條件概率,1. 定義: 兩個事件 A, B, 且 B 發(fā)生條件下，A 的條件概率,57,2. 條件概率的說明,條件概率 P(A|B) 也是概率-原來的事件 B變成了樣本空間 （樣本空間縮減了）, 其中事件 AB 的概率； 幾何上看，AB 的面積在 B 面積中所占的比例； 古典概型中，設(shè) B 有 個樣本點，AB 有 個，,58,例1：設(shè)袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次

14、取一個，取后不放回，求： （1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率; （2）求第二次取到紅球的概率； （3）求兩次均取到紅球的概率。,A=第一次取到紅球, B=第二次取到紅球,3、有關(guān)條件概率的例題,59,例2： 一盒中混有100只新，舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。 從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,A,B,60,例3： 當(dāng)擲 5 枚相同分幣時，已知至少出現(xiàn)兩個正面的情況下，問正面數(shù)剛好是三個的條件概率？,A=至少出現(xiàn)兩個正面的事件 B=剛好三個正面的事件,61,3. 乘積公式,.,設(shè) A、BU，P（A） 0,則 (1) P(AB)P(A)P

15、(B|A) 稱為事件 A、B 的概率乘法公式。,(2) 上式還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) (3) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1),62,例4：甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的。而在這300個零件中，有189個是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？,所求為 P(AB),甲、乙共生產(chǎn) 1000 個,189個是 標(biāo)準(zhǔn)件,300個 乙廠生產(chǎn),B =是乙廠生產(chǎn),A =是標(biāo)準(zhǔn)件,63,所求為P(AB),設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn),A=是

16、標(biāo)準(zhǔn)件,若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的, 問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”,求的是 P(A|B),B發(fā)生, 在P(AB)中作為結(jié)果; 在P(A|B)中作為條件。,64,例5： 市場上供應(yīng)燈泡，甲廠產(chǎn)品占 60，乙廠占40，甲廠產(chǎn)品的合格率是90，乙廠的合格率是80。若用 A 表示甲廠的產(chǎn)品，B 表示產(chǎn)品為合格品。求： (1)已知買到的是甲廠的一個產(chǎn)品，合格率是多少？ (2)買到一個產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率？,65,例6： 對含有 5 廢品的 100 件產(chǎn)品進行抽樣檢查， 整批產(chǎn)品被拒絕介紹的條件是在被抽查的 5 件產(chǎn)品(不放回抽樣)中至少有一件是廢品，試問該批產(chǎn)品被拒絕的概率是多少？,設(shè) Ai

17、表示事件“第 i (i=1,2,3,4,5)次被抽查的產(chǎn)品為合格品”，,66,二. 全概率公式,.,設(shè) B1,Bn 是 U 的一個劃分，且 P(Bi)0，(i1，n)，則對任何事件 AU 有,上式就稱為全概率公式。,67,全概率公式的解釋,.,68,例7： 市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。,B,B,69,三. 貝葉斯公式,.,設(shè) B1，, Bn 為隨機試驗 E 的樣本空間 U 的一個劃分，A 為 E 的事件，且 P(A)0, P(Bi)0 (i=1,2,n),

18、則,其中(j=1,2,n),70,例8： 設(shè)某工廠甲，乙，丙三個車間生產(chǎn)同一種儀表，產(chǎn)量依次占全廠的40，50，10。如果各車間的一級品率依次為90，80，98?，F(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中抽查出一個結(jié)果為一級品，試判斷它是丙車間生產(chǎn)的概率。,解：設(shè)A抽查一個產(chǎn)品為一級品， 分別表示事件“產(chǎn)品為甲，乙，丙車間生產(chǎn)的”。很明顯， 構(gòu)成一個劃分。利用貝葉斯公式,71,例 9：商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？,解: 設(shè) A: 從一箱中任取4只檢查,

19、結(jié)果都是好的。 B0, B1, B2 分別表示事件每箱含 0，1，2 只 次品。,72,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,73,四. 事件的獨立性,1. 事件獨立的定義,設(shè) A、B 是兩個事件，P(A) 0, 若 P(B)P(B|A) ，P(A)=P(A|B) 則稱事件 A 與 B 相互獨立。 上式等價于： P(AB)P(A)P(B),74,定理3.2 以下四件命題等價： (1)事件 A、B 相互獨立；(2)事件 A、B 相互獨立； (3)事件 A、B 相互獨立；(4)事件 A、B 相互獨立。,定理3.3 設(shè) A，B 是兩個事件，且 P(A)0，若 A，B 相互獨立，則 P(A)=P(A|B) ，反之亦然。 也就是，A 事件的概率，和 B 事件發(fā)生與否無關(guān)。,75,2. 多個事件的獨立性,.,定義 若三個事件 A、B、C 滿足： P(AB)=