1、第二章 靜電場 主 要 內(nèi) 容電場強(qiáng)度、電位、介質(zhì)極化、場方程、邊界條件、能量與力1. 電場強(qiáng)度、電通及電場線 電場對某點單位正電荷的作用力稱為該點的電場強(qiáng)度，以E 表示。 式中q 為試驗電荷的電量，F(xiàn) 為電荷q 受到的作用力。 電場強(qiáng)度通過任一曲面的通量稱為電通，以 表示,即 電場線方程用電場線圍成電場管帶電平行板 負(fù)電荷 正電荷 幾種典型的電場線分布由此可見，電場線的疏密程度可以顯示電場強(qiáng)度的大小。 2. 真空中靜電場方程 物理實驗表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度E 滿足下列兩個積分形式的方程式中0 為真空介電常數(shù)。左式稱為高斯定理，它表明真空中靜電場的電場強(qiáng)度通過任一封閉曲面的電通等于該封閉

2、曲面所包圍的電量與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度沿任一條閉合曲線的環(huán)量為零。根據(jù)上面兩式可以求出電場強(qiáng)度的散度及旋度，即左式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度在某點的散度等于該點的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度的旋度處處為零。由此可見，真空中靜電場是有散無旋場。 已知靜電場的電場強(qiáng)度的散度及旋度以后，根據(jù)亥姆霍茲定理，電場強(qiáng)度E 應(yīng)為 式中xPzyr0將前述結(jié)果代入，求得因此 標(biāo)量函數(shù) 稱為電位。因此，上式表明真空中靜電場在某點的電場強(qiáng)度等于該點電位梯度的負(fù)值。按照國家標(biāo)準(zhǔn)，電位以小寫希臘字母 表示，上式應(yīng)寫為將電位表達(dá)式代入，求得電場強(qiáng)度與電荷密

3、度的關(guān)系為 若電荷分布在一個有限的表面上，或者分布在一個有限的線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時電位及電場強(qiáng)度與電荷的面密度 S 及線密度l 的關(guān)系分別為（1）高斯定律中的電量 q 應(yīng)理解為封閉面 S 所包圍的全部正負(fù)電荷的總和。 靜電場特性的進(jìn)一步認(rèn)識：（2）靜電場的電場線是不可能閉合的 ，而且也不可能相交。（3）任意兩點之間電場強(qiáng)度 E 的線積分與路徑無關(guān)。真空中的靜電場和重力場一樣，它是一種保守場。 （4）已知電荷分布的情況下，可以利用高斯定理計算電場強(qiáng)度，或者可以通過電位求出電場強(qiáng)度，或者直接根據(jù)電荷分布計算電場強(qiáng)度等三種計算靜電場的方法。 例1 計算點電荷的電場強(qiáng)度。 點電荷就是指體積為零

4、，但具有一定電量的電荷。由于點電荷的結(jié)構(gòu)具有球?qū)ΨQ特點，因此若點電荷位于球坐標(biāo)的原點，它產(chǎn)生的電場強(qiáng)度一定與球坐標(biāo)的方位角及無關(guān)。 取中心位于點電荷的球面為高斯面。若點電荷為正電荷，球面上各點的電場強(qiáng)度方向與球面的外法線方向一致。利用高斯定律上式左端積分為 得或 也可通過電位計算點電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。當(dāng)點電荷位于坐標(biāo)原點時， 。那么點電荷的電位為求得電場強(qiáng)度 E 為 若直接根據(jù)電場強(qiáng)度公式（2-2-14），同樣求得電場強(qiáng)度E為 例2 計算電偶極子的電場強(qiáng)度。 由前述電位和電場強(qiáng)度的計算公式可見，無論電荷何種分布，電位及電場強(qiáng)度均與電量的一次方成正比。因此，可以利用疊加原理計算多種分布電荷產(chǎn)生的

