1、南京財經(jīng)大學統(tǒng)計學系 管于華,第四章數(shù)據(jù)的描述性分析,本章內(nèi)容,一、 集中趨勢的描述 二、 離散程度的描述 三、 分布的偏態(tài)與峰度,集中趨勢的描述,數(shù)值平均數(shù) 1. 算術平均數(shù) 2. 調(diào)和平均數(shù) 3. 幾何平均數(shù),集中趨勢的描述,位置平均數(shù) 1. 中位數(shù) 2. 眾數(shù),對比,離散程度的描述,絕對指標 1. 極差與四分位差 2. 平均差 3. 標準差與方差 相對指標離散系數(shù),離散程度的描述,數(shù)據(jù)標準化,是非標志標準差,分布的偏態(tài)與峰度,原點距 中心距,分布的偏態(tài)與峰度,分布的偏態(tài) 分布的峰度,集中趨勢,集中趨勢（Central Tendency）反映的是一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，在中心附近的

2、數(shù)據(jù)數(shù)目較多，而遠離中心的較少。對集中趨勢進行描述就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的中心值或代表值。,算術平均數(shù),算術平均數(shù)（Arithmetic mean）是總體中各個體的某個數(shù)量標志的總和與個體總數(shù)的比值，一般用符號 表示。,簡單算術平均數(shù) 加權算術平均數(shù) 算術平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì),簡單算術平均數(shù),加權算術平均數(shù),權數(shù),算術平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì),權數(shù),次數(shù)f的作用：當變量值比較大的次數(shù)多時，平均數(shù)就接近于變量值大的一方；當變量值比較小的次數(shù)多時，平均數(shù)就接近于變量值小的一方?？梢?，次數(shù)對變量值在平均數(shù)中的影響起著某種權衡輕重的作用，因此被稱為權數(shù)。,權數(shù),次數(shù)f的作用：當變量值比較大的次數(shù)多時，平均數(shù)就接近于

3、變量值大的一方；當變量值比較小的次數(shù)多時，平均數(shù)就接近于變量值小的一方?？梢?，次數(shù)對變量值在平均數(shù)中的影響起著某種權衡輕重的作用，因此被稱為權數(shù)。,調(diào)和平均數(shù),調(diào)和平均數(shù)（Harmonic mean）是各變量值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)。由于它是根據(jù)變量值倒數(shù)計算的，所以又稱作倒數(shù)平均數(shù)，通常用 表示。,簡單調(diào)和平均數(shù) 加權調(diào)和平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)是算術平均數(shù)的變形,簡單調(diào)和平均數(shù),加權調(diào)和平均數(shù),調(diào)和平均數(shù)是算術平均數(shù)的變形,幾何平均數(shù),幾何平均數(shù)（Geometric mean）是n個變量值連乘積的n次方根。幾何平均數(shù)是計算平均比率和平均速度最適用的一種方法。通常用 表示。,簡單幾何平均數(shù) 加權幾

4、何平均數(shù),簡單幾何平均數(shù),加權幾何平均數(shù),注意：不能直接平均增長速度,中位數(shù),中位數(shù)（Median）是一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的那個變量值，通常用 表示。其定義表明，中位數(shù)就是將某變量的全部數(shù)據(jù)均等地分為兩半的那個變量值：一半數(shù)值小于中位數(shù)，另一半數(shù)值大于中位數(shù)。中位數(shù)是一個位置代表值，因此它不受極端變量值的影響。,由未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù) 由單項數(shù)列確定中位數(shù) 由組距數(shù)列確定中位數(shù),分位數(shù),由未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù),對未分組數(shù)據(jù)資料，需先將各變量值按大小順序排列，并按公式 確定中位數(shù)的位置。,當一個序列中的項數(shù)為奇數(shù)時，則處于序列中間位置的變量值就是中位數(shù)。 例： 7、6、8、2、

5、3 當一個序列的項數(shù)是偶數(shù)時，則應取中間兩個數(shù)的中點值作為中位數(shù)，即取中間兩個變量值的平均數(shù)為中位數(shù)。 例： 2、5、7、8、11、12,由單項數(shù)列確定中位數(shù),先計算各組的累計次數(shù)，再按公式 確定 中位數(shù)的位置，并對照累計次數(shù)確定中位數(shù)。,由組距數(shù)列確定中位數(shù),下限公式：,上限公式：,分位數(shù),三個數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項數(shù)相等的四部分，這三個數(shù)值就定義為四分位數(shù)(Quartiles)。 十分位數(shù)(Dectile)和百分位數(shù)(Percentile)分別是將變量數(shù)列十等分和一百等分的數(shù)值 。,眾數(shù),眾數(shù)(Mode)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個變量值，通常用 表示。,由未分組數(shù)據(jù)確定眾數(shù) 由單項

6、數(shù)列確定眾數(shù) 由組距數(shù)列確定眾數(shù),由未分組數(shù)據(jù)確定眾數(shù),例1： 7、6、8、2、3 例2： 7、6、8、2、3 、4、3、2、3 例3： 7、6、8、2、3 、4、3、2、3、2,由單項數(shù)列確定眾數(shù),由組距數(shù)列確定眾數(shù),下限公式：,上限公式：,對比,1. 眾數(shù)、中位數(shù)和算術平均數(shù)的關系,2. 眾數(shù)、中位數(shù)和算術平均數(shù)的特點與應用場合,極差與四分位差,極差（Range）也叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之離差，即：,四分位差（Interquartile range）是指第三四分位數(shù)與第一四分位數(shù)之差，也稱為內(nèi)距或四分間距，用表示。四分位差的計算公式為：,平均差,平均差（Mean deviati

7、on）也稱平均離差，是各變量值與其平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)，通常用 表示。,簡單式平均差 加權式平均差,簡單式平均差,加權式平均差,標準差與方差,標準差（Standard deviation）又稱均方差，它是各單位變量值與其平均數(shù)離差平方的平均數(shù)的方根，通常用 表示。它是測度數(shù)據(jù)離散程度的最主要方法。 方差（Variance）是各變量值與其算術平均數(shù)離差平方和的平均數(shù)，即是標準差的平方，用 表示總體的（方差）標準差；用 表示樣本的（方差）標準差。,總體與樣本標準差,簡單式標準差 加權式標準差,簡單式標準差,加權式標準差,總體與樣本標準差,簡單式,加權式,總體,樣本,數(shù)據(jù)標準化,標準化數(shù)值是變量

8、值與其平均數(shù)的離差除以標準差后的值，也稱為z分數(shù)或標準分數(shù)。設標準化數(shù)值為z，則有：,離散系數(shù),對于平均數(shù)不等或計量單位不同的不同組別的變量值，是不能直接用離散程度的絕對指標比較其離散程度的。為了消除變量平均數(shù)不等和計量單位不同對離散程度測度值的影響，需要計算離散程度的相對指標，即離散系數(shù)，其一般公式是：,是非標志標準差,是一個比率，它表示具有某種特征的個體的數(shù)量占總體中個體總數(shù)的比重，即總體成數(shù)。 是非標志的平均數(shù)為： 是非標志的標準差為:,原點矩,一般式,一階原點矩,中心矩,一般式,二階中心矩,偏態(tài),偏態(tài)（Skewness）是對分布偏斜方向和程度的測度。變量分組后，總體中各個體在不同的分組變量值下分布并不均勻?qū)ΨQ，而呈現(xiàn)出偏斜的分布狀況，統(tǒng)計上將其稱為偏態(tài)分布。,偏態(tài)系數(shù) 的數(shù)值一般在0與3之間，越接近0，分布的偏斜度越??；越接近3，分布