1、2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革一、 摘要養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險基金的收支平衡，它關(guān)系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡。本文根據(jù)題目的要求，我們在合理的假設(shè)下，根據(jù)我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的速度、工資增長的形式與企業(yè)退休職工養(yǎng)老金的關(guān)系建立了數(shù)學(xué)模型。在完善企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的前提下，在合理的條件假設(shè)及分析過程中，通過對山東省職工歷年工資及相關(guān)數(shù)據(jù)的計算與研究，得出了相關(guān)替代率值，并依此結(jié)合未來我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長的合理形式，達(dá)到目標(biāo)替代率和維持我國養(yǎng)老保險基金收支的平衡。在進(jìn)行模型建立和問題分析、解決的過程中采用了指數(shù)函數(shù)的擬合、求期望值、指數(shù)函數(shù)

2、圖與數(shù)據(jù)分析法等數(shù)學(xué)方法來解答了相關(guān)方面的問題。（1）我們根據(jù)當(dāng)前我國經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展和工資增長較快的趨勢對未來做出了假設(shè)，并依據(jù)歷年山東省職工的平均職工數(shù)據(jù)對2011年至2035年山東省職工的年平均工資做 出了指數(shù)函數(shù)的擬合得到了增長率P=14.1%。（2）經(jīng)分析，該題要用到平均值(期望值) （3）根據(jù)題目中所給公式計算，并對該企業(yè)職工養(yǎng)老保險基金的缺口和養(yǎng)老保險收支平衡所需要的年數(shù)進(jìn)行合理的分析。（4）對前面三道問題所求得的解進(jìn)行分析，在合理假設(shè)的條件下，對養(yǎng)老保險基金收支平衡建立數(shù)學(xué)模型，最終提出有效措施。二、關(guān)鍵字指數(shù)函數(shù)的擬合 期望值 收支平衡 表格數(shù)據(jù)分析三、問題重述養(yǎng)老金是一種根據(jù)勞

3、動者對社會所作貢獻(xiàn)及其所具備享受養(yǎng)老保險的資格，以貨幣形式支付的保險待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關(guān)系,工資的增長又與經(jīng)濟(jì)增長相關(guān)。所以要處理好養(yǎng)老金的各項(xiàng)問題，就要把經(jīng)濟(jì)的發(fā)展與職工工資的各種問題處理好。現(xiàn)在我國養(yǎng)老保險改革正處于過渡期。養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險基金的收支平衡，它關(guān)系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡，那我們?nèi)绾尾拍茏岎B(yǎng)老保險基金的收支平衡？影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的一個重要因素是替代率。替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險基金收支

4、平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。這就需要我們建立數(shù)學(xué)模型來解決這樣的循環(huán)經(jīng)濟(jì)問題。從而達(dá)到一種既要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，又要達(dá)到目標(biāo)替代率（58.5%）的理想狀態(tài)。在該題中，題目給出了大量的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)要如何分析、如何處理才能使誤差盡可能的減少？這是我們要十分重視的一個問題。另外我們在處理數(shù)據(jù)時，必須嚴(yán)格按照題目所給出的公式進(jìn)行合理分析計算。1（1）參考附件，建立數(shù)學(xué)模型，針對問題采用圖表分析法，大多利用期望求值；（2）問題二中我們要分六種不同的情況來計算，從30歲、40歲開始繳納養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲）的養(yǎng)老金替代率；（3）根據(jù)題目的要求對養(yǎng)老保險基金收支平衡問題

5、，做一個簡單的數(shù)值計算，并且分析影響收支平衡的因素；（4）最后針對養(yǎng)老金問題用我們所建立的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合實(shí)際情況，提出合理的解決措施。四、問題分析該題的核心就是要使養(yǎng)老保險基金收支維持平衡。最終針對養(yǎng)老金問題用我們所建立的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合實(shí)際情況，提出合理的解決措施。對于問題一，我們要依據(jù)附件1中的數(shù)據(jù)找出數(shù)值的增長規(guī)律，從而預(yù)測2011年至2035年山東省職工的年平均工資。在合理的假設(shè)條件下對未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長的形勢做出最好的分析；對于問題二，根據(jù)附件的數(shù)據(jù)直接算出2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資是一個難點(diǎn)，也是解答該問的基礎(chǔ)。根據(jù)題目的要求分成六種不同的情況來計算從3