5、電位和電場強(qiáng)度。那么，電偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)為 若觀察距離遠(yuǎn)大于兩電荷的間距 l ，則可認(rèn)為 ， 與 平行，則x-q+qzylrr-r+O式中l(wèi) 的方向規(guī)定由負(fù)電荷指向正電荷。通常定義乘積 q l 為電偶極子的電矩，以 p 表示，即求得那么電偶極子產(chǎn)生的電位為 利用關(guān)系式 ，求得電偶極子的電場強(qiáng)度為 上述結(jié)果表明，電偶極子的電位與距離平方成反比，電場強(qiáng)度的大小與距離的三次方成反比。而且兩者均與方位角 有關(guān)。這些特點與點電荷顯著不同。下圖繪出了電偶極子的電場線和等位線的分布。 例3 設(shè)半徑為a，電荷體密度為 的無限長圓柱帶電體位于真空，計算該帶電圓柱體內(nèi)外的電場強(qiáng)度。 xzyaLS1 選取圓柱坐標(biāo)

6、系，令 z 軸為圓柱的軸線。由于圓柱是無限長的，對于任一 z 值，上下均勻無限長，因此場量與 z 坐標(biāo)無關(guān)。對于任一 z 為常數(shù)的平面，上下是對稱的，因此電場強(qiáng)度一定垂直于z 軸，且與徑向坐標(biāo) r 一致。再考慮到圓柱結(jié)構(gòu)具有旋轉(zhuǎn)對稱的特點，場強(qiáng)一定與角度 無關(guān)。 取半徑為 r ，長度為 L 的圓柱面與其上下端面構(gòu)成高斯面。應(yīng)用高斯定律 因電場強(qiáng)度方向處處與圓柱側(cè)面S1的外法線方向一致，而與上下端面的外法線方向垂直，因此上式左端的面積分為當(dāng) r a 時，則電量q 為 , 求得電場強(qiáng)度為 上式中a2 可以認(rèn)為是單位長度內(nèi)的電量。那么，柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為 =a2 的線電荷產(chǎn)生的電

7、場。由此我們推出線密度為 的無限長線電荷的電場強(qiáng)度為 由此例可見，對于這種結(jié)構(gòu)對稱的無限長圓柱體分布電荷，利用高斯定律計算其電場強(qiáng)度是十分簡便的。若根據(jù)電荷分布直接積分計算電位或電場強(qiáng)度，顯然不易。 xzyr21r0例4 求長度為L，線密度為 的均勻線分布電荷的電場強(qiáng)度。 令圓柱坐標(biāo)系的 z 軸與線電荷的長度方位一致，且中點為坐標(biāo)原點。由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)對稱，場強(qiáng)與方位角 無關(guān)。因為電場強(qiáng)度的方向無法判斷，不能應(yīng)用高斯定律求解其電場強(qiáng)度。只好進(jìn)行直接積分，計算其電位及電場強(qiáng)度。 因場量與 無關(guān)，為了方便起見，可令觀察點P 位于yz平面，即 ，那么 考慮到求得當(dāng)長度 L 時，1 0，2 ，則此結(jié)果與例

8、3 導(dǎo)出的結(jié)果完全相同。 3. 電位與等位面 靜電場中某點的電位，其物理意義是單位正電荷在電場力的作用下，自該點沿任一條路徑移至無限遠(yuǎn)處過程中電場力作的功。 應(yīng)該注意，這里所說的電位實際上是該點與無限遠(yuǎn)處之間的電位差，或者說是以無限遠(yuǎn)處作為參考點的電位。原則上，可以任取一點作為電位參考點。顯然，電位的參考點不同，某點電位的值也不同。但是任意兩點之間的電位差與電位參考點無關(guān)，因此電位參考點的選擇不會影響電場強(qiáng)度的值。當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時，通常選擇無限遠(yuǎn)處作為電位參考點，因為此時無限遠(yuǎn)處的電位為零。電位的數(shù)學(xué)表示式中q 為電荷的電量，W 為電場力將電荷 q 推到無限遠(yuǎn)處作的功。 由于電場強(qiáng)度的方

9、向為電位梯度的負(fù)方向，而梯度方向總是垂直于等位面，因此，電場線與等位面一定處處保持垂直。若規(guī)定相鄰的等位面之間的電位差保持恒定，那么等位面密集處表明電位變化較快，因而場強(qiáng)較強(qiáng)。這樣，等位面分布的疏密程度也可表示電場強(qiáng)度的強(qiáng)弱。 電位相等的曲面稱為等位面，其方程為電場線等位面式中常數(shù) C 等于電位值。E有極分子無極分子4. 介質(zhì)極化 導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中的電荷是不會自由運動的，這些電荷稱為束縛電荷。 在電場作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。 無極分子有極分子Ea 實際上，介

