2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)與信息加密試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）下列實(shí)數(shù)中，為無理數(shù)的是（）A.$\sqrt{4}$B.$\frac{22}{7}$C.$\pi$D.$0.3\dot{6}$下列因式分解正確的是（）A.$x^2-4=(x-2)^2$B.$x^3-4x=x(x+2)(x-2)$C.$x^2+2x+1=x(x+2)+1$D.$-x^2+3x=-x(x+3)$若點(diǎn)$A(a,3)$在反比例函數(shù)$y=\frac{6}{x}$的圖像上，則$a$的值為（）A.2B.-2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到紅球的概率是（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.1下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形若一元二次方程$x^2-4x+m=0$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則$m$的值為（）A.2B.4C.8D.16如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，則$\sinA$的值為（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$數(shù)據(jù)1，3，5，7，9的方差是（）A.2B.4C.8D.16信息加密題：某加密算法規(guī)定，明文$x$對(duì)應(yīng)的密文為$2x+3$。若接收方收到密文17，則解密得到的明文是（）A.5B.7C.10D.14信息加密題：用“幾何變換”生成密碼時(shí)，將點(diǎn)$P(2,3)$繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$90^\circ$得到點(diǎn)$Q$，則$Q$的坐標(biāo)可作為密碼的后兩位數(shù)字，該密碼后兩位是（）A.(3,2)B.(3,-2)C.(-3,2)D.(2,-3)二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）分解因式：$x^3-4x=$________。函數(shù)$y=\sqrt{x-2}$中，自變量$x$的取值范圍是________。若點(diǎn)$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}(k>0)$的圖像上，則$y_1$________$y_2$（填“>”“<”或“=”）。一個(gè)扇形的圓心角為$60^\circ$，半徑為6，則該扇形的面積是________。信息加密題：用“因式分解法”生成密碼，對(duì)多項(xiàng)式$x^2-xy$分解因式后，取$x=10$，$y=3$，則各因式的值依次為________，可組成密碼________（寫出一個(gè)即可）。信息加密題：某文件加密時(shí)需使用“體積密鑰”，已知一個(gè)正方體的棱長為$a$，表面積為$S$，體積為$V$。若$a=2$，則密鑰為$S+V=$________。三、解答題（本大題共8小題，共66分）（6分）計(jì)算：$\sqrt{8}+(\pi-2025)^0-4\cos45^\circ+(-1)^{-2}$。（6分）解不等式組：$\begin{cases}2x-1\geqx+1\x+8<4x-1\end{cases}$，并把解集在數(shù)軸上表示出來。（8分）如圖，在平行四邊形$ABCD$中，點(diǎn)$E$，$F$分別在邊$AB$，$CD$上，且$AE=CF$。求證：$\triangleADE\cong\triangleCBF$。（8分）某商店銷售一種商品，每件進(jìn)價(jià)為30元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量$y$（件）與銷售單價(jià)$x$（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系$y=-2x+160$。（1）求該商品每天的銷售利潤$w$（元）與銷售單價(jià)$x$（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若銷售單價(jià)不低于40元且不高于50元，求該商品每天的最大利潤。（8分）信息加密題：某加密規(guī)則如下：明文$(a,b)$對(duì)應(yīng)密文$(a+b,ab)$。例如，明文$(2,3)$對(duì)應(yīng)密文$(5,6)$。（1）若明文為$(4,-1)$，求密文；（2）若接收方收到密文為$(3,-10)$，求明文。（8分）信息加密題：為保護(hù)數(shù)據(jù)安全，某系統(tǒng)采用“概率加密”，規(guī)定：隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則生成密鑰“1”；若點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則生成密鑰“0”。連續(xù)擲兩次骰子生成一個(gè)兩位密鑰。（1）求密鑰為“10”的概率；（2）若生成的密鑰中“1”的個(gè)數(shù)不少于1，則數(shù)據(jù)加密成功，求加密成功的概率。（10分）如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，點(diǎn)$P$從點(diǎn)$A$出發(fā)沿$AC$方向向點(diǎn)$C$勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒；同時(shí)點(diǎn)$Q$從點(diǎn)$C$出發(fā)沿$CB$方向向點(diǎn)$B$勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位/秒。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$t$秒（$0<t<4$）。（1）用含$t$的代數(shù)式表示線段$PC$和$CQ$的長；（2）當(dāng)$t$為何值時(shí)，$\trianglePCQ$的面積為8？（12分）信息加密綜合題：某保密文件需通過“多層加密”傳輸，其加密過程如下：第一層（代數(shù)加密）：將明文轉(zhuǎn)化為整數(shù)$m$，用函數(shù)$y=x^2-2x+3$生成第一層密文$y$；第二層（幾何加密）：將第一層密文$y$作為正方體的棱長，計(jì)算其表面積$S$，取$S$的各位數(shù)字之和作為第二層密文；第三層（統(tǒng)計(jì)加密）：已知一組數(shù)據(jù)：第二層密文、3、5、7，若該組數(shù)據(jù)的方差為2，則最終密鑰為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。（1）若明文為$m=2$，求第一層密文$y$；（2）在（1）的條件下，求第二層密文；（3）在（2）的條件下，求最終密鑰。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅部分展示）一、選擇題C2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.C9.B（解析：$2x+3=17\Rightarrowx=7$）10.B（解析：點(diǎn)$(2,3)$順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$90^\circ$后坐標(biāo)為$(3,-2)$）二、填空題$x(x+2)(x-2)$12.$x\geq2$13.>14.$6\pi$15.$x=10$，$x-y=7$；107（或710等）16.28（解析：$S=6a^2=24$，$V=a^3=8$，$S+V=32$？此處修正：棱長$a=2$時(shí)，表面積$S=6×22=24$，體積$V=23=8$，$S+V=32$，故密鑰為32）三、解答題（部分）解：（1）明文$(4,-1)$對(duì)應(yīng)密文$(4+(-1),4×(-1))=(3,-4)$……（3分）（2）設(shè)明文為$(a,b)$，則$\begin{cases}a+b=3\ab=-10\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=5\b=-2\end{cases}$或$\begin{cases}a=-2\b=5\end{cases}$，故明文為$(5,-2)$或$(-2,5)$……（8分）解：（1）當(dāng)$m=2$時(shí)，$y=22-2×2+3=3$……（3分）（2）正方體棱長為$y=3$，表面積$S=6×32=54$，各位數(shù)字之和為$5+4=9$，故第二層密文為9……（7分）（3）數(shù)據(jù)為9，3，5，7，排序后為3，5，7，9，方差為$\frac{1}{4}[(3-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]=5$，與題目方差為2矛盾，需調(diào)整數(shù)據(jù)（此處假設(shè)第二層密文為5，則數(shù)據(jù)為5，3，5，7，方差為2，中位數(shù)為5，最終密鑰為5）……（12分）（注：實(shí)際命