6、0歲、40歲開始繳納養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲）的養(yǎng)老金替代率；對于問題三，在合理假設(shè)的前提下，對個人繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡進(jìn)行計算，通過個人的養(yǎng)老保險基金收支平衡，就可以折射出整個社會養(yǎng)老保險基金收支問題。在計算過程中我們就可以從中發(fā)現(xiàn)養(yǎng)老保險基金收支平衡的問題，從而解決相應(yīng)的問題； 對于問題四，是一個綜合性、創(chuàng)新性的，須考慮多種因素的復(fù)雜問題。要在合理的假設(shè)、準(zhǔn)確的計算，以及結(jié)合實(shí)際的情況下才能提出具體的措施。而前面三個問題的解答為此題提供了有利的條件。五、模型的基本假設(shè) （1）假設(shè)職工的工資是單一的凈工資，沒有其他方面的收入。（2）假設(shè)中

7、國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的“大環(huán)境”與近些年相似，并忽略一切特殊制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因素。（3）假設(shè)職工工資增長率能正確反應(yīng)中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的增長率，并且增長率不受任何因素的影響。（4）假設(shè)職工歷年平均工資就是職工的真實(shí)工資。（5）假設(shè)職工工資、個人工資、職工平均工資都相同。（針對計算較復(fù)雜的問題）六、符號說明表示增長率；表示年份；t表示各年齡段職工月平均工資與企業(yè)平均工資之比；表示預(yù)測年平均工資；x表示年份差；、表示相鄰年份；q表示指數(shù)函數(shù)的變量；表示本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資；,表示參保人員退休前1年、前2年、m年本人繳費(fèi)工資額；，表示參保人員退休前1年、前2年、.、m年全國/省/地方“職工平均工資”或稱“社會平均

8、工資”；n表示企業(yè)和職工實(shí)際繳納基本養(yǎng)老保險費(fèi)的月數(shù)合計；七、模型建立的求解1.問題一：中國的經(jīng)濟(jì)自改革開放以來，一直都呈現(xiàn)快速增長形勢。隨著經(jīng)濟(jì)全球化的發(fā)展，我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)一步加快。在未來中國經(jīng)濟(jì)快速的發(fā)展和工資不斷增長的形勢下我們做出簡化：職工的經(jīng)濟(jì)收入完全是正工資，而且經(jīng)濟(jì)發(fā)展的大環(huán)境與近些年相似，并忽略一切特殊制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因素。因?yàn)榻?jīng)濟(jì)發(fā)展方式?jīng)Q定了工資增長機(jī)制（來自），所以我們可以做出假設(shè)，用該省職工工資增長率來反應(yīng)中國經(jīng)濟(jì)的增長率。 由以上公式可得增長率為： 此表格是根據(jù)附件1山東省職工歷年平均工資而繪制的指數(shù)函數(shù)擬合圖表，該圖像反映了該省職工從1

9、978年到2010年的平均工資分布，從以上指數(shù)函數(shù)的趨勢可以合理推算出未來25年的年平均工資，如下表所示：2011年至2035年的山東省職工的年平均工資年份x值q值年平均工資2011344.4846372132012354.6165424592013364.478448446201437408803552762015385.0122630702016395.1441719632017405.276821092018415.4079936862019425.53981068952020435.67171219672021445.80361391632022455.9355158784202346

10、6.06741811722024476.19932067162025486.33122358622026496.46312691172027506.5953070612028516.72693503552029526.85883997532030536.99074561162031547.12265204262032557.25455938032033567.38646775252034577.51837730522035587.65028820482.問題二：由附表2：2009年山東省某企業(yè)各年齡段工資分布表可以計算出山東省各年齡段職工工資與山東省平均工資之比。我們采用繪制表格分析法分別對不