10、質(zhì)極化現(xiàn)象是逐漸形成的。當(dāng)外加電場Ea 加到介質(zhì)中以后，介質(zhì)中出現(xiàn)的電偶極子產(chǎn)生二次電場Es，這種二次電場 Es 又影響外加電場，從而導(dǎo)致介質(zhì)極化發(fā)生改變，使二次電場又發(fā)生變化。一直到合成電場產(chǎn)生的極化能夠建立一個穩(wěn)態(tài)的二次電場，極化狀態(tài)達(dá)到動態(tài)平衡，其過程如下圖所示。 介 質(zhì)合成場Ea+ Es極 化二次場Es外加場Ea 介質(zhì)極化以后，介質(zhì)中出現(xiàn)很多排列方向大致相同的電偶極子。為了衡量這種極化程度，我們定義，單位體積中電矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，以P 表示，即 式中 pi 為體積 V 中第 i 個電偶極子的電矩，N 為V 中電偶極子的數(shù)目。這里 V 應(yīng)理解為物理無限小的體積。 實驗結(jié)果表明，大多

11、數(shù)介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化時，其極化強(qiáng)度 P 與介質(zhì)中的合成電場強(qiáng)度 E 成正比，即式中e 稱為極化率，它是一個正實數(shù)。 由上可見，這類介質(zhì)的極化強(qiáng)度與合成的電場強(qiáng)度的方向相同。極化強(qiáng)度的某一坐標(biāo)分量僅決定于相應(yīng)的電場強(qiáng)度的坐標(biāo)分量。極化率與電場方向無關(guān)，這類介質(zhì)稱為各向同性介質(zhì)。有些介質(zhì)并不是這樣，其極化強(qiáng)度的某一坐標(biāo)分量不僅與電場強(qiáng)度相應(yīng)的坐標(biāo)分量有關(guān)，而且與電場強(qiáng)度的其他分量也有關(guān)。這類介質(zhì)的極化強(qiáng)度 P 與電場強(qiáng)度 E 的關(guān)系可用下列矩陣表示 這就表明，介質(zhì)的極化率與電場強(qiáng)度的方向有關(guān)，也就是極化特性與電場強(qiáng)度方向有關(guān)，因此，這類介質(zhì)稱為各向異性介質(zhì)。 空間各點極化率相同的介質(zhì)稱為均

12、勻介質(zhì)，否則，稱為非均勻介質(zhì)。極化率與時間無關(guān)的介質(zhì)稱為靜止媒質(zhì)，否則稱為運動媒質(zhì)。 介質(zhì)的均勻與非均勻性、線性與非線性、各向同性與各向異性、靜止與運動分別代表完全不同的概念，不應(yīng)混淆。 因此，若極化率是一個正實常數(shù)，則適用于線性均勻且各向同性的介質(zhì)。若前述矩陣的各個元素都是一個正實常數(shù)，則適用于線性均勻各向異性的介質(zhì)。 極化率與電場強(qiáng)度的大小無關(guān)的介質(zhì)稱為線性介質(zhì)，否則，稱為非線性介質(zhì)。各向異性的介質(zhì)能否是均勻的？非均勻介質(zhì)能否是各向同性的？ 發(fā)生極化以后，介質(zhì)表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布，因而出現(xiàn)體分

13、布的束縛電荷。這種因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷?？梢宰C明這些極化電荷產(chǎn)生的電位為 式中 為極化強(qiáng)度，它與極化電荷的關(guān)系為 由此可見，任一塊介質(zhì)內(nèi)部體分布的束縛電荷與介質(zhì)塊的表面束縛電荷是等值異性的。 右式又可寫為積分形式 5. 介質(zhì)中的靜電場方程 在介質(zhì)內(nèi)部，穿過任一閉合面 S 的電通應(yīng)為式中 q 為閉合面 S 中的自由電荷， 為閉合面S 中的束縛電荷。那么 令 ，求得此處定義的 D 稱為電位移?？梢?，介質(zhì)中穿過任一閉合面的電位移的通量等于該閉合面包圍的自由電荷，而與束縛電荷無關(guān)。上式又稱為介質(zhì)中的高斯定律的積分形式，利用矢量恒等式不難推出其微分形式為 介質(zhì)中微分形式的高

14、斯定律表明，某點電位移的散度等于該點自由電荷的體密度。 電位移也可用一系列曲線表示。曲線上某點的切線方向等于該點電位移的方向，這些曲線稱為電位移線。若規(guī)定電位移線組成的相鄰的通量管中電位移的通量相等，那么電位移線的疏密程度即可表示電位移的大小。值得注意的是，電位移線起始于正的自由電荷，而終止于負(fù)的自由電荷，與束縛電荷無關(guān)。 已知各向同性介質(zhì)的極化強(qiáng)度 ，求得 令 ，式中 稱為介質(zhì)的介電常數(shù)。已知極化率 e 為正實數(shù)，因此，一切介質(zhì)的介電常數(shù)均大于真空的介電常數(shù)。則 實際中經(jīng)常使用介電常數(shù)的相對值，這種相對值稱為相對介電常數(shù)，以 r 表示，其定義為可見，任何介質(zhì)的相對介電常數(shù)總是大于1。下表給出

15、了幾種介質(zhì)的相對介電常數(shù)的近似值。介 質(zhì)介 質(zhì)空 氣1.0石 英3.3油2.3云 母6.0紙1.34.0陶 瓷5.36.5有機(jī)玻璃2.63.5純 水81石 臘2.1樹 脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr各向異性介質(zhì)的電位移與電場強(qiáng)度的關(guān)系可以表示為此式表明，各向異性介質(zhì)中，電位移的方向與電場強(qiáng)度的方向不一定相同，電位移某一分量可能與電場強(qiáng)度的各個（或者某些）分量有關(guān)。電位移和電場強(qiáng)度的關(guān)系與外加電場的方向有關(guān)。此外，可以推知均勻介質(zhì)的介電常數(shù)與空間坐標(biāo)無關(guān)。線性介質(zhì)的介電常數(shù)與電場強(qiáng)度的大小無關(guān)。靜止媒質(zhì)的介電常數(shù)與時間無關(guān)。 對于均勻介質(zhì)，由于介電常數(shù)與坐標(biāo)無關(guān)，因此獲得此外，對于均勻介

16、質(zhì)，前述電場強(qiáng)度及電位與自由電荷的關(guān)系式仍然成立，只須將其中真空介電常數(shù)換為介質(zhì)的介電常數(shù)即可。 6. 兩種介質(zhì)的邊界條件 由于媒質(zhì)的特性不同，引起場量在兩種媒質(zhì)的交界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場的邊界條件。為了方便起見，通常分別討論邊界上場量的切向分量和法向分量的變化規(guī)律。E2E11324lh 1 2et 為了討論邊界上某點電場強(qiáng)度的切向分量的變化規(guī)律，圍繞該點且緊貼邊界作一個有向矩形閉合曲線，其長度為l，高度為h，則電場強(qiáng)度沿該矩形曲線的環(huán)量為 為了求出邊界上的場量關(guān)系，必須令 h 0，則線積分 為了求出邊界上某點的場量關(guān)系，必須令 l 足夠短，以致于在l內(nèi)可以認(rèn)為場量是均勻的，則

17、上述環(huán)量為 式中E1t 和 E2t 分別表示介質(zhì)和中電場強(qiáng)度與邊界平行的切向分量。已知靜電場中電場強(qiáng)度的環(huán)量處處為零，因此由上式得此式表明，在兩種介質(zhì)形成的邊界上，兩側(cè)的電場強(qiáng)度的切向分量相等，或者說，電場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。 對于各向同性的線性介質(zhì)，得 此式表明，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電位移的切向分量是不連續(xù)的。 hS 為了討論電位移的法向分量變化規(guī)律，在邊界上圍繞某點作一個圓柱面，其高度為h，端面為S。那么根據(jù)介質(zhì)中的高斯定律，得知電位移通過該圓柱面的通量等于圓柱面包圍的自由電荷，即D2D1令 h 0 ，則通過側(cè)面的通量為零，又考慮到 S 必須足夠小，則上述通量應(yīng)為式中