11、同年齡段的職工月平均工資進(jìn)行計算，最后通過總表的繪制呈現(xiàn)。如以下所示：2024歲職工數(shù)條件月收入人數(shù)人數(shù)百分比最高與最低平均值各年齡段職工月平均值月收入范圍（元）1000740.2624113481249.5327.8829787149915001650.5851063831749.51023.64361719992000260.0921985822249.5207.400709224992500160.0567375892749.51562999300010.0035460993249.511.5230496534993500003749.5039994000004499.504999500

12、000650008000總數(shù)282125996.51726.4503552529歲職工數(shù)條件月收入人數(shù)人數(shù)百分比最高與最低平均值各年齡段職工月平均工資月收入范圍（元）1000360.1368821291249.5171.034220514991500820.3117870721749.5545.471482919992000940.3574144492249.5804.003802324992500420.1596958172749.5439.08365022999300060.0228136883249.574.133079853499350030.0114068443749.542.769

13、9619839994000004499.504999500000650008000總數(shù)263125996.52076.4961983034歲職工數(shù)條件月收入人數(shù)人數(shù)百分比最高與最低平均值各年齡段職工月平均工資月收入范圍（元）1000001249.5014991500110.0486725661749.585.1526548719992000740.3274336282249.5736.561946924992500830.3672566372749.51009.77212429993000360.1592920353249.5517.61946934993500160.070796463749

14、.5265.45132743999400040.0176991154499.579.637168144999500020.008849558650057.522123898000總數(shù)226125996.52751.7168144044歲職工數(shù)條件月收入人數(shù)人數(shù)百分比最高與最低平均值各年齡段職工月平均工資月 收 入 范 圍 （元）1000001249.5014991500001749.5019992000430.1945701362249.5437.685520424992500860.3891402712749.51069.94117629993000550.2488687783249.580

15、8.69909534993500210.0950226243749.5356.287330339994000130.0588235294499.5264.67647064999500030.013574661650088.235294128000總數(shù)221125996.53025.5248874549歲職工數(shù)條件月收入人數(shù)人數(shù)百分比最高與最低平均值各年齡段職工月平均工資月 收 入 范 圍 （元）1000001249.501499150030.0154639181749.527.0541237119992000320.1649484542249.5371.051546424992500320.1

16、649484542749.5453.525773229993000640.3298969073249.5107234993500410.2113402063749.5792.420103139994000180.0927835054499.5417.47938144999500040.0206185576500134.02061868000總數(shù)194125996.53267.551546 5054歲職工數(shù)條件月收入人數(shù)人數(shù)百分比最高與最低平均值各年齡段職工月平均工資 月 收 入 范 圍 （元）100001249.501499150070.0518518521749.590.7148148119

17、992000230.170370372249.5383.248148124992500290.2148148152749.5590.633333329993000440.3259259263249.51059.09629634993500210.1555555563749.5583.25555563999400080.0592592594499.5266.6370374999500030.0222222226500144.44444448000總數(shù)135125996.53118.029635559歲職工數(shù)條件月收入人數(shù)人數(shù)百分比最高與最低平均值各職工月平均工資月 收 入 范 圍 （元）1000

18、01249.501499150060.0594059411749.5103.930693119992000170.1683168322249.5378.628712924992500270.2673267332749.5735.014851529993000370.3663366343249.51190.4108913499350070.0693069313749.5259.86633663999400070.0693069314499.5311.8465347499950000650008000總數(shù)101125996.52979.698022009年山東省某企業(yè)各年齡段工資分析表各年齡段職工

19、總?cè)藬?shù)占總?cè)藬?shù)百分比最高與最低平均值各年齡段職工月平均工資20-24歲職工2820.1694711541249.51726.45035525-29歲職工2630.1580528851749.52076.49619830-34歲職工2420.1454326922249.52534.62396735-39歲職工2260.1358173082749.52751.71681440-44歲職工221053025.52488745-49歲職工1940.1165865383749.53267.55154650-54歲職工1350.0811298084499.53118.029635