18、D1t 及 D2t 分別代表對應(yīng)介質(zhì)中電位移與邊界垂直的法線分量。邊界法線的方向 en 規(guī)定為由介質(zhì)指向介質(zhì)。 1 2en求得式中 s 為邊界上存在的表面自由電荷的面密度?？紤]到在兩種介質(zhì)形成的邊界上通常不可能存在表面自由電荷，因此此式表明，在兩種介質(zhì)邊界上電位移的法向分量相等，或者說，電位移的法向分量是連續(xù)的。 對于各向同性的線性介質(zhì)，得 此式表明，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電場強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)的。 還可導(dǎo)出邊界上束縛電荷與電場強(qiáng)度法向分量的關(guān)系為 7. 介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件 靜電平衡：當(dāng)孤立導(dǎo)體放入靜電場中以后，導(dǎo)體中自由電子發(fā)生運動，電荷重新分布。由于自由電子逆電場方向反

19、向移動，因此重新分布的電荷產(chǎn)生的二次電場與原電場方向相反，使導(dǎo)體中的合成電場逐漸削弱，一直到導(dǎo)體中的合成電場消失為零，自由電子的運動方才停止，因而電荷分布不再改變，這種狀態(tài)稱為靜電平衡。 由此可見，導(dǎo)體中不可能存在靜電場，導(dǎo)體內(nèi)部不可能存在自由電荷的體分布。所以，當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時，自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。因為導(dǎo)體中不可能存在靜電場，因此導(dǎo)體中的電位梯度為零，這就意味著導(dǎo)體中電位不隨空間變化。所以，處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體是一個等位體，導(dǎo)體表面是一個等位面。 既然導(dǎo)體中的電場強(qiáng)度為零，導(dǎo)體表面的外側(cè)不可能存在電場強(qiáng)度的切向分量。換言之，電場強(qiáng)度必須垂直于導(dǎo)體的表面，即介質(zhì)E, D導(dǎo)體e

20、n 導(dǎo)體表面存在的表面自由電荷面密度為 或?qū)憺槭街?為導(dǎo)體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。 已知導(dǎo)體表面是一個等位面，因 ，求得表面電位與電荷的關(guān)系為 考慮到導(dǎo)體中不存在靜電場，因而極化強(qiáng)度為零。求得導(dǎo)體表面束縛電荷面密度為 靜電屏蔽：當(dāng)封閉的導(dǎo)體空腔中沒有自由電荷時，即使腔外存在電荷，腔中也不可能存在靜電場。這就意味著封閉的導(dǎo)體腔可以屏蔽外部靜電場，這種效應(yīng)稱為靜電屏蔽。 當(dāng)然，總電通為零可能是由于閉合面內(nèi)部沒有電荷，因而沒有場；或者因為正負(fù)電荷相等，但是這是不可能的。因為電荷只可能分布在導(dǎo)體的表面上，若以正負(fù)電荷之間任一根電場線和腔壁中任一根曲線組成一條閉合曲線，由于腔壁中沒有電場，沿該條閉合曲線的電

21、場強(qiáng)度的環(huán)量不可能為零，這就違背了靜電場的基本特性。此外，顯然若腔體接地，位于腔中的電荷也不可能對外產(chǎn)生靜電場。 由于導(dǎo)體內(nèi)部沒有靜電場，因此若沿腔壁內(nèi)部作一個閉合曲面，通過其表面的電通一定為零。 例 已知半徑為r1 的導(dǎo)體球攜帶的正電量為q，該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為 r2 的導(dǎo)體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為1 ，球殼的外半徑為 r3 ，球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4 ，介電常數(shù)為2 ，外部區(qū)域為真空，如左下圖示。試求：各區(qū)域中的電場強(qiáng)度； 各個表面上的自由電荷 和 束縛電荷。r1r2r3r4 0 2 1解 由于結(jié)構(gòu)為球?qū)ΨQ，場也是球?qū)ΨQ的，應(yīng)用高斯定理求解十分方

22、便。取球面作為高斯面，由于電場必須垂直于導(dǎo)體表面，因而也垂直于高斯面。 在 r r1及 r2r r3 區(qū)域中，因?qū)w中不可能存靜電場，所以E = 0。 在 r1r r2 區(qū)域中，由 ，得 r1r2r3r4 0 2 1同理，在 r3r r4 區(qū)域中，求得 根據(jù) 及 ，可以求得各個表面上的自由電荷及束縛電荷面密度分別為r1r2r3r4 0 2 1r = r1:r = r4:r = r2:r = r3:8. 電容與部分電容 由物理學(xué)得知，平板電容器正極板上攜帶的電量 q 與極板間的電位差 U 的比值是一個常數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器的電容，即電容為 電容的單位F（法拉）太大。例如半徑大如地球的弧立導(dǎo)體

23、的電容只有 F。實際中，通常取 F （微法）及 pF （皮法）作為電容單位。 對于多導(dǎo)體之間的電容計算，需要引入部分電容概念。多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個導(dǎo)體的電位不僅與導(dǎo)體本身電荷有關(guān)，同時還與其他導(dǎo)體上的電荷有關(guān)，因為周圍導(dǎo)體上電荷的存在必然影響周圍空間靜電場的分布，而多導(dǎo)體的電場是由它們共同產(chǎn)生的。 q1q3qnq2 此時，各個導(dǎo)體上的電荷與導(dǎo)體間的電位差的關(guān)系為式中Cii 稱為第 i 個導(dǎo)體的固有部分電容；Cij 稱為第 i 個導(dǎo)體與第j 個導(dǎo)體之間的互有部分電容。 例 已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為 。試求單位長度內(nèi)外導(dǎo)體之間的電容。 解 由

24、于電場強(qiáng)度一定垂直于導(dǎo)體表面，因此，同軸線中電場強(qiáng)度方向一定沿徑向方向。又因結(jié)構(gòu)對稱，可以應(yīng)用高斯定律。 ab 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度內(nèi)的電量為q，圍繞內(nèi)導(dǎo)體作一個圓柱面作為高斯面S，則那么內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差 U 為 因此同軸線單位長度內(nèi)的電容為 9. 電場能量 已知在靜電場的作用下，帶有正電荷的帶電體會沿電場方向發(fā)生運動，這就意味著電場力作了功。靜電場為了對外作功必須消耗自身的能量，可見靜電場是具有能量的。如果靜止帶電體在外力作用下由無限遠(yuǎn)處移入靜電場中，外力必須反抗電場力作功，這部分功將轉(zhuǎn)變?yōu)殪o電場的能量儲藏在靜電場中，使靜電場的能量增加。由此可見，根據(jù)電場力作功或外力作功與靜電場能量之間的轉(zhuǎn)

25、換關(guān)系，可以計算靜電場能量。 首先根據(jù)外力作功與靜電場能量之間的關(guān)系計算電量為 Q 的孤立帶電體的能量。 設(shè)帶電體的電量 Q 是從零開始逐漸由無限遠(yuǎn)處移入的。由于開始時并無電場，移入第一個微量 dq 時外力無須作功。當(dāng)?shù)诙€dq 移入時，外力必須克服電場力作功。若獲得的電位為 ，則外力必須作的功為 dq ，因此，電場能量的增量為 dq 。已知帶電體的電位隨著電荷的逐漸增加而不斷升高，可見電位是電量 q 的函數(shù)。 那么當(dāng)電量增至最終值 Q 時，外力作的總功，也就是電量為 Q 的帶電體具有的能量為已知孤立導(dǎo)體的電位 等于攜帶的電量 q 與電容 C 的之比， 即代入上式，求得電量為Q 的孤立帶電體具

26、有的能量為 或者表示為 對于 n 個帶電體具有的總能量，也可采用同樣的方法進(jìn)行計算。設(shè)每個帶電體的電量均從零開始，且以同樣的比例增長。若周圍媒質(zhì)是線性的，則當(dāng)各個帶電體的電量增加一倍時，各個帶電體的電位也升高一倍。設(shè)第 i 個帶電體的電位最終值為 i，電量的最終值為Qi，若某一時刻第 i 個帶電體的電量為 qi = Qi， 1 則此時刻該帶電體的電位為 i = i 。那么當(dāng)各個帶電體的電量均以同一比例 增長，外力必須作的功，也就是帶電系統(tǒng)的電場儲能增量為當(dāng)各個帶電體的電量同時分別增至最終值 時，該系統(tǒng)的總電場能為 求得 當(dāng)帶電體的電荷為連續(xù)的體分布、面分布或線分布電荷時，由 ，求得這種分布電荷