20、5-59歲職工1010.06069711565002979.69802總數(shù)16641259960521480.09142由上圖就可以很直觀的看到該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，即職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值。而該企業(yè)的平均工資等于上表中的各年齡段職工月平均工資乘于各占總?cè)藬?shù)百分比之和，即：企業(yè)平均工資=0.169471154*1726.150355+0.158052885*1749.5+0.145432692*2249.5+ +0.081129808*4499.5+6500*0.060697445=2579.731971=各年齡段職工月平均工資資20-24歲職工: =1726.450355

21、2579.731971=0.66923632925-29歲職工: =2076.4961982579.731971=0.80492710930-34歲職工: =2534.6239672579.731971=0.98251446135-39歲職工: =2751.7168142579.731971=1.06666771840-44歲職工: =3025.5248872579.731971=149歲職工: =3267.5515462579.731971=1.26662443350-54歲職工: =3118.029632579.731971=1.20866418155-59歲職工

22、: =2979.698022579.731971=1.155041707當(dāng)考慮到該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳納養(yǎng)老保險，一直繳納到退休（55歲、60歲、65歲）總共有六種情況。 公式：替代率=剛退休時的養(yǎng)老金剛退休時的養(yǎng)老金=基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個人賬戶養(yǎng)老金個人賬戶養(yǎng)老金=個人賬戶儲存額發(fā)月數(shù)基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資）2繳費(fèi)年限1%本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資=全省上年度在崗職工月平均工資本人平均繳費(fèi)指數(shù)情況1：自2000年起，30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)至退休（55歲）的個人賬養(yǎng)老金.30歲繳保險至55歲退休的個人賬戶養(yǎng)老金年份年平均

23、工資個人賬戶養(yǎng)老金20008772869.96942001100072002113742003125672004143322005166142006192282007228442008264042009296882010320742011372132012424592013484462014552762015630702016719632017821092018936862019106895202012196720211391632022158784202318117220242067162025235862 說明：以下計算均保留四位數(shù) 基礎(chǔ)養(yǎng)老金= =4607.613 養(yǎng)老金=4607.61

24、3+869.9464 =5477.5594替代率=5477.5594 =31.798%情況2：自2000年起，30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)至退休（60歲）的個人賬養(yǎng)老金. 30歲就繳保險至60歲退休的個人賬戶年份年平均工資個人賬戶養(yǎng)老金200087722089.834200110007200211374200312567200414332200516614200619228200722844200826404200929688201032074201137213201242459201348446201455276201563070201671963201782109201893686201

25、910689520201219672021139163202215878420231811722024206716202523586220262691172027307061202835035520293997532030456116 基礎(chǔ)養(yǎng)老金= =10753.3557養(yǎng)老金=10753.3557+2089.834 =12843.1897替代率=12843.1897100% =38.553%情況3：自2000年起，30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)至退休（65歲）的個人賬養(yǎng)老金.30歲就繳保險至65歲退休的個人賬戶年份年平均工資個人賬戶養(yǎng)老金200087725606.29120011000720

26、021137420031256720041433220051661420061922820072284420082640420092968820103207420113721320124245920134844620145527620156307020167196320178210920189368620191068952020121967202113916320221587842023181172202420671620252358622026269117202730706120283503552029399753203045611620315204262032593803203367752

27、520347730532035882048基礎(chǔ)養(yǎng)老金= =24148.22712 養(yǎng)老金=24148.22712+5606.291 =29754.51812 替代率=29754.51812 =46.188%情況4：自2000年起，40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)至退休（55歲）的個人賬養(yǎng)老金40歲就繳保險至55歲退休個人賬戶年份年平均工資個人賬戶養(yǎng)老金20008772217.8988200110007200211374200312567200414332200516614200619228200722844200826404200929688201032074201137213201242459

28、201348446201455376201563070基礎(chǔ)養(yǎng)老金= =765.6939842養(yǎng)老金=765.6939842+217.8988=983.5927842替代率=983.5927842=21.353%情況5：自2000年起，40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)至退休（60歲）的個人賬養(yǎng)老金40歲就繳保險至60歲退休個人賬戶年份年平均工資個人賬戶養(yǎng)老金20008772533.58162001100072002113742003125672004143322005166142006192282007228442008264042009296882010320742011372132012424

29、5920134844620145537620156307020167196320178210920189369620191068952020121967基礎(chǔ)養(yǎng)老金= =1960.632271養(yǎng)老金=1960.632271+533.5816 =2494.213871替代率=2494.213871 =28.000%情況6：自2000年起，40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)至退休（65歲）的個人賬養(yǎng)老金 40歲就繳保險至65歲退休個人賬戶年份年平均工資個人賬戶養(yǎng)老金200087721464.392200110007200211374200312567200414332200516614200619228

30、2007228442008264042009296882010320742011372132012424592013484462014553762015630702016719632017821092018936962019106895202012196720211391632022158784202318117220242067162025235862基礎(chǔ)養(yǎng)老金= =4739.400069 養(yǎng)老金=4739.400069+1464.392 =6203.792069 替代率=6203.792069 =36.013%3、問題三：該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休（

31、55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老保險基金的缺口的三種情況，及其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡時，該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金的歲數(shù)。 公式： 養(yǎng)老金=基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個人賬戶養(yǎng)老金 個人賬戶養(yǎng)老金=個人賬戶儲存額計發(fā)月數(shù)（數(shù)據(jù)見表一）基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資）2繳費(fèi)年限1%本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資=全省上年度在崗職工月平均工資本人平均繳費(fèi)指數(shù) 能夠正確反映“本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資(Average Indexed Monthly Earnings)”指標(biāo)的計算公式為： (1)公式(1)中，為參保人員退休前

32、1年、2年、m年本人繳費(fèi)工資額；為參保人員退休前1年、2年、m年全國/省/地市“職工平均工資”或稱“社會平均工資”；n為企業(yè)和職工實(shí)際繳納基本養(yǎng)老保險費(fèi)的月數(shù)合計（可以簡單認(rèn)為等于12m，m為企業(yè)和職工實(shí)際繳納基本養(yǎng)老保險費(fèi)的年限）。說明：繳費(fèi)工資額=職工工資+個人賬戶存儲額3%領(lǐng)取總養(yǎng)老金=領(lǐng)取月養(yǎng)老金12領(lǐng)取年數(shù)領(lǐng)取年養(yǎng)老金=領(lǐng)取月養(yǎng)老金12養(yǎng)老保險基金的缺口=繳納總養(yǎng)老保險金領(lǐng)取總養(yǎng)老金繳納總養(yǎng)老保險金=職工工資總額20%+各年個人工資8%+個人賬戶儲存額3%相差年數(shù)=養(yǎng)老保險基金的缺口領(lǐng)取年養(yǎng)老金（養(yǎng)老保險基金的缺口取絕對值，相差年數(shù)只能取整數(shù)）情況1： 3055歲 S= =15967

33、.64703基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（17226.35191+15967.64703）2251% =4149.249868 領(lǐng)取月養(yǎng)老金=4149.249868+869.9464 =5019.196268領(lǐng)取總養(yǎng)老金=5019.1962681225 =1505758.88繳納總養(yǎng)老保險金=522068.644養(yǎng)老保險基金的缺口=522068.6441505758.88=-983690.236相差年數(shù)=983690.236（5019.19626812）=16所以該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休55歲，并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到59歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金

34、與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。情況2：3060歲 = =354523.63056基礎(chǔ)養(yǎng)老金=(33312.75308+35423.63056)2 =10310.45755領(lǐng)取月養(yǎng)老金=10310.45755+2089.834 =12400.29155領(lǐng)取總養(yǎng)老金=12400.29155 =2232052.478繳納總養(yǎng)老保險金=1025418.686養(yǎng)老保險的基金缺口=1025418.6862232052.478 =1206633.792相差年數(shù)=1206633.792（12400.2915512） =8所以該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休60歲，并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到67歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。情況3：3065歲=72726.03571基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（64421.04073+72726.03571）=24000.73838領(lǐng)取月養(yǎng)老金=24000.73838+5606.291=29607.02938領(lǐng)取總養(yǎng)老金=29607.02938 =3552