27、的帶電體總能量為 式中 為體元 dV、面元 dS、或線元 dl 所在處的電位，積分區(qū)域為電荷分布的空間。 從場的觀點來看，靜電場的能量分布在電場所占據(jù)的整個空間，應(yīng)該計算靜電場的能量分布密度。靜電場的能量密度以小寫英文字母we 表示。 設(shè)兩個導(dǎo)體攜帶的電量為Q1和 Q2，其表面積分別為 S1和 S2，如圖所示。 SS2Q2Q1S1Venen 已知電荷分布在導(dǎo)體的表面上，因此，該系統(tǒng)的總能量為 又知 ，求得 若在無限遠(yuǎn)處再作一個無限大的球面 S，由于電荷分布在有限區(qū)域，無限遠(yuǎn)處的電位及場強(qiáng)均趨于零。因此，積分 那么，上面的儲能公式可寫為 式中 。該閉合面 S 包圍了靜電場所占據(jù)的整個空間。那么，

28、利用高斯定理，上式可寫考慮到區(qū)域 V 中沒有自由電荷，所以 ，又 ，代入上式，求得由此可見，靜電場的能量密度 對于各向同性的線性介質(zhì)， ，代入后得 此式表明，靜電場能量與電場強(qiáng)度平方成正比。因此，能量不符合疊加原理。雖然幾個帶電體在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度等于各個帶電體分別產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和，但是，其總能量并不等于各個帶電體單獨存在時具有的各個能量之和。事實上，這是因為當(dāng)?shù)诙€帶電體引入系統(tǒng)中時，外力必須反抗第一個帶電體對第二個帶電體產(chǎn)生的電場力而作功，此功也轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿芰?，這份能量通常稱為互有能，而帶電體單獨存在時具有的能量稱為固有能。例 計算半徑為 a ，電量為 Q 的導(dǎo)體球具有的能量。導(dǎo)體

29、周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為 。 解 可以通過三種途徑獲得相同結(jié)果。（1）已知半徑為a，電量為 Q 的導(dǎo)體球的電位為那么求得（2）已知導(dǎo)體表面是一個等位面，那么積分求得 （3）已知電量為 Q 的導(dǎo)體球外的電場強(qiáng)度為 ，能量密度為 ，那么沿球外整個空間積分求得 10. 電場力 已知某點的電場強(qiáng)度在數(shù)值上等于單位正電荷在該點受到的電場力。因此，點電荷 受到的電場力為 若上式中 E 為點電荷 q 產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，則 式中 為該點電荷周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。那么，點電荷 受到點電荷q 的作用力，或者說點電荷 q 對于點電荷 的作用力為 式中er 為由 q 指向 的單位矢量。上式就是法國科學(xué)家?guī)靵龈鶕?jù)實驗總結(jié)歸納的

30、庫侖定律。 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但是，對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力是非常困難的，有時甚至無法求積。為了計算具有一定電荷分布的帶電體之間的電場力，通常采用虛位移法。這種方法是假定帶電體在電場作用下發(fā)生一定的位移，根據(jù)位移過程中電場能量的變化與外力及電場力所作的功之間的關(guān)系計算電場力。 以平板電容器為例，設(shè)兩極板上的電量分別為+q 及 -q ，板間距離為 l 。為了計算方便，假定在電場力作用下，極板之間的距離增量為dl。眾所周知，兩極板間的相互作用力實際上導(dǎo)致板間距離減小。因此，求出的作用力應(yīng)為負(fù)值。dll-q+q 既然認(rèn)為作用力F 導(dǎo)致位移增加，因此，作用力F 的方向為位移的增加方向。這樣，為了產(chǎn)生 dl 位移增量，電場力作的功應(yīng)為 。根據(jù)能量守恒定律，這部分功應(yīng)等于電場能量的減小值，即由此求得式中腳注 q = 常數(shù)說明當(dāng)極板發(fā)生位移時，極板上的電量沒有發(fā)生變化，這樣的帶電系統(tǒng)稱為常電荷系統(tǒng)。 已知平板電容器的能量為 。對于常電荷系統(tǒng)，發(fā)生位移時電量 q 未變，只有電容 C 改變了。式中S 為極板的面積，l 為兩極板的間距。將這些結(jié)果代入上式，求得平板電容器兩極板之間的作用